Números que non son múltiplos de 3

 Un dos blogs máis activos que segue a haber no mundo das Matemáticas é o de John Cook, The Endeavour. Hai anos que o teño no meu lector de feeds, mais a miúdo paso por riba das publicacións sen prestar a atención debida. Hoxe levaba días sen abrir o feedly e dei coa entrada Beatty's Theorem, e non creo que me trabuque se digo que moitos coñecemos este resultado cando o atopamos no formidable Ingenuity in Mathematics, de Ross Honsberger, na súa tradución ao castelán na colección La Tortuga de Aquiles, Ingenio en Matemáticas. O teorema afirma que se colles dous números irracionais a e b tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$, entón as dúas sucesións $\lfloor{na}\rfloor$ e $\lfloor{nb}\rfloor$ conteñen todos os números naturais sen que haxa repeticións, é dicir, cada número natural está nunha desas dúas sucesións é só nunha. Este tipo de resultados non adoitan aparecer na carreira de Matemáticas por peculiares e afastados do canon que hai que tratar. Ata o punto de que, se teño que remexer na memoria, só lembro unha proposición non elemental(nin conxuntista nin de medida) na que interviñese o feito de que un número fose irracional, e sucedeu en Sistemas Diferenciais e Grupos de Lie: se colles unha liña recta que forma un ángulo α coa horizontal e segues a súa traxectoria pola superficie dun toro ($\approx \mathbb{R}^2/ \mathbb{Z}^2$), o camiño é homeomorfo a unha circunferencia se α é racional e a $\mathbb{R}$ se α é irracional(neste caso, o camiño é denso no toro). Neste enunciado abusei da linguaxe un chisco, nestas imaxes albiscaredes mellor de que fala:

  

Exemplo de curva homeomorfa á circunferencia 

Pero no capítulo do libro o que me resultara máis interesante non era este teorema, senón o que viña despois, que daba título ao capítulo: o concepto de sucesións complementarias, que aparece no Teorema de Beatty. Como podedes adiviñar, dúas sucesións son complementarias se son disxuntas e cobren todos os números naturais.

No libro, unha vez introducido o concepto, utilízao para traballar polo miúdo un caso ben intrigante: cal é o termo xeral da sucesión dos números naturais que non son cadrados perfectos? Os cadrados son ben coñecidos, o n-ésimo cadrado é simplemente n², pero quen é o n-ésimo non cadrado? Por exemplo, o sétimo non cadrado é 10,  o vixésimo non cadrado é 24, o milésimo é 1032, etc.

Non parece que a expresión dese termo xeral vaia ser completamente elemental, non si? É un exercicio complicado, dígovolo eu que a aprendín lendo o libro de Honsberger(se alguén ten interese, que contacte comigo).

Por iso pensei nun exemplo máis acaído para este blog, que pode ser resolto sen tanta maquinaria.

Cal é o termo xeral para a sucesión dos números que non son múltiplos de 3?

É dicir, cal é o n-ésimo número non múltiplo de 3?

Póñovos os primeiros termos para que teñades unha epifanía: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, ...

Será a xeneralización a calquera natural en troques do 3 máis complicada? É dicir, cal é o n-ésimo número que non é, poñamos, múltiplo de 17?

O n-ésimo número que non é triangular?

Etc.

Se formades parte do fandom deste blog, talvez lembraredes unha adiviña que propuxen unha vez e que nunca obtivo resposta, que ten certo sabor similar...

De súpeto, 13 anos

 

Da wikipedia, Lucky Number
Tentade descifrar que sucede
no gif antes de ir á ligazón 

Un ano máis no blog, e van 13. Ano no que a curva de entradas cambiou de tendencia: levaba 3 anos consecutivos publicando 24 entradas, que é o mínimo do blog e este aló foron 32. Tendo en conta a miña vida no mundo real xa é un número considerable, ao que non podo aspirar de xeito consistente.

Por se alguén ten curiosidade por coñecer a difusión dun blog como este, cun público obxectivo dun nicho moi concreto e relativamente reducido, velaquí:

A entrada máis visitada do ano foi O último flame co ensino das Matemáticas, única entrada de agosto, escrita co gallo da filtración do borrador do curriculum de Primaria. E leva 237 visitas.

Séguea a entrada Unha adiviña de visualización, de outubro, que tiña unhas gráficas ben bonitas(que obviamente non fixen eu). Leva 212 visitas. 

A terceira entrada máis visitada foi Exercicios tan malos que son bos, de marzo, que leva 209 visitas. Facendo introspección, coido que esta entrada plasma perfectamente na escrita o que adoito facer oralmente.

Este top 3 cumpre ademais que son as únicas entradas que pasaron de 200 visualizacións. Outras 13 entradas pasan das 100 visualizacións e as restantes 16 teñen menos de 100, ata un mínimo absoluto de 68, sorprendentemente a primeira entrada do 2021, Dúas diseccións, que por certo creo que é ben bonita, demasiado difícil, talvez.

Agás esa anomalía na entrada, un podería intuír que as entradas máis vellas terán máis visitas. E certo é que algo inflúe, pero non demasiado. Observade a gráfica de visualizacións das entradas ordenadas cronoloxicamente:

    

A media de visualizacións das entradas é 112, a mediana, 100, cunha desviación típica de case 44. Pero vaia, neste caso a gráfica xa dá rapidamente a intuición de como funciona a difusión do blog, non necesitamos a precisión numérica.

Un podería pensar que poucas visitas son para o choio que dá(aínda que habería que concretar esta idea), é inevitable caer algunha vez nisto tendo en conta que cousas teñen repercusión por aí fóra. En particular, a divulgación en castelán de ideas da época de Carlomagno como se fosen novidades xa me cheira hai tempo. Pero imaxino que o problema é que non pertenzo ao target obxectivo de tal divulgación.

Porén, visto en positivo, que unha entrada dun calquera coma min chegue a ter máis de 200 visitas, sinceramente ten o seu aquel.

Moitas grazas a tod@s.

Catro novas diseccións

 Hai tempo que sei das ferramentas que inclúe Mathigon, en particular o Polypad, pero xuraría que nin as trouxen por acó, nin pola conta de twitter(facendo unha pescuda, o único lugar onde creo que as mencionei foi no grupo de profesores de Matemáticas de Facebook, poño o link por se alguén ten curiosidade).

E había tempo que tiña interese por saber se os exercicios típicos de diseccións, un tema clásico das Matemáticas recreativas, eran tan complicados de crear. Oufano como son habitualmente, aló fun coas miñas expectativas ben altas. E como poderedes intuír, xa non penso o mesmo. Aínda así, salvei 4 cousiñas que dei feito, supoño que serán máis sinxelas cá media das diseccións planas que xa hai pola etiqueta disección deste blog(que teño que actualizar para que inclúa as entradas máis vellas). A ver se vos gustan.

Na primeira tedes que dividir a figura en 3 figuras congruentes utilizando as liñas da cuadrícula:

   

Nesta, o mesmo pero con 4 figuras congruentes:

   

Esta nova figura tedes que dividila en 4 figuras congruentes:

   

E para rematar, este rectángulo ao que lle descoloquei un cadrado ten que dividirse en 7 figuras distintas. Como pista críptica, sería imposible facer un rectángulo 4x7 con esas 7 figuras, e o culpable é un humilde T de cor verde:

    

Seguro que se colledes a ferramenta do Polypad dades feito cousas máis bonitas que estas. Pero claro, hai que ser teimudo.