Un ítem famoso

O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.

Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.

Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:

Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9

Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.

   

Facer tests

Construír probas tipo test é unha arte que require diferentes destrezas. Se queremos que a puntuación plasme con certa fiabilidade os coñecementos do examinado, temos que evitar que se poida pasar a proba recorrendo ao mero azar. Do xeito de evitar esta eiva falou Gaussianos neste artigo no País, onde deduce canto ten que restar cada fallo para que a nota esperada contestando ao chou sexa un 0. Claro que non todos os que elaboran os tests, sobre todo na universidade, teñen como obxectivo o de seren xustos. No único exame que fixen na carreira onde había un test, Métodos Numéricos I, cada fallo baixaba como un acerto, por sorte a materia era sinxela...

Confeso que eu fixen poucos tests como profesor, e os que fixen sempre funcionaron como avaliación formativa. Non estou certo de se esta escaseza provén dunha desconfianza nos tests como método avaliador ou da dificultade para elaboralos(a correción estaremos todos de acordo que é un punto a favor). Ademais da problemática analizada no devandito artigo, elaborar ben un test require preocuparnos non só de escoller ben os ítems, senón tamén de escoller ben as respostas incorrectas. Se cada ítem ten 4 opcións de resposta, as tres incorrectas deben ter un significado, unha intencionalidade. Deixando a un lado que ás veces podo querer facilitar a resposta correcta, por variadas razóns, usualmente inclúo unha resposta suficientemente absurda para que só a escolla quen non teña nin idea ou non estea prestando atención. Para introducir as outras dúas respostas hai que ter máis coidado. Normalmente asigno un erro común a cada unha, aínda que tamén teño encadeado dous, dependendo de se o procedemento examinado é o suficientemente longo.

Poñamos un exemplo trivial de posible ítem:

Cal é a solución da ecuación $6x=3$?

a) $2$	b) $\frac{1}{2}$	c) $9$	d) $-3$

Neste exemplo a opción absurda é 9, pois habería que sumar os coeficientes para obtela. Das dúas opcións incorrectas pero con xeito, a) corresponde a dividir 6 entre 3 en troques de 3 entre 6, e d) corresponde a restar 3-6. Tamén hai que ser consciente de que nun ítem así, pode haber alumnos con picardía que intúan que a resposta correcta será probablemente a que teña o aspecto máis raro.

Comparto un test deste mesmo ano, proposto na miña titoría.

Unha consecuencia de elaborar os tests deste xeito é que, cando os corriximos en clase, dan lugar a unha actividade posterior: adiviñar a intencionalidade de cada resposta incorrecta, como seguramente estaredes a facer vós.


Curiosamente comecei esta entrada pensando en falar dun ítem famoso dun test, tema que agora queda para a vindeira entrada.

Uns puzzles só para pensar

Par+Impar=Par? Descansa, Wiles.

Na anterior entrada compartín uns puzzles cun certo aquel físico, nos que había a posibilidade de coller coas mans os obxectos que aparecían neles para axudar ao razoamento. Os problemas de hoxe, en troques, son puramente técnicos. O que ten o seu lado bo, como entenderedes neste chiste:

Un día estaba o director do departamento de Física dunha universidade preocupado polos gastos de laboratorios e equipamentos. "Por que non podedes ser como os vosos compañeiros de Matemáticas? Eles só necesitan cartos para lapis, papel e papeleiras. Ou mellor aínda, sede como os compañeiros de Filosofía. Só necesitan lapis e papel"

Pois ben, hoxe abonda con papel e lapis, e nalgún caso nin papel nin lapis son necesarios.

• Por que non pode existir un poliedro que teña exactamente 7 arestas?


• Sodes quen de atopar unha curva no espazo que corte a todos os planos mais só nun número finito de puntos?(Bonus: e se é finito pero sen límite superior?)


• É ben sabido que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é numerable, pois é consecuencia dun teorema moito máis forte: o produto cartesiano finito de conxuntos numerables é numerable. Por tanto non debe ser difícil atopar explicitamente a expresión alxébrica dunha bixección entre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$  e $\mathbb{N}$. É máis, pódese atopar unha bixección polinómica. Ánimo.


• Na unidade de Divisibilidade de 1º ou 2º de ESO cabe a posibilidade de que apareza a seguinte igualdade: $$[a,b] \cdot (a,b)=a \cdot b$$, onde [a,b] representa o mínimo común múltiplo de a e b, e (a,b) o seu máximo común divisor. A demostración é sinxela se un sabe previamente como calcular o m.c.m. e m.c.d. a partir dos factores primos de a e b. Pensemos agora en tres números, a, b e c. Haberá unha fórmula análoga para o produto de a, b e c? A analoxía perfecta non se cumpre, como podedes ver cun caso calquera, p.ex. 6·8·15=720, mentres que [6,8,15](6,8,15)=120 · 1


• Collamos nun cubo dúas diagonais que se crucen, na figura debuxei BD e EG. Se collemos puntos calquera M en BD e N en EG, e atopamos o punto medio do segmento MN, P, que lugar xeométrico percorre P cando M e N varían?

E se as diagonais non se cruzan?

Xa tedes para pensar un anaco cando descansades de limpar a casa.