Procrastinators gonna procrastinate

 

Botando unha ollada ao Journal of Mathematics Education, caín de casualidade nun artigo sobre a educación dos cativos con talento para as Matemáticas en China. E nel, nunha actividade proposta por un profesor, un problema puramente técnico (vaia, ningunha apostila do estilo lexislativo español, "...da vida cotiá") que veño compartir hoxe:

Amosar que $log_2 3 > log_3 4$

Na aula, o profesor continuou co análogo $log_4 5 > log_5 6 $ e un dos alumnos talentosos preguntou se sería certo sempre que $log_n (n+1) > log_{n+1}(n+2)  , \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$

E como a demostración que fai un dos alumnos ten o seu truco, quería ver se algún amable lector atopa outra proba. Ou ben, refutando a miña idea de que ten truco, chega á mesma demostración que o cativo chinés.

Por certo, non enlazo o artigo para que non vos pase o mesmo que a min, que vin sen querer a devandita demostración.

Cousas que xa non leo

 

Van quince anos (unha sesquidécada, amigos, para que logo digan que non queda nada do estudo da nomenclatura química) que publiquei unha entrada, Cousas que leo, onde enumeraba os blogues que tiña en 2010 e reseñaba minimamente cada un. E vendo hai un chisco que alguén fora a esa entrada, animeime a revisar a saúde desa listaxe, i.e., cantos daqueles blogues seguen publicando con regularidade, ou polo menos seguen dispoñibles na rede como un arquivo.

Antes de comezar a triste ollada que vai ser esta listaxe, aproveito para lembrar que na mesa redonda sobre o ensino do martes pasado, na que participei pola cota do colectivo que rebobinou cintas cun bic para metelas nun walkman, fixen propaganda desde blog. Imaxinade o público, maioritariamente arredor dos 20 anos, oíndo a un nacho obviamente from the past tentando quedar ben dicindo que TIÑA UN BLOG(ata a revista que dicía que os blogues estaban mortos en 2004 está morta agora).

Ei, que teño un blog, eh, eh? Seguides xogando ao
World of Warcraft? E gústavos Crepúsculo aínda?

Comecemos este paseo, que non categorizo por blogues de Matemáticas /blogues de Educación porque nin daquela estaba ben feita a clasificación, non tiña ningún tipo de fiabilidade:

• MAA Minute Math: Deixou de publicar en 2015
• Acertijos y más cosas: Segue funcionando, aínda publicou onte, día 20, unha entrada. Son eu o que deixou de seguilo cando parei de coller ideas elementais para propoñer na clase.
• Good Math, Bad Math: Cambiou de portal, a Scientopia, e de aí a Good Math, Bad Math, que acabo de descubrir agora, pois xa lle perdera a pista na 1ª muda.
• Gower's Weblog: Sigo téndoo no feedly, pero o certo é que leva desde hai 3 anos sen actualizar.
• What's New: Terry Tao segue publicando, a ollo diría que 2 veces ao mes en media. Sigo téndoo no feedly, mais non fago moito caso das súas publicacións por 2 razóns; a 1ª, que na miniatura o LaTeX se ve desproporcionado, o que me bota para atrás, e a 2ª, que a estas alturas xa case só escribe posts técnicos, e non teño idade para simular que estou entendendo algo...
• Gaussianos: o blog de Matemáticas de referencia en castelán tivo unha caída na frecuencia de publicación haberá 10 anos, o que era inevitable dado que publicaba moitos meses cada 2 días. Sigo lendo cada vez que vexo que hai unha novidade, en certa maneira con menos ansia.
• dy/dan: un dos blogues de referencia dos profesores norteamericanos, desde que cambiou o rol de profesor polo de creador de curriculum ou algo así, deixou practicamente de publicar agás ligazóns a conferencias súas. Ademais deixou o seu propio espazo para publicar en substack, que ten certo aquel que non me convenceu nunca.
• f(t): o blog de Kate Nowak desapareceu nalgún momento de 2017. Unha mágoa, escribía cousas das aulas que eran realmente auténticas, aínda coa distancia evidente co noso sistema.
• JD2718: segue publicando, pero hai anos que deixei de seguilo porque pasou a estar aínda máis baseado nos problemas laborais do profesorado de New York.
• Mathsclass: segue en liña, segue no meu feedly, pero non actualiza desde 2023.
• Tanya Khovanova Math's Blog: publica menos, unha vez ao mes máis ou menos. Segue sendo interesante, e con isto quero dicir interesante no sentido de que hai que ler con atención o que publica. Certo é que non lle presto a suficiente cando comparte problemas de lóxica.
• Let's Play Math: Denise Gaskins converteu o blog nunha web dedicada ao homeschooling, e deixei de seguila.
• The Exponential Curve: desde 2014 sen actualizar.
• Continuities: desde 2012.
• Math Stories: o dominio está á venta.
• Research in Practice: tres anos sen actualizar.
• Thoughts on Teaching: desde 2013.
• The Number Warrior: desde 2015.
• Noticias de Educación: desde 2012.

Vaia panorama, eh?

Agora estaredes pensando que lerei nestes tempos, para estar en contra de case todo, como estou adoito?

Deixarei esa listaxe para outra entrada.

O último flame co ensino das Matemáticas

Como xa saberedes todos, o flame desta semana de agosto veu provocado pola filtración interesada do borrador de curriculum de Educación Primaria, nada menos que a un xornal tradicionalmente tan preocupado pola educación como é El Mundo, e a aparición do enfoque socioemocional e a perspectiva de xénero no ensino das Matemáticas nese borrador. A estas alturas xa todos leríades os fíos de twitter e os artigos online que saíron co gallo desas 'novidades', agás os xornais cun paywall permanente:

• O fío de Anabel Forte
• O fío de Clara Grima
• O fío de Picanúmeros
• O fío de César Boullosa
• O fío de Daniel Ruiz Aguilera sobre o artigo de Amaya Michelena en Última Hora Mallorca
• Matemáticas con empatía, artigo de Anabel en El Diario
• Por qué es una buena noticia que las Matemáticas incluyan perspectiva de género, artigo de Marina Velasco no Huffington Post, con entrevistas a Anabel, Clara e ao compañeiro Alejandro Gallardo
• Si yo fuera geómetra, artigo de María Ramírez en El Diario
• Género, matemáticas y talento digital, de Liliana Arroyo en El País

Hai máis, non podo nin pretendo ser exhaustivo, eses son os que me pasaron a min por diante por twitter.

Tamén veríades as reaccións pretendidamente xocosas ao artigo orixinal do Mundo, con esta pescuda en twitter xa podedes coller o estilo e calidade dos chistes: Números, númeras 

E algúns menos veríades o borrador de curriculum, que unha inspectora de educación compartiu en twitter. Fixen unha copia no meu drive, por se acaso a inspectora pasa a ser ex-inspectora.

Tentei entrar en debate en twitter sobre o asunto, sen éxito. Así que lembrei que podía escribir a miña opinión neste blog, referente do ensino das Matemáticas entre os profesores do IES Canido que estudaron no IES Canido e viviron en Canido na súa infancia e adolescencia. Velaquí:

A primeira vez que fun consciente da dimensión emocional no ensino das Matemáticas foi relativamente tarde, cando collín, haberá ~12 anos, o libro Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas, de María Luz Callejo de la Vega e Antoni Vila Corts; despois descubrín que xa era un tema recorrente na investigación sobre o ensino das Matemáticas, particularmente na resolución de problemas(mirade por exemplo este artigo de Schoenfeld de 1985). Lendo ese libro recoñezo que tiven momentos de pensar "claro, como non verbalicei isto antes?". E aínda que eu non son optimista sobre a magnitude do que se pode chegar a aprender na resolución de problemas, sendo eu licenciado en matemáticas e resolvendo/non resolvendo problemas case a diario, son consciente de que hai certa marxe con respecto ao ensino tradicional. Aproveito para compartir unhas liñas do libro que xustifican o dito:  

"Papel del profesor

La educación matemática está mediatizada por personas, fundamentalmente por profesores, que introducen a los alumnos en la cultura matemática. El profesorado planifica, desarrolla y evalúa su intervención educativa, toma decisiones acerca de las actividades a proponer, la metodología a utilizar o la manera de valorar el trabajo de los alumnos"

Neste blog xa falei hai ben tempo de cuestións relacionadas, mirade a entrada de hai 8 anos O medo ás Matemáticas, por exemplo. 

Volvendo á polémica da semana, confeso que son partidario de introducir o enfoque socioemocional no ensino vía BOE, aínda que todos saibamos que ninguén sabe que fai cada docente nas súas aulas e como vai repercutir o articulado dunha outra lei educativa niso. Tamén vexo ben a perspectiva de xénero en disciplinas onde tradicionalmente non houbo/hai mulleres que sirvan como referentes visibles. Non vou profundar no meu apoio, podedes ler os links de antes nos que xa debullan as razóns. 

A razón xenuína de escribir esta entrada é comentar as miñas obxeccións:

A obxección esencial é o feito de que esta introdución se apoie no desempeño das rapazas en PISA, e non se faga ningunha mención a datos académicos, máis sinxelos de interpretar e apegados ao curriculum de Matemáticas, non ao que opinan uns cantos economistas da educación e sectarios variados sobre o que teñen que ser as Matemáticas. Se a miña opinión como profesor serve a alguén, en media a nota das cativas na miña materia é algo mellor que a dos cativos, e apostaría que na ABAU sucede o mesmo; si é certo que a participación voluntaria en concursos competitivos como Olimpíadas, Canguro, etc., é menor. Pero vaia, que é o relevante, a súa aprendizaxe nas materias académicas, o seu desempeño no xoguete de economistas e sociólogos, a súa participación en competicións marxinais? Quizais haxa certa desconfianza implícita na métrica que supoñen as notas académicas?

Por outra banda, se analizamos a ratio de mulleres nos estudos superiores, veremos que en carreiras de Ciencias como Bioloxía ou Ciencias Aplicadas como Medicina, as mulleres son maioritarias, non falemos xa de Enfermería. En Química pasa algo semellante, de xeito máis paritario, e en Matemáticas no intervalo [1993,2008], como amosa o gráfico que compartiu Clara e aparece tamén no artigo do Huffington, houbo máis mulleres que homes, mais preto do 50/50. Onde hai realmente brecha, e houbo sempre, é en Física, na maioría das Enxeñerías e, de xeito abafante, no ámbito da Informática. Que transloce entón esta iniciativa desde o ministerio? Ademais de que desde o ensino se pode combater a estrutura da sociedade(penso agora no teito de cristal das científicas, provocado entre outros factores, na composición das estruturas de poder), que a área fundamental para combater esta situación é Matemáticas. Vaia, outra vez máis, que Matemáticas ten un lugar no ensino obrigatorio preponderante, o que levamos vivindo arredor de 40 anos. Non sei se volver salientar este papel non será contraproducente. Cando unha materia xoga o rol de determinar quen pode continuar estudos, que itinerario tomar, etc., non produce iso precisamente ansiedade nos alumnos?

Un aspecto no que nin reparara antes de poñerme a escribir esta entrada é como explicar a brecha que se dá nos estudos de formación profesional en campos nos que as Matemáticas que se necesitan son triviais, básicas ou polo menos non prohibitivas. Paréceme axeitado consultar datos do ingreso en ciclos superiores máis que en medios ou básicos, pois nos superiores non se dá o efecto do alumnado que non remata a ESO, maioritariamente masculino. Collín os datos do último ano que ten o Ministerio en EDUCABASE, quitei celas irrelevantes e apliquei un formato condicional. Podedes ver o resultado nesta folla incrustada ou aquí a folla orixinal:

Ordenei de xeito ascendente da ratio das mulleres para que non teñades que ir buscando. O nesgo é terrible.

Pois ben, xa que ninguén quere debater comigo, queda aquí a miña opinión. [/rant]

Un ítem famoso

O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.

Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.

Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:

Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9

Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.

   

A aparente desaparición das Humanidades

Na primeira páxina de resultados de google en 3 pescudas distintas

O outro día lin a enésima carta ao director dunha docente de Humanidades lamentando a desaparición destas disciplinas das aulas. E automaticamente tiven que ir mirar como están as cousas, comparándoas coa situación na que estudiei eu o instituto, aló pola primeira metade dos anos 90. E achei isto:

Eu estudei cando estaba vixente a Lei Xeral de Educación de 1970, coñecida como Lei Villar Palasí polo ministro franquista de educación que a impulsou. Para a rapazada que lea isto, daquela a educación obrigatoria remataba aos 13/14 anos, no décimo ano de escolaridade, co curso final da EXB(Educación Xeral Básica), que era 8º, e viría corresponder por idade co 2º de ESO actual. Ao final da EXB un recibía o graduado escolar en caso de que acadase os obxectivos da etapa, e o certificado de escolaridade en caso contrario. O ano seguinte un podía continuar facendo BUP ou FP, ambas as dúas opcións non eran xa obrigatorias, polo que os alumnos que obtivesen o certificado podían simplemente abandonar sen máis o sistema(non coñezo datos de cantos alumnos deixaban o sistema en cada caso, con e sen graduado, é de supoñer que o groso dos abandonos estaría formado polos que non o obtivesen)

Actualmente a educación é obrigatoria ata os 16 anos, que para un alumno que nunca repita curso significa rematar 4º de ESO, e para os casos habituais de saída do sistema, significa repetir 1º e 2º e liscar ou repetir un deses cursos e 3º e liscar. (Aviso a navegantes: os profesores non temos máis datos sobre o noso sistema educativo que os cidadáns, a nosa administración non fai estudos globais, nin sequera achega os resultados das avaliacións diagnóstico de xeito coherente, nin o famoso PISA cando toca nos nosos centros).

Expoño esta introdución para enfocar o asunto: de que están a falar cando apelan ao abandono das Humanidades? De educación obrigatoria? Do bacharelato? Da FP? Da educación primaria?

Polo visto nas recorrentes cartas, seica falan de ESO e bacharelato. Comparemos, pois, a situación anterior e a actual nesas etapas/idades.

• Entre 7º/8º de EXB e 1º e 2º de ESO as principais diferenzas están nas materias que introduciu a LOXSE: agora hai 2ª Lingua Estranxeira (usualmente Francés) en 1º e 2º e Música e Tecnoloxía en 2º. O resto de materias obrigatorias cambiaron pouco(Ciencias Naturais e Física e Química tiveron vicisitudes,p.ex.), agás no número de horas semanais. Ademais, agora hai unha hora semanal para unha materia de libre configuración, que pode ser das autonómicas ou de centro. Para que entendades, no meu centro ofertan Introdución á Linguaxe Audiovisual, Taller de Lectoescritura, Portugués I e II, Obradoiro de Música, Maquetismo e Programación. Non é moi relevante no número de horas, pero si talvez é síntoma da escora que, coido, ten o sistema.

• Vexamos 3º de ESO/1º de BUP. Daquela eu estudei Matemáticas-Ciencias Naturais(4h)- Galego-Inglés-Castelán-Historia- Música(era Historia da Música)-Educación Plástica-Ética-Educación Física. Hoxe os alumnos teñen 13 materias, Matemáticas-Bioloxía e Xeoloxía(2h)-Física e Química(2h)- Galego-Inglés-Castelán-Xeografía e Historia-Música-Tecnoloxía-Educación Plástica-Educación Física-Valores Éticos, e teñen que escoller entre 2ª Lingua Estranxeira e Cultura Clásica. 

Ata aquí como o ides vendo?

• 4º de ESO/2º de BUP. Eu non puiden escoller nada con 15 anos, agás a EATP(Ensinanzas e Actividades Técnico-Profesionais), entre Teatro/Informática/Deseño/Francés. As materias obrigatorias eran Matemáticas-Física e Química-Galego-Literatura Española-Inglés-Latín-Xeografía-Educación Física. En troques, 4º de ESO presenta unha optatividade enorme. Para empezar, os alumnos teñen que escoller entre dúas opcións, Ensinanzas Académicas e Ensinanzas Aplicadas. (Inciso: a idea do PP coa LOMCE era cortar o acceso ao bacharelato desde a opción de aplicadas, aínda que poñendo a escusa de que o que imposibilitaría acceder sería a reválida escollida, non a opción cursada. Loxicamente, un alumno de aplicadas faría a reválida de aplicadas, de facto ía ser a opción a chave. Como, por sorte, as reválidas non chegaron a entrar en vigor, o título de ESO é único). As materias comúns ás dúas opcións son Galego-Castelán-Inglés-Xeografía e Historia-Educación Física-Valores Éticos/Relixión. Hai unhas Matemáticas ad hoc en cada opción, co nome rimbombante Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas/aplicadas; e despois os alumnos teñen que optar en académicas por 2 das 4 materias troncais de opción Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía-Economía-Latín e en aplicadas por 2 das 3 materias Ciencias Aplicadas-Iniciación á Actividade Emprendedora e Empresarial-Tecnoloxía. Finalmente as dúas opcións completan o horario con dúas materias específicas a escoller entre Artes Escénicas e Danza, Cultura Científica, Cultura Clásica, Educación Plástica, Visual e Audiovisual, Filosofía, Música, 2ª Lingua Estranxeira, TIC, ou unha materia troncal de opción non escollida entre as de arriba.(e que pode ser de calquera das opcións).

Diferenzas evidentes: o Latín xa non é obrigatorio, aínda que permanece como troncal de opción de académicas, e aparece un feixe de materias específicas, con 3 horas semanais, das que salientaría Filosofía, Cultura Clásica e Francés. Un alumno interesado polas Humanidades podería en principio cursar en 4º de ESO Latín, Economía, Filosofía e Cultura Clásica. Que materias tería de Ciencias? Matemáticas Académicas. Un alumno dese perfil en 2º de BUP tería efectivamente Latín, mais tamén Matemáticas e Física e Química.

Pasemos ao bacharelato, que lembremos que é unha etapa postobligatoria

• 1º de Bacharelato/3º de BUP. En 3º de BUP había que optar por Ciencias e Letras, con opcións intermedias Ciencias Mixtas/Letras Mixtas. Todas as opcións incluían Literatura Galega-Inglés-Historia de España-Filosofía-Ed. Física-Ética/Relixión. Se escollías Ciencias Puras, tiñas ademais Matemáticas I, Física e Química e Ciencias Naturais. En Letras Puras, Latín, Grego e Literatura Española. En Ciencias Mixtas, Matemáticas I, Ciencias Naturais e Literatura Española. En Letras Mixtas, Latín, Matemáticas II e Literatura Española. Actualmente hai dúas modalidades comúns, Ciencias e Humanidades e Ciencias Sociais, aínda que hai centros que tamén teñen o Bacharelato de Artes(Plásticas ou Escénicas, Música e Danza). Centrándonos nas dúas modalidades máis habituais, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Filosofía-Ed. Física, en Ciencias teñen Matemáticas I e teñen que escoller 2 materias troncais de opción entre Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía- Debuxo Técnico I. Na outra modalidade teñen dous itinerarios, un de Humanidades e outro de Ciencias Sociais(btw, estou moi en contra de que non sexan modalidades individuais, por razóns relacionadas, precisamente, coas materias de opción). En Humanidades teñen Latín I e en Ciencias Sociais Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais I, pero logo teñen que escoller 2 troncais de opción entre as 4 materias Historia do Mundo Contemporáneo-Economía-Grego I-Literatura Universal. En calquera modalidade teñen que completar horario cursando 2 ou 3 específicas, das cales unha pode ser troncal de opción non cursada(de calquera modalidade), entre TIC-Cultura Científica-Linguaxe e Práctica Musical-Debuxo Artístico-Análise Musical-2ª Lingua Estranxeira-Tecnoloxía Industrial I-Volume-Anatomía Aplicada.

• 2º de Bacharelato/COU. En COU o núcleo común estaba formado por Castelán-Galego-Inglés-Historia da Filosofía, e logo tiñas 4 opcións para escoller: A) Científico-Tecnolóxica, B) Biosanitaria, C) Ciencias Sociais e D) Humanística. Había dúas materias vinculadas a cada opción, respectivamente, Matemáticas I e Física, Química e Bioloxía, Matemáticas II e Historia do Mundo Contemporáneo, Latín e Literatura Española/Literatura Galega. Ademais das vinculadas, había que coller dúas materias optativas entre as vinculadas non escollidas e Xeoloxía nas opcións A e B, e Historia da Arte e Grego nas opcións C e D. No 2º de bac actual, seguen as modalidades de 1º, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Historia de España, e as troncais de modalidade continúan as de 1º: Matemáticas II, Latín II e Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Tamén hai que escoller 2 troncais de opción, en Ciencias son Física-Bioloxía-Xeoloxía-Química-Debuxo Técnico II, en Humanidades e Ciencias Sociais son Economía da Empresa-Grego II-Historia da Arte-Xeografía- Historia da Filosofía, aínda que este ano hai unha novidade legalmente algo dubidosa, que consiste en que a troncal de opción Historia da Filosofía é obrigatoria de facto en Humanidades e Ciencias Sociais e de oferta obrigatoria para os centros en Ciencias. De novo, hai que completar horario con 2 materias específicas entre TIC II-Fundamentos da Administración e a Xestión-Psicoloxía-Análise Musical-Ciencias da Terra e o Medioambiente-Francés II-Historia da Música e da Danza-Debuxo Artístico-Tecnoloxía Industrial II e as materias de libre configuración autonómica ou centro, cuxa escolla está limitada por non constar como específicas na lexislación e que haxa que cursar un mínimo de 2 específicas.

Resumindo, nas opcións actuais hai máis materias de humanidades e artes que cando estudei eu. Por outra banda, un alumno de Ciencias terá como moito a metade das materias de ciencias, mentres que un alumno de Humanidades poderá non ter ningunha materia de ciencias, o que vén reproducir o que sucedía no meu antigo COU.

A que se debe, entón, o reiterado salaio dos profesores de Humanidades? Para empezar, o lamento adoita proceder do profesorado de Filosofía e Clásicas, non do profesorado de Historia. Ao comezo da LOXSE o profesorado de Latín viu como a súa materia deixou de ser obrigatoria, daquela houbo protestas, que parece que se esvaeceron a estas alturas(non me fagades pensar mal e intuír a razón). O profesorado de Filosofía protestou fortemente contra a LOMCE pola baixada de rango da Historia da Filosofía de obrigatoria a troncal de opción, a nivel galego obtiveron o que comentei en 2º de bacharelato. Inflúe isto na formación do alumnado español? Inflúe, si, entre o alumnado que cursa 2º de bacharelato, etapa non obrigatoria. Inflúe, como din de xeito pretencioso, na escaseza de pensamento filosófico da sociedade, a perda de valores, a decadencia de occidente, etc...? Eu son moi escéptico. A Historia da Filosofía foi unha das miñas materias favoritas de COU, mais non deixaba de ser unha materia de estudo de 7 filósofos e as súas obras(Platón-Santo Tomé-Descartes-Kant-Marx-Nietzsche-Marcuse). Habería que preguntarlles aos meus compañeiros de COU que opinaban do fomento do espírito crítico e do pensamento filosófico nesa materia. Basicamente era un varrido da historia da filosofía occidental con saltos máis ou menos suaves, dirixido ao exame de selectividade, en formato comentario de texto-cuestións teóricas curtas-pregunta teórica longa.

Os que chegastes ata aquí(lendo en diagonal, adiviño), que opinades, desaparecen as Humanidades?

Nada cambia no ensino das Matemáticas, non si?

     

Xa sabía da rede de información educativa do Ministerio de Educación, Redined, hai ben tempo. E xa fixera algunha pescuda, cuxos froitos seguramente estean perdidos nalgún cartafol dun disco duro ou pen drive. Mais desta volta, ao utilizar como termos de busca "problemas matemáticos", "resolución de problemas" e variacións semellantes, cheguei a uns documentos que cambiaron as miñas pre-concepcións sobre o ensino en España nos anos 50/60. 

O primeiro documento que atopei foi "Problemas Matemáticos para el curso Preuniversitario (1957-58)", dividido en dous pdfs, cada un con 250 problemas(parte 1, parte 2). Como xa teño comentado(p.ex.), teño certa querenza por estas coleccións, polo que mergullei nos documentos en canto os descarguei. Sendo coñecedor de que a mal chamada Matemática Moderna chegara aos planos de estudos con data posterior a 1957, xa contaba con que os problemas fosen ben diferentes aos actuais de 2º de bacharelato(ou aos que aprendín eu en COU), mais non agardaba o que atopei, que podemos clasificar de xeito superficial polos temas tratados:

• Problemas aritméticos (anticuados) de cartos, fontes, móbiles, aleacións, mesturas, reloxos
• Divisibilidade elemental
• Exercicios sobre o sistema de numeración decimal
• Polinomios, fraccións alxébricas e ecuacións polinómicas, Cardano-Vieta
• Ecuacións e sistemas
• Progresións
• Límites
• Capitais, intereses, réditos, etc.
• Binomio de Newton
• Logaritmos
• Problemas xeométricos planos, métricos e de construción
• Problemas xeométricos sólidos, incluíndo cálculo de volumes e áreas de revolución
• Problemas de optimización sen contexto ou con contexto xeométrico
• Números complexos
• Estudo de curvas correspondentes ás gráficas de funcións reais
• Cálculo de derivadas
• Reconto combinatorio e probabilidade asociada
• Resolución de triángulos
• Problemas de latitude e lonxitude, problemas métricos na superficie da Terra
• Demostracións por indución
• Discusión de sistemas lineares con 3 ecuacións e 3 incógnitas(dous ou tres exercicios)
• Ecuacións trigonométricas
• Sistemas de inecuacións(nalgún caso xunto con ecuacións)

Non creo que deixase fóra moitos temas, e aínda que fose así, esta listaxe xa deixa ben clara unha idea: o PREU viña sendo un tour de force pola cantidade de contidos tratados, mais case todos de escasa sofisticación matemática. Ata o punto de que hai exercicios que se facían cando estudei eu en 7º ou 8º de EXB. O que si é certo, e xa o osmaba, é a profundidade coa que se estudaba a xeometría sintética, tanto plana como espacial, mentres que a xeometría analítica estaba en estadios inferiores ao estudo propio do BUP. Por outra banda, vin moitos problemas que mesturaban de xeito case aleatorio contidos de distinta natureza. Un exemplo témolo no ítem 352:

Hacer la multiplicación de los números complejos $(A+Bi) \times (C+Di)$, siendo:

$A=Log_{ \sqrt{2} \ }{0,5}$

B= La característica del logaritmo decimal de 0,0732

C=La fracción generatriz del número decimal periódico mixto 1,1666...

D=La probabilidad de que al lanzar tres monedas simultáneamente resulten las tres caras

Isto, na miña humilde opinión, non é un problema senón un exercicio enleado, principalmente porque en canto un le o enunciado, é obvio que hai que facer(saiba ou non facelo). Só vexo axeitado utilizar este tipo de exercicio como repaso despois de traballar varios contidos, porque como ferramenta de avaliación pode dar resultados confusos: se estamos a avaliar o produto de complexos en forma cartesiana, podemos quedar coas ganas se o alumno non sabe facer un dos cálculos previos.

A sensación que deixan os 500 problemas anteriores vese corroborada noutro documento que atopei, "Prácticas de Matemáticas", aparecido na Revista de Educación en 1955 e cuxo autor foi Francisco Bernardo Cancho. O documento vai dirixido tamén ao traballo no PREU, e propón exemplos de tarefas a realizar. Observade:

Un prado, de forma triangular, se divide en dos partes por la paralela a uno de sus lados, que descompone a la altura relativa al mismo en la razón $\frac{2}{3}$. Si cinco hombres  han segado en ocho días la hierba de la parte menor, ¿cuántos días tardarán catorce hombres en segar la parte mayor, si siete de éstos siegan como cinco de aquéllos?

Como curiosidade, a solución do autor utiliza unha regra de tres composta con catro magnitudes...

Máis adiante propón un exercicio completamente técnico pero que chama a atención polo inusual(cun feixe de erratas no enunciado):

En la expresión

$\left(x^4-x^3+x^2-x+1-\frac{2}{x+1} \right) \cdot \left(x^4+x^3+x^2+x+1+\frac{2}{x-1} \right)$

se pueden suprimir las fracciones sin que se altere el producto. Explíquese esta particularidad.

Se alguén ten interese na lei que deu lugar á creación do curso Preuniversitario, velaquí á ligazón ao BOE. Déixovos o irrisorio (para os estándares actuais) artigo 1:

"La Enseñanza Media es el grado de la educación que tiene por finalidad esencial la formación humana de los jóvenes y la preparación de los naturalmente capaces para el acceso a los estudios superiores"

Solución da adiviña

Como ninguén contestou á adiviña proposta por acó, e non sei se por demasiado sinxela ou por demasiado difícil, vou compartir a solución.

Observade a imaxe coa súa lenda(e co título), que na adiviña eliminei para facela máis complicada:

   

A imaxe provén dun estudo sobre a dificultade das táboas de multiplicar no Reino Unido, de aí que vaia desde 1x1 ata 12x12. Atopeina nesta ligazón:

Who, what, why: Why does the sum 7x8 catch people out?

Aínda que non era a primeira vez que daba con esta historia e con esta imaxe ou unha semellante.  Por exemplo, comparade con esta en The Guardian.

O estudo analiza 60000 respostas a produtos aleatorios nunha app dos 232 alumnos da Escola de Caddington, en Bedfordshire. Como indica o título, na imaxe vemos, como nun mapa térmico, o índice de erro en cada un dos produtos das táboas do 1 ao 12. É interesante que a diagonal non sexa un eixe de simetría, é dicir, que haxa casos nos que o produto axb e o produto bxa presenten distintas dificultades. Preto do final achamos que 11x12 e 12x11, resultando difíciles os dous, non resultan igual de difíciles.

A imaxe suxire que o produto máis errado é 6x8(63% de erro), xunto con 8x6(60% de erro). Para min foi unha sorpresa, pois agardaría que houbese máis índice de fallo en cálculos con números maiores. Seguramente non con 11 ou 12, pois dou por feito que a dificultade esperada polos propios alumnos faría que se concentrasen máis en aprender a táboa do 12, e a do 11 porque é especialmente sinxela.

Se queredes saber máis sobre como recolleron os datos do estudo, ide a esta imaxe. 

Adiviña

Seguindo ligazóns atopei onte a fonte desta imaxe, que aquí aparece oportunamente recortada para dificultar a adiviña. Non sei como será de difícil para alguén que a vexa por primeira vez, pois eu xa a coñecía hai certo tempo.

Ben, e isto que vén sendo?

Un cadro de Mondrian non é, como vemos nas cores utilizadas e
 na liña non paralela aos lados do cadrado...

Ensinamos ben as Matemáticas?

... non sei se o fago ben eu, como para pronunciarme en xeral. Ten toda a razón no seu chío Pedro Ramos:

La realidad es que nadie sabe qué hacen la mayoría de los profesores.

— Pedro Ramos (@MsIdeasMnosCtas) 14 decembro 2017

Para entender do que vou falar, tedes que ver antes este vídeo:

Vin este vídeo hoxe á mañá, antes de ir ao choio. Atopei a referencia en twitter, como tantas outras veces, entre as contas persoais e corporativas que sigo que se preocupan pola educación matemática. Case foi unha obriga velo.

Comencemos por presentar os participantes: o primeiro, Eduardo Sáenz de Cabezón, é profesor da Universidad de La Rioja e na súa canle, Derivando, fai vídeos lúdicos sobre temas relativamente alternativos; o outro, David Calle é enxeñeiro de telecomunicacións e mantén unha academia on line, unicoos, con máis dun millón de subscritores, que sen dúbida axudou a moitos alumnos de secundaria a pasar os seus exames. Teño visto algúns vídeos de Eduardo Sáenz de Cabezón e sempre tentan ser didácticos e divertidos. Iso queda garantido. Do outro profesor do vídeo, David Calle, oíra falar cando transcendeu o seu nomeamento no Global Teacher Prize, o mesmo premio no que participara César Bona dous anos antes; mais non atopara un oco para verlle un vídeo ata hoxe(e o que vin, sobre extracción de factores dun radical, certamente non me gustou, claro que o vídeo do mesmo procedemento de lasmatematicas.es tampouco, outro día talvez fale disto).

Hai que observar que o vídeo ten un ton agradable e desenfadado, o que é de agradecer despois de tantas críticas desaforadas á docencia das Matemáticas. Non esperaba outra cousa deles, tamén é certo.

Vaiamos debullando o que me resultou relevante do vídeo:

• Basicamente comenza por dicir que hai consenso en que as Matemáticas non se ensinan ben. Mencionan o comentario de Conrad Wolfram sobre a inutilidade do 80% dos contidos traballados nas clases, obviamente coa intención de crear tensión narrativa.
• Continúan dicindo que hai certos contidos que temos que estudar aínda que non lles vexamos utilidade inmediata. E que habería que introducir contidos máis lúdicos para motivar.
• Despois Eduardo comenta que como a tecnoloxía xa inclúe algúns dos procedementos que se ensinan(derivadas, integrais, etc.), ten que ser unha ferramenta  útil para a ensinanza. Logo concreta David que o que hai que atopar é un termo medio entre insistir cos cálculos aburridos e utilizar a tecnoloxía para esquivar as operacións.
• Tamén afirman que debemos incluír contidos máis motivadores, e de paso empatizar máis co alumnado. Eses contidos terían que ser como os que traballa Eduardo nos seus vídeos.
• Conclúen culpando aos creadores do curriculum e descargando ao profesorado, que está obrigado polos contidos prescritos.

En conclusión, obvian o suposto tema do vídeo, seica o deixan por imposible, pois non falan en ningures de como ensinar as Matemáticas, senón de que ensinar. O problema principal que lle vexo a este enfoque vén da miña propia experiencia: cando introduzo un tema algo alternativo non mellora a motivación posterior, cando teño que traballar contidos máis estándar, nin por suposto a comprensión. O alternativo funciona... mentres dura.

Acho de menos, e é unha teima desde que comecei na profesión, que digan como ensinar os contidos máis áridos. David Calle xa fai vídeos deses contidos, na miña opinión pouco fundamentada totalmente tradicionais. A Eduardo Sáenz non lle vin nunca explicar un contido estándar, con procedementos, só divulgar curiosidades(non o digo de xeito despectivo). Eu non son moi afeccionado ás operacións e procedementos longos e complicados porque si, porén asumo que hai que acadar certa familiaridade con eses contidos, pois gran parte da comprensión dos conceptos se constrúe ao mancharmos as mans cos cálculos previos. Se por exemplo non traballásemos en ningures a racionalización de expresións radicais(un dos cálculos que as calculadoras actuais executan), a resolución de certos problemas xeométricos e trigonométricos dependería dun número sen significado que aparecería nunha calculadora. E ben sei que moitos alumnos, aínda dominando os procedementos de racionalización, non serían quen de contestar preguntas elementais sobre as expresións radicais.

Cando a Xunta aínda ofrecía algúns cursos relacionados coa didáctica das Matemáticas, chamábame a atención que case ningún se cinguise ao curricular: trataban de contidos alternativos, lúdicos, etc. que usualmente xa coñecía de lecturas paralelas ao transcurso da carreira. E sempre pensei: "se non houbese un curriculum, iso tamén o faría eu todos os días, mira que espelidos".

E sigo pensándoo.

O novo temario das oposicións

Os temarios oficiais das oposicións a profesor de secundaria datan de 1993, cando a LOXSE aínda non entrara nos institutos, A lista de Schindler gañou o Oscar á mellor película, Radiohead debutou con Pablo Honey, e moito máis importante, este blogueiro estudaba derivadas e raíces de números complexos en 3º de BUP.

Como unha teima recorrente neste blog vén sendo a formación dos profesores de Matemáticas de secundaria, fun botarlle unha ollada ao borrador de novos temarios que publicou o Ministerio de Educación, que podedes atopar aquí. Vexamos por riba que cambiou e que quedou igual:

Á esquerda tedes os temas do borrador do MECD: sombreados en verde os que son practicamente iguais a temas vixentes, en vermello os que introduciron novos e en amarelo os que ou ben son parte de temas previos ou ben inclúen varios temas previos. Nos temas vixentes, á dereita, veredes en fonte verde os que se manteñen (sexa íntegros, en cachos ou xunto con outros) e en fonte vermella os que desaparecen. Obviamente puiden cometer erros puntuais observando o borrador, porén non variará moito o que tiro de conclusión.

Globalmente vese que cada un dos bloques tradicionais de contidos, Aritmética e Álxebra, Análise, Xeometría, Estatística e Probabilidade, varía un chisco: engaden algunha unidade como a de 15-Autovalores e Autovectores, eliminan algunha como a vixente 15-Ecuacións Diofánticas(a miña preferida de todo o temario, curiosamente), xuntan algunhas unidades como as de Matrices(18) e Determinantes(19) nunha soa, e dividen algunha unidade como a vixente 49 nas propostas 40-Corpos de Revolución e 46-Cuádricas.

Con respecto ás unidades novas deses bloques:

• A de Autovalores e Autovectores(15) é material de 1º curso de calquera grao de Ciencias e Enxeñerías, e non se ve/utiliza no bacharelato, non falemos da ESO.
• As novas de Análise(20-Series numéricas, 29-Diferencial dunha función de varias variables reais, 30-Ecuacións diferenciais ordinarias e 33-Funcións de 2 variables reais) forman parte do curriculum de 1º ou 2º de calquera grao dos mencionados. E tampouco pertencen ao de bacharelato e secundaria.
• As novas de Xeometría(47-Xeometría diferencial de curvas, 48-Xeometría diferencial de superficies, 51-Espazos topolóxicos) non son comúns a todos os graos de Ciencias e Enxeñerías, os espazos topolóxicos abstractos, por exemplo, só se estudan de xeito obrigatorio en Matemáticas e en Física(aínda que a noción conxuntista de topoloxía é habitual dentro do estudo da topoloxía da recta real). Utilidade en bacharelato e secundaria? $e^{\pi i}+1$
• A única nova que vin no bloque de Estatística e Probabilidade, 56-Series temporais, é propia do grao de Matemáticas(especialidade Estatística e Investigación Operativa) e loxicamente do de Estatística. A mesma utilidade en bacharelato cás anteriores novidades. 

Ao final do temario lembraron actualizar con algún contido relacionado coa docencia das Matemáticas, o que non é mal síntoma a priori. Vexamos:

• 69-A aprendizaxe matemática desde a neurociencia
• 70-As Matemáticas no proceso de ensinanza das etapas de ESO e Bacharelato
• 71-Do currículo básico á programación de aula en Matemáticas
• 73-A demostración en Matemáticas
• 74-Recursos e métodos para a aprendizaxe das Matemáticas

Agás a unidade 73, as demais non son exactamente contidos matemáticos, senón máis ben sobre a aprendizaxe das matemáticas. Na miña opinión, é axeitado que aparezan estas unidades na formación dos futuros profesores de Matemáticas, mais non estou seguro de se o lugar para incluílas é dentro dos temas do exame teórico. Quizais unha estrutura como a do proceso selectivo pre-2004, complementando a parte de lexislación educativa con didáctica da propia materia, sería a idónea. En calquera caso, xa vexo aos membros dos tribunais mirando temarios de editoriais para avaliar ese tema 69... e a probabilidade de incluír magufadas en troques das restricións da working memory está preto de 1.

Supón todo isto algún cambio importante? Pensando globalmente na preparación dos futuros profesores non, aínda que os opositores que xa prepararan algunha vez o temario van pensar o contrario, pois o cambio vailles supoñer non poucas tribulacións. Teño a sensación de que quen elaborase este borrador non tiña como principal obxectivo adecuar os temas ás necesidades do futuro profesor. Pode que pensase en incorporar novos temas á proba práctica da oposición, o cal é ridículo, pois problemas de xeometría diferencial, series, triangulación, ecuacións diferenciais, etc. xa teñen aparecido cos temas vixentes.

En conclusión, dá a impresión de que se actualizaron os temas polo mero feito de actualizalos. Unha perda de tempo e unha ocasión perdida máis.

Conferencia de Claudi Alsina no CIBEM 2017

Saio da escuridade do limbo dos blogues que non se actualizan para...

criticar, obviamente.



A raíz dun rechouchío da conta IberMatemática, vin o vídeo publicado pola OEI da conferencia plenaria de Claudi Alsina. Como vou criticar un chisco a súa conferencia, tedes que vela antes para comprender esta entrada:

"Adiós a la cabra, a la col y a la barca"

De todos é sabido que Alsina sabe como entreter a un auditorio de profesores de Matemáticas, como escoller os exemplos, e, por suposto, que ten sentido do humor.

Nesta conferencia mestura comentarios cos que concordo no esencial(só faltaría, é cuestión de probabilidade) con outros que me parecen pouco axeitados. Estes últimos son os que vou debullar.

• En primeiro lugar, non máis importante, o título da conferencia.

Xa falei dos problemas lúdicos clásicos, algúns milenarios, na entrada De que me soa a min isto?

E aló xa comentei que eses problemas seguen a ser interesantes. Polo menos na miña experiencia. Ademais, non estou certo de que se usen moito nas aulas.

• O que menciona sobre as cousas que non se usan fóra de clase.

Se a educación ata os 18 anos só tivese que ensinar cousas que se usan fóra de clase, non se trata de que en Matemáticas tivésemos que mutilar os contidos(asunto que non me quita o sono), senón que habería que eliminar a maior parte de materias que transmiten "meramente" o acervo cultural.

• Do que podemos prescindir.

Comenta algunhas cousas que xa non son habituais nas aulas e apunta outras das que creo que non hai que prescindir.

• As que xa non son tan habituais: o algoritmo da raíz cadrada baseado en $(a+b)^2$ xa non se emprega para facer raíces como $\sqrt{75920495}$ (eu fíxenas como alumno na EXB), as táboas de logaritmos(!?), que xa non nin usei eu nos 90(si usei as táboas trigonométricas).

• As non prescindibles: as operacións aritméticas elementares, ata certo punto. Aquí Alsina parece descoñecer un feito básico: aprendemos as propiedades dos números cando traballamos con eles de xeito concreto. Do mesmo xeito que os que estudamos baixo a New Math non aprendemos Xeometría Euclidiana automaticamente ao estudarmos as estruturas alxébricas comúns, os alumnos de agora non van poder resolver problemas interesantes se non teñen un coñecemento concreto previo dos números cos que terán que traballar. Tampouco creo que poidamos prescindir sen máis dos símbolos formais.

• As actualizacións dos temas que propón.

Algúns exemplos parecen tirados de libros de texto reais da actualidade(forenses, claves secretas, apostas, política electoral, recollida de datos, enquisas, etc.). Noutros parece gustar de fórmulas que non poderíamos facer entender aos alumnos, como o de $x^{\frac{3}{4}}$ que xorde no modelo depredador-presa ou o da data ideal da voda.

• En ocasións non sei se fala de Primaria ou de Secundaria.

Isto pode que sexa a miña responsabilidade.

• As frases grandilocuentes dos expertos educativos.

José Antonio Marina. Non hai máis preguntas, señoría.

• A inevitable mención aos profesores que odian a súa materia.

Aí non é orixinal. Cada vez que se xuntan 3 profesores falan mal dun cuarto profesor-modelo abstracto, exemplo de inútiles e espello de malvados. Vén sendo como o comentario do taxista dos monologuistas ou os aforismos-'cuñao' en twitter.

Porén, non me desgusta toda a conferencia, aínda coa súa cadencia fatigosa. Se algún xentil lector chegou ata aquí, pode deixar a súa opinión nos comentarios, prometo non mandar raíces cadradas para casa.

A cacarexada formación do profesorado(de Matemáticas)

Imaxina que es un profesor de Matemáticas average. É dicir, sabes manexar as ferramentas informáticas para a docencia, tes certa bibliografía didáctica á túa disposición e sabes navegar na rede na pescuda de novas ideas, actividades, enfoques...

Dás imaxinado iso?

Continúa entón:

Aproveitas as vacacións que celebran a sementeira para analizar a formación que che ofrece a túa administración educativa, neste caso a Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria da Xunta de Galicia.

Ti tes as túas inquedanzas docentes, aspectos nos que non dás atopado un xeito satisfactorio de traballar: o fomento do pensamento alxébrico na primeira etapa da educación secundaria, a introdución do concepto de función na ESO, o pensamento multiplicativo/proporcional, as demostracións matemáticas, a utilización do razoamento deductivo e do inductivo na aula, ...

E tamén sabes de certas iniciativas e polémicas lonxe do teu ámbito físico, máis ou menos novidosas: o productive failure de Manu Kapur, o growth mindset de Jo Boaler(que a primeira vista soa a homeopatía didáctica), o Problem Based Learning, o Inquiry Based Learning, o uso de problemas abertos na aula, a dicotomía entre o uso de exemplos abstractos e concretos no ensino, a minimal guidance na aprendizaxe,etc.

Agora tócache adiviñar: que pon á túa disposición a túa Consellería para que mellores a túa formación?

Comecemos por poñer como requisito que a formación sexa en Ferrol(o meu CFR, Centro de Formación e Recursos) e dirixida a profesorado de secundaria de Matemáticas:

 

Será que hai máis para o Bacharelato? 

Pois non

Quizais pido moito? Restrinxamos só que a formación estea dirixida a profesores de Matemáticas da ESO, e que poida ser realizada en calquera CFR, de xeito presencial ou virtual, pero que estea en prazo:

O das tribus é dunha empresa privada, para máis inri

Queda algunha dúbida de por que non me fío da administración educativa da que dependo? Imaxinade que tipo de avaliación do meu traballo docente poden facer os responsables deste deseño de formación do profesorado.

Groundhog Day, teaching edition

Nunha entrada de Dan Meyer dei cunha conferencia do investigador Edward G. Begle, Research and Evaluation in Mathematics Education. Procedo a traducir o comezo da súa disertación, ide adiviñando de que datas estamos a falar:

  Investigación e Avaliación en Educación Matemática

E.G. Begle

Stanford University

En educación matemática afrontamos dous problemas: o problema de ensinar mellores matemáticas e o problema de ensinar matemáticas mellor. Eu afirmo que o fixemos moi ben no primeiro problema pero mal no segundo. Nas últimas dúas décadas, como apuntou o profesor Young, fixemos posible que os cativos das nosas escolas aprendesen matemáticas moito mellores que as matemáticas ás que nós estivemos expostos. Aínda que non acadamos o progreso que agardabamos, desde logo que fixemos melloras na calidade das matemáticas dos nosos programas; e temos probas poderosas e abundantes de que os estudantes poden aprender estas mellores matemáticas.

Aínda máis, aprendemos durante a última década como podemos continuar garantindo que os estudantes teñan acceso a mellores matemáticas. Aprendemos como artellar a colaboración entre os profesores de aula e os investigadores, como elaborar novos materiais e como avalialos. En breve: o problema de ensinar mellores matemáticas está baixo control.

Pola contra o problema de ensinar Matemáticas mellor non o está. Déixenme enumerar algunhas das tentativas que foron levadas a cabo nos últimos doce anos. A finais dos 50 houbo moitos esforzos para ensinar mediante películas e a televisión. Despois chegaron as máquinas de ensinar e a aprendizaxe programada, coa promesa de que farían viable que todos os estudantes aprendesen, aínda que quizais a diferentes ritmos. O ensino en grupo cobrou grande atención durante un tempo, e en certo sentido segue a colleitala. O método de ensino mediante descobremento foi considerada a resposta ao noso problema de ensinar matemáticas e outras materias mellor. Máis recentemente, foi proposta a instrución individual, e tamén a instrución asistida por ordenador. Tamén se nos propuxo a planificación modular e a planificación flexible. Hai ben pouco a nosa atención foi dirixida aos laboratorios matemáticos.

Porén, a situación actual amosa que para todas estas panaceas ou ben hai escasa verificación empírica de ningún tipo, ou ben que hai demostracións empíricas de que os novos xeitos de ensinar non son mellores, aínda que a míudo tampouco peores que os nosos vellos xeitos de ensinar.

Se vos resultou interesante, despois desta a conferencia continúa outras sete páxinas; na entrada de Dan Meyer tedes acceso a dúas versións en pdf. Coido que é unha lectura reveladora para os que estamos neste choio de atopar xeitos de ensinar mellor. Aínda máis cando descubrimos que a conferencia foi lida a finais de 1970.

E van sete anos

Sete anos xa desde que abrín este Matemáticas na Rúa, coa intención manifesta de propor problemas non curriculares aos meus alumnos e facer menos fotocopias no proceso. A Rúa de Valdeorras, onde quedou...Dous anos estiven por alá, os dous anos máis prolíficos do blogue, como é obvio ao ver o arquivo da dereita ou a gráfica ad hoc de embaixo. Como o cambio de finalidade do blogue xa foi explicitado noutros aniversarios(3 anos, p.ex.), ademais de que é obvio se o seguides, hoxe vou repasar con brevidade onde estou agora desde o punto de vista da docencia.

  

Desde que son profesor, que xa van 12 anos diante, sempre tiven un par de ideas claras: a liña principal que tería que dirixir a educación matemática é a resolución de problemas, mais algunha destreza coas operacións aritmético-alxébricas é necesaria para centrarse naquela. Isto ás veces implica a utilización mecánica de algoritmos, pois o proceso de resolver un problema non pode embarrancar porque sexa necesario reconstruír o concepto de multiplicación polo medio. Isto, que apareceu espontaneamente na miña vida docente, semella ser corroborado polos estudos sobre a carga cognitiva. Por outra banda, mentres que é interesante que se dea o descubrimento dos conceptos/procedementos matemáticos por parte dos alumnos, isto non sempre é posible, e non só polo tempo limitado e a hipertrofia do curriculum: hai desenvolvementos matemáticos que levaron séculos, sería un tanto arrogante pensar que a mediación dun simple profesor coma min puidese artellar un verdadeiro descubrimento na súa aula(haberá quen prefira dar Clever Hans por lebre)

Xunto ás ideas anteriores, sempre tiven certas tendencias, máis ou menos explícitas e máis ou menos contraditorias(chamádelle prexuízo se preferides):

• En primeiro lugar, non sendo un tecnófilo, manteño certo grao de familiaridade co mundo da Informática. Aínda así, desconfío dos que cren que calquera ferramenta informática é automaticamente unha ferramenta docente.
• En segundo lugar, sendo xogador de videoxogos de moitos anos, sempre quixen que os xogos tivesen un papel nas miñas aulas. A lectura de investigacións sobre o uso de xogos refreou as miñas arelas.
• Por último, desconfío cando leo ou vexo calquera poñente que afirma que a aprendizaxe das Matemáticas pode ser sinxela; sóanme a vendedores de elixires en carromatos nos westerns; porén, tamén desconfío dos que afirman que é tan difícil que é case imposible, pois a experiencia dita o contrario(algo semellante á frecha de Zenón: se a realidade nega o teu razoamento, revisa o razoamento, non colapses coa frecha chegando ao destino). 

Con respecto ao que vou atopando na pescuda pola rede de xustificacións e negacións das miñas ideas e prexuízos, déixovos unha escolma:

• O artigo que máis abraiado(no senso negativo-preferiría que fose ao revés) me deixou ao atopalo foi seguramente "Why minimal guidance during instruction does not work" de Clark, Kirschner e Sweller. Aínda sigo rillando o que di, o que lle contestaron e a súa contrarréplica
• O estudo patrocinado por Pearson(insira o Wilhem Scream aquí) Visible Learning, de John Hattie, xunto co ranking de medidas efectivas tamén me fixo cavilar. Non tardei moito en atopar obxecións ao seu uso alegre de medidas estatísticas(probabilidades negativas?, uso do Common Language Effect Size). Aínda así, que  no ranking do Effect Size "Testing" só acade un 0,30(chegando Direct Instruction ao 0'82 e Feedback ao 1'13), tendo como patrocinador a Pearson, deus olímpico dos exames externos, é de moita mofa.
• O traballo de Richard Skemp sobre psicoloxía na educación matemática, ao que cheguei vía Relational Understanding and Instrumental Understanding, supuxo unha agradable confirmación de ideas previas, que gardaba eu no miolo desde a miña época de estudante do BUP. Moito que dixerir no seu traballo.
• O traballo do psicólogo cognitivo Daniel Willingham(web, blogue) tamén veu confirmar certo nesgo meu en contra de teorías postmodernas como os Learning Styles ou as Intelixencias Múltiples.

Abonda por este ano. Espero vervos por acó.

Editado ás 15:22: E este é o post número 600!

Un problema sen palabras

Por un rechío do sempre activo James Tanton cheguei a este fermoso problema. Botádelle unha ollada:

O vídeo foi publicado por The Global Math Project, nova iniciativa pola divulgación das Matemáticas á que eu veño de apuntarme.

Despois de ver o vídeo, varias xeralizacións abrollan:

• Que sucede se o cadrado non ten as dimensións 5x5?
• Que sucede se o taboleiro é un rectángulo non cadrado?
• E outras formas?
• ... 

Ben, creo que abonda con este problema e os seus derivados para esta noitiña. Permanecede expectantes á revisión deste ano no voso blogue preferido de Matemáticas de educación matemática dun profesor de Matemáticas.

Unha pregunta do GCSE

Collido do Guardian

Se botamos unha ollada aos xornais británicos(Guardian, Telegraph, Independent) resulta evidente que estamos a rematar o curso, pois xa podemos ver reaccións e comentarios aos últimos Exames de Certificación da Escola Secundaria, os famosos GCSEs. Isto debe de ser peculiar daquelas latitudes, o único que se adoita comentar en España é a parella de filósofos que caeu na Selectividade(2014, 2013). Hai anos, cando había comentario de texto tamén era habitual unha mención ao autor e o tema.

Neste caso o ítem que está a dar que falar é o seguinte, xa bautizado nos medios como Hannah's sweets:

Hai n caramelos nunha bolsa. 6 dos caramelos son laranxas. O resto dos caramelos son amarelos. Hannah colle ao chou un caramelo da bolsa. Come o caramelo. Despois colle outro caramelo ao chou da bolsa. Come o caramelo. A probabilidade de que Hannah coma dous caramelos laranxas é $\small{\frac{1}{3}}$

Amosar que

$$n^2-n-90=0$$

Se ledes algún dos artigos veredes que apuntan que provén do GCSE administrado por Edexcel. Isto pode soar raro para alguén non afeito á mercantilización extrema da educación que padecen os países anglosaxóns: O certificado xeral da escola secundaria británica (agás Escocia) non é unha proba organizada pola administración educativa estatal ou rexional, senón por certas empresas que teñen a concesión do servizo. Edexcel, por exemplo, depende do xigante internacional Pearson. A outra grande compañía administradora é AQA. No dawn of the LOMCE que estamos a sufrir, non tardaremos en ver voitres sobrevoando o ensino público. Veredes.

O elemental non é nada elemental

O artigo de Hung-Hsi Wu What's sophisticated about Elementary Mathematics apunta a unha das verdades moitas veces obviadas do ensino das Matemáticas: aínda o elemental require dunha comprensión profunda. Un dos exemplos que utiliza Wu é o da división de fraccións (tratado noutros artigos/libros do mesmo autor). Nel comenta que as dificultades coas fraccións no ensino medio proveñen parcialmente de que o modelo estándar para o concepto de fracción, a tarta dividida en anacos iguais, resulta forzado para utilizar en fraccións maiores ca 1 e aínda peor para atacar problemas de velocidades ou razóns.

E todo isto a conto das fraccións, tema que calquera persoa educada na época da EXB/BUP (que non saiba abondo de Matemáticas) pensará que é elemental.

Pois non é complicado atopar outros exemplos de cuestións aparentemente inocentes ou obvias que poden levarnos a preguntas nada sinxelas de contestar.

O primeiro exemplo tomareino da historia da Xeometría, e aínda que procede dos Elementos de Euclides, non é o arquicoñecido postulado das paralelas. Veume á memoria revisando os Fundamentos da Xeometría de David Hilbert, ao ver os axiomas de ordenación, mais a primeira vez que dei con el foi no fabuloso The Mathematical Experience de Davis e Hersh:

Imaxinemos que A, B, C e D son catro puntos dunha liña recta. Supoñamos que B está entre A e C, e que C está entre B e D. Que podemos deducir sobre A, B e D?

Obvio, non? Forzosamente B ten que estar entre A e D. O que resulta interesante é que esta obviedade non pode ser demostrada cos 5 postulados de Euclides. E non é unha mera curiosidade, isto deu lugar a que Hilbert, apoiándose no traballo de Moritz Pasch, incorporase novos axiomas para apuntalar a Xeometría Euclidiana.

Mais non é necesario remexer na historia para atopar exemplos de cuestións elementais que pasamos por alto e merecen certa reflexión pois non son obvios, polo menos para os alumnos. Vexamos dous, un aritmético e outro xeométrico:

Por que é certa a seguinte igualdade e a súa evidente xeneralización?

$$5+5+5=3+3+3+3+3$$

Realmente creo que esta pregunta é susceptible de ser lanzada na ESO sen preámbulos para crear discusión. Vaiamos ao outro exemplo.

Todos os alumnos aprenden en Primaria que a área dun triángulo é a metade do produto da lonxitude da base pola altura correspondente. Tamén é probable que lles expliquen a fórmula a partir da área do paralelogramo. A cuestión obvia é:

Por que o valor da fórmula non varía se collemos outro dos lados como base, e por tanto cambiamos tamén a altura?

     

Só hai que dubidar das afirmacións que aparecen sen explicación/demostración e atoparemos feixes de cuestións por aclarar.