29.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-3

 O terceiro problema da fase final da olimpíada tivo o aquel lucense que estabamos a agardar:

Aquí tes unha figuración simplificada do plano do interior da muralla de Lucus Augusti nos tempo de César Augusto.

Neste blog sempre bancamos por Lugo                  



O centurión Caio Vinicius debe organizar o corpo de lexionarios que agarda no Foro para saír cara os corpos de garda, dende onde protexerán as que eran as cinco portas da cidade naqueles tempos. Inicialmente divídeos en partes iguais para que se dirixan por cada unha das 4 rúas que saen do Foro. A medida que avancen, no sentido das frechas, en cada bifurcación deberán dividirse tamén en partes iguais. Cal é o menor número de lexionarios necesarios que estarán de garda esa noite, se sabemos que son máis de 50? Se a principal porta de entrada á cidade é a que ten maior número de lexionarios vixiando, cal é e cantos lexionarios a gardan?

Ben, parece sinxelo, non? Está claro desde que un decodifica o texto que imos ter que considerar que o número de lexionarios ten que ser divisible por certos números que van aparecendo. E a formulación da pregunta, "Cal é o menor número de lexionarios necesarios que estarán de garda esa noite, se sabemos que son maís de 50?" resulta familiar, o que sempre axuda. Mais hai obstáculos, ademais de que hai subgrupos que se reagrupan(o que non afecta ao número mínimo, pero si á porta principal), hai bifurcacións nas que non se dividen, pois a frecha non o permite. Se non, habería lexionarios que sairían e despois de dous cruces volverían ao foro, todos panchos.  

Se dependese de min, quizais este sería o problema axeitado para o 1º da xeira. Mais ninguén obriga a facelos en orde, ben sabedes.

Con esta idea poderíamos crear un feixe de problemas distintos nos que cambiase o xeito de actuar nas bifurcacións. A ver se lembro o curso que vén...

28.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-2


Traio o problema 2 da fase final da olimpíada para que pensedes mentres padecedes o sol:

O centurión Vinicius Fabius decidiu repartir entre os seus mellores lexionarios certo número de moedas de ouro, todas elas do mesmo valor, da seguinte forma:

  • Ao mellor lexionario tócalle unha moeda e un sétimo das que sobran.
  • Ao segundo mellor lexionario outórgalle dúas moedas e un sétimo das que sobran.
  • Ao terceiro mellor tócanlle tres moedas e un sétimo das que sobran.
  • E así sucesivamente até chegar ao último dos elixidos.
Se todos os lexionarios recibiron o mesmo número de moedas, cantos lexionarios premiou o centurión? canto recibiu cada un?

Sóavos o problema? Non lembra superficialmente ao clásico das rapazas que sucesivamente bailan cun rapaz máis, mesturado co problema do reparto do tesouro entre piratas, os monos e os cocos ou algo así?
Pois se vos soa, sabede que é comprensible, pois este problema ten séculos, está recollido no Liber Abaci de Fibonacci(1202). Se non tivese explicitamente a condición de que todos os lexionarios levaron o mesmo número de moedas, a versión é anterior e apareceu no Lilavati de Bhaskara(s.XII), e aínda é atribuído a Brahmagupta, cinco séculos antes. A inclusión da condición fai o problema susceptible de resolver mediante álxebra elemental; se non a incluísen, o razoamento sería máis sofisticado.

Imaxino aos cativos pelexando co problema como se fose unha actividade de clase habitual: se  fago un debuxo para indicar os sétimos, o que queda... Quizais recorrendo á álxebra, o 1º lexionario levaría $1+ \frac{x-1}{7}=\frac{x+6}{7}$, seguindo co que levaría o 2º, quizais poñéndose co 3º... Ata decatarse de que poñerlle letras ao nº de moedas dos dous primeiros lexionarios xa serve para comezar a xogar, pola condición de que todos levan as mesmas. Tamén podo imaxinar que a intuición lles dixese que tiñan que ser 6 lexionarios, que traballasen sobre ese dato, pero non poder xustificar a súa intuición a priori(resolvendo o problema, un pode ver que eses sétimos que aparecen no transcurso tamén son sextos doutras cantidades do problema).
E que sucedería se tentasen traballar "para atrás", como no típico problema dos 3 amigos que se van repartindo moedas en función das que teñen en cada momento?
O último lexionario levaría tantas moedas como o seu número, máis 0, que é un sétimo de 0(sempre me presta dicir este tipo de cousas en voz alta), polo que o anterior lexionario, o (n-1)-ésimo, levou unha menos que o último, máis un sétimo das que quedaban, deixando xusto n para o último, e utilizar aquí a igualdade de moedas. E aínda hai máis razoamentos rápidos que funcionan aínda que non sexamos rigorosos, por exemplo respecto ao número máximo de lexionarios en función dos restos distintos módulo o denominador da fracción, aínda que sen usar toda esa barallada.

Como conclusión: paréceme un bo problema e axeitado para esta fase, no que se pode fedellar e usar a intuición. Os meus parabéns pola escolla.

27.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final

 

Este xoves 26 tivo lugar a fase final da olimpíada galega de 2º de ESO no Círculo das Artes de Lugo. Testemuñas que asistiron comentan que a xornada foi unha experiencia estupenda para participantes e acompañantes, cousa que non me sorprende, pois iso mesmo vivín eu hai 7 anos cun alumno do IES Punta Candieira. Nunca poderemos agradecer abondo ao comité organizador de AGAPEMA o traballo desinteresado que fan.

Como fixen este ano cos problemas da fase local, vou dedicar unhas entradas aos problemas desta fase. Velaquí o primeiro:

Unha terna pitagórica está formada por tres números naturais, a, b e c, que verifican o teorema de Pitágoras, é dicir, $a^2+b^2=c^2$ . Podemos velos como os lados dun triángulo rectángulo no que a e b son os catetos e c a hipotenusa. Sendo así, dicimos que o ano 2022 é hipotenuso, xa que podemos felicitalo a partir de dous catetos dun triángulo rectángulo no que 2022 é a hipotenusa: $1050^2+1728^2=2022^2$

  1. Demostra que se a, b, c forman unha terna pitagórica, entón na, nb, nc tamén, para n un número natural calquera
  2. Encontra 3 ternas pitagóricas diferentes
  3. Comproba que 2025 será un ano hipotenuso.
  4. Descobre se teremos outro ano hipotenuso antes de 2025.
A estas alturas xa saberedes que a teoría de números elemental é a miña parte preferida das Matemáticas, aínda así, sorprendeume ver esta proposta como 1º problema do concurso. Para empezar, o apartado a é moi técnico para o usual neste nivel de olimpíada. Para quen domine o uso de variables é puro textbook work: $(na)^2+(nb)^2=n^2a^2+n^2b^2=n^2(a^2+b^2)=n^2c^2=(nc)^2$, dándose a penúltima igualdade porque (a,b,c) é unha terna pitagórica. Para que non o domine, probablemente a verbalización do problema sexa un obstáculo insalvable.

No b) é posible que haxa alumnos que teñan na memoria xa exemplos de ternas pitagóricas, pois a estas alturas de curso de 2º de ESO en moitos centros xa pasaron polo bloque de Xeometría, sen dúbida. Como curiosidade, poderían atopar as ternas a partir do exemplo, ademais da resposta esperada, i.e., multiplicando os termos 1050, 1728, 2022 polo natural que lles pete, dividindo polos 3 factores comúns que teñen os elementos da terna:
$\begin{cases} 1050=2 \cdot 3 \cdot  5^2 \cdot 7 \\ 1728=2^6 \cdot 3^3 \\ 2022=2 \cdot 3 \cdot 337 \end{cases}$
$(525,864,1011),(350,576,674),(175,288,337)$

Para o c) lembrade que os cativos dispoñen de calculadora, ademais da pura busca por forza bruta, cabe a posibilidade de fedellar un chisco nos números:
Como $2025=25 \cdot 81$ entón $2025=(3^2+4^2) \cdot 9^2=3^2\cdot 9^2+4^2 \cdot 9^2=27^2+36^2$. Outra opción sería coller $2025=5 \cdot 405=(1^2+2^2)(18^2+9^2)$, e aquí seguir do xeito que explico na entrada Matrices e Pitágoras?

Finalmente, para o d) o mellor é razoar sobre o aspecto dos cadrados perfectos, para un iniciado nas congruencias é case imposible non utilizalas. Daríase o caso de que algún alumno incluíse o 0 nos naturais, facendo que todos os números sexan hipotenusos?

18.5.22

Global Teaching Insights

Compartindo o asunto desta entrada en twitter reparei en que non contara nada no blog, cuestión que veño a resolver.

Entre a 3ª avaliación do curso 2020/21 e o verán seguinte estiven inmerso de xeito intermitente nun traballo coordinado polo profesor da Universidad de Alcalá Pedro Ramos, xunto cos profesores de secundaria doutras comunidades Cristina Miguel, Juan José López e Lara Villaseñor. O traballo consistiu en analizar unha sesión de clase dunha aula dun instituto xaponés, na que un profesor desenvolvía a resolución de ecuacións de 2º grao apoiándose na representación xeométrica, o tradicional "completar o cadrado" pero non visto de xeito puramente alxébrico.

A organización destes estudos correu a cargo da OCDE, se seguides este blog un anaco deberíades notar os meus calafríos. A explicación: aceptei entrar no grupo antes de saber quen organizaba. Por outra banda, tamén saberedes daquela que neste blog xa falei do TIMSS 1999 Study Video nunha entrada na que confesaba que quedara abraiado co nivel dos problemas propostos. Polo que, en conclusión, I regret nothing.

Explicado todo isto, velaquí o vídeo e os comentarios que fixemos os participantes do grupo:


PS: non vai o iframe do vídeo, deixo aquí o link mentres non se resolve o problema


Póñovos tamén a ligazón á web Global Teaching Insights, onde poderedes atopar máis vídeos con sesións de clase de varios países. Algúns son verdadeiras xoias da ensinanza, en moitos sentidos.