Volvamos sobre unha idea que xa pasou tanxencialmente por este blog:
Coñecemos as medidas de dúas alturas dun triángulo, 2 e 3 cm. Cales son as posibles medidas da terceira altura?
Uns apuntamentos rápidos sobre a construción de triángulos dadas as alturas:
Como o produto de lado por altura correspondente é constante, os lados e as alturas son inversamente proporcionais, en nomenclatura pouco usada en España,
$$a:b:c=h_A:h_B:h_C$$
Polo que, se construímos un triángulo que teña por lonxitudes dos lados $h_A,h_B, h_C$, as alturas deste novo triángulo van ser inversamente proporcionais a $h_A,h_B, h_C$, e por tanto, directamente proporcionais aos lados do triángulo orixinal, a, b e c. Polo que podemos construír un triángulo semellante ao triángulo de lados a, b e c simplemente debuxando un con lados as alturas do triángulo de lados $h_A,h_B, h_C$. E para construír o triángulo de lados a, b e c, impoñer que estea entre dúas rectas paralelas a distancia a altura que queiramos.
Ou tamén podemos notar que os lados a, b e c son directamente proporcionais ás cantidades $h_B \cdot h_C, h_A \cdot h_C, h_A \cdot h_A$, e facer primeiro un triángulo con estas cantidades, que será semellante ao buscado, etc.
E sempre temos a opción de fedellar nun mar de igualdades e atopar o valor explícito dos lados en función das alturas, claro. Pero bonito, bonito, non é. Déixovos a expresión da altura relativa ao lado a para que busquedes como darlle vós a volta:
Estaba eu argallando un problema métrico cunha idea que xa apareceu algunha vez no blog cando, de súpeto, veume unha estrutura numérica á mente e xa non puiden evitar darlle voltas ata construír uns novos aritgramas. Permitíndome ser ácido por unha vez a conto da lei educativa que tanto choio nos está a dar aos profesores de secundaria, velaquí:
O paradoxo que vou compartir hoxe é un vello coñecido, que vin xa en varios libros, p.ex. Nonplussed! de Julian Havil, quen adxudica a súa creación ao gran Leo Moser. Ollade que curioso:
Vai ter lugar un pequeno torneo entre tres xogadores de tenis, Álex, Brais e Carlos. Álex é peor xogador que Brais, e Brais é peor que Carlos. Álex vai xogar tres partidos, alternando entre Brais e Carlos, de tal xeito que se gaña 2 partidos seguidos, obterá un trofeo. Loxicamente, a probabilidade de que lle gañe Álex a Brais, denotémola por b, será maior que a probabilidade de que Álex gañe a Carlos, que chamaremos c. Que será mellor para gañar o trofeo, que empece xogando contra Brais ou contra Carlos?
Para que pensedes con xeito, introduzo aquí un pantallazo dun xoguiño de cálculo aritmético que acabo de coñecer, Meganum:
Aposto a que nin fai falta que poña como se xoga, e que chega con poñer un pantallazo con outra modalidade de xogo(mirade toda a pantalla):
Veña, ao choio xa.
Imaxino que adiviñades onde reside o paradoxo: o primeiro que pensaría calquera é que para Álex é mellor xogar máis contra o seguinte peor xogador, Brais, que contra o mellor, Carlos.
Pois ese calquera pensaría mal. Vexamos por que elaborando dúas táboas, na 1ª Álex xoga contra Brais primeiro e na 2ª contra Carlos primeiro. Lembrando que b era a probabilidade de que Álex lle gañe a Brais e c a probabilidade de que lle gañe a Carlos, e supoñendo independencia, a situación é a seguinte:
Opoñente
Brais
Carlos
Brais
Probabilidade
Gaña ou Perde?
G
G
G
bcb
G
G
P
bc(1-b)
P
G
G
(1-b)bc
Opoñente
Carlos
Brais
Carlos
Probabilidade
Gaña ou Perde?
G
G
G
cbc
G
G
P
cb(1-c)
P
G
G
(1-c)bc
Vexamos agora cal é a probabilidade de que gañe o trofeo en cada situación.
Se xoga primeiro contra Brais, a probabilidade de obter o trofeo é a suma das 3 opcións onde gaña 2 partidos seguidos, é dicir: $$bcb+bc(1-b)+(1-b)bc=bc(b+1-b+1-b)=bc(2-b)$$
Se xoga primeiro contra Carlos, o mellor xogador, a probabilidade de trofeo é: $$cbc+cb(1-c)+(1-c)bc=cb(c+1-c+1-c)=cb(2-c)$$
Vedes xa a sorpresa?
As dúas probabilidades comparten aspecto, a primeira é $bc(2-b)$ e a segunda é $bc(2-c)$. Obviando o factor común $bc$, resulta que $2-b<2-c$ pois $c<b$, como deixei indicado ao principio, posto que é máis difícil que gañe a Carlos que a Brais. En conclusión, é mellor que elixa o mellor xogador para xogar dúas veces que o peor xogador.
Agora que xa vistes o razoamento, ficades convencidos?
No libro de Havil podemos atopar unha explicación á nosa inquedanza: se analizamos o número esperado de victorias en cada situación, aí a nosa intuición si que acerta:
Na 1ª opción, o número esperado é $$0 \cdot (1-b)(1-c)(1-b)+1 \cdot [b(1-c)(1-b)+(1-b)c(1-b)+(1-b)(1-c)b]+ \\2 \cdot [bc(1-b)+b(1-c)b+(1-b)cb]+3 \cdot bcb=2b+c$$
Na 2ª opción, o número esperado é $$0 \cdot (1-c)(1-b)(1-c)+1 \cdot [c(1-b)(1-c)+(1-c)b(1-c)+(1-c)(1-b)c]+\\ 2 \cdot [cb(1-c)+c(1-b)c+(1-c)bc]+3 \cdot cbc=2c+b$$
E como, esta vez si, intuímos evidente, o número esperado de victorias é maior se xogamos máis co peor xogador.
Aposto a que outro día hei volver sobre o libro de Havil, no que todos os capítulos teñen ideas interesantes.
Esta é unha das actividades que aparecen todos os anos nas miñas aulas de 1º de ESO. É un asunto practicamente obrigado, ata adoita vir nos libros de texto. Por exemplo no que temos este mesmo ano:
E como é habitual, os libros de texto quítanlle toda a diversión que pode ter unha tarefa.
Vou contar como fago eu esta actividade nas clases de 1º de ESO e, máis importante, que preguntas vexo interesantes cando xa temos a criba á vista. Algún ano, aproveitando que o alumnado estaba sentado por parellas, mandei facer a un da parella a criba na forma cadrada habitual, e ao outro, na disposición da espiral de Ulam. A última vez coido que foi hai 4 anos. É moi divertido, pero hai que saber que alumnos tes, e pode ser esgotador(a cantidade de erros que pode haber en 5 minutos colocando números en espiral é inimaxinable se nunca traballaches en 1º de ESO)
O 1º é, claro, debuxar a táboa cos 100 números, máis ou menos cadrada, no encerado(Outra sorpresa para o novato: o tempo que lles leva facer a táboa aos cativos. Hai que vivilo).
O procedemento é ben coñecido: marcamos o 1 dun xeito distinto(eu recádroo por exemplo), marcamos o 2 como número primo(de novo: nun óvalo p.ex.), e riscamos todos os números múltiplos de 2. Chegado este momento sempre fago a brincadeira malévola de que podíamos escribir 51 números e non 100, porque total iamos riscar 49 números. E comezo a riscar de arriba abaixo adrede: 4, 6, 8, 10, 12, etc., cunha liña horizontal(se os cativos teñen cores, pois aínda mellor) Sempre hai algún que se decata de que é mellor riscar ringleiras enteiras, e entón facémolo. Rematamos cos pares, marcamos o 3 co óvalo e veña cos múltiplos de 3, neste caso con liña vertical. Facemos o mesmo co 5(cun slash), que rapidamente alguén se decatará de que é aínda máis sinxelo que o caso dos pares. Pasamos ao 7 (cun backslash), e aquí sempre lle boto teatro ao chegar ao 49 e ao 77 e sobre todo, ao 91: por que aínda non estaba riscado o 49? Sempre hai alguén que ve a razón. Con 77 é un chisco máis difícil, e con 91 aínda máis. Con este último múltiplo de 7 adoito dicir que é o número composto mellor disfrazado entre 1 e 100. Pero que o verán cando rematemos a criba.
E aínda que non sería estritamente necesario, mando facer o mesmo cos múltiplos de 11(cun riscado curvo dalgún tipo, como o símbolo de semellanza p.ex.). Primeiro, para que vexan que efectivamente non riscamos ningún número novo. Segundo, porque é moi fermoso ver a recta que forman os múltiplos de 11, o que vai avanzar algunha pregunta do final da actividade.
Finalmente, comento que non imos seguir porque non riscaríamos ningún número máis, pola mesma razón pola que non buscamos divisores dun número cando chegamos á súa raíz cadrada enteira: se houbese algún número posterior, veríamolo na súa parella anterior (é dicir, se $a \cdot b=N, b> \sqrt{N}$, entón $a<\sqrt{N}$. E como $11> \sqrt{100}$, o choio está feito. Só queda marcar co óvalo cada número supervivente, pois todos son primos. E que os conten, que é outro momento no que vai haber un feixe de erros. En conclusión: o 1, 25 primos e 74 compostos. Así de bonitiño:
A ver se non hai erros, que non me manexo cos selos do Paint 3D
A 1ª observación xa a comentei antes: onde están os múltiplos de 11? Por que? Que pinta teñen? Esta é sinxela.
Pero hai máis, e non tan inmediatas:
Por que 57 está riscado só unha vez? 81? 64? 91?
Que números están riscados en laranxa(horizontal), azul(vertical) e verde (slash)?
Parade a mirar os múltiplos de 5. Cada cantos hai un riscado en vertical(azul)? Por que? Funciona se cambiamos aos múltiplos de 2?
Isto é sinxelo, pero hai que decodificalo: mira os múltiplos de 17. Por que está riscado cada un , desde 34 ata 85?
Cal é o número que está riscado máis veces? Cantas veces está riscado? Hai máis números nesa situación?
Por que dixen antes o do 91?
Observa agora todos os múltiplos de 3. Detectas algo na súa disposición? Será algo exclusivo do 3? Pasa co 2 e co 5? E co 7? Por que será?
Colle calquera ringleira. Cantos números son múltiplos de 3? Como van aparecendo?
Neste momento non sería adecuado, pero cando xa coñezan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo podemos facer preguntas máis afinadas.
Seguro que o amable lector ten máis cuestións axeitadas para esta, na miña opinión, fermosa actividade. E mellores cás miñas.
Conectando os Paralelogramos con algún obxectivo na LOMLOE
É unha verdade universalmente recoñecida que un curso no que hai nova lei educativa é un curso no que vai haber unha cantidade de traballo desorbitada.
Dazaoito anos ás costas, comecei a traballar coa LOXSE, en 2002 esquivamos a LOCE por sorte, en 2006 chegou a LOE, en 2013 a LOMCE...(continuará)
Este ano, coa chegada da LOMLOE, cúmprese o aforismo. Mais o rebumbio que observamos nos centros responde a distintas razóns:
A elaboración das programacións é especialmente enleada, responsabilidade compartida pola lei estatal e polo labor da Consellería, que argallou unha aplicación, PROENS, que, institucionalizando as programacións, probablemente vai uniformizalas (iso si, sen deixar de atribuír a responsabilidade ao profesorado, que xa imos coñecendo con quen xogamos).
Por outra banda, hai a novidade de que nos cursos impares a programación corre a cargo do profesorado que dea neses cursos, en contra da tradición, na que a elaboración lle correspondía á xefatura de departamento. Polo que hai profesorado que nos comezos de curso tiña que preocuparse exclusivamente do seu traballo docente, programación de aula incluída(que non é pouco) e que este ano vai ter que facer horas extra, cun traballo máis administrativo.
O profesorado que dá nos primeiros cursos de secundaria, que é onde se concentra o alumnado con NEE, ten que elaborar adaptacións curriculares sen que haxa directrices actualizadas da Consellería. As últimas que temos datan de outubro de 2021, coa LOMCE.
Porén, as miñas inquedanzas van por outro lado. Despois de facer o curso da FESPM co que xa vos martiriceiabondo, quedei coa impresión de que se descoidaba a comprensión instrumental das Matemáticas, que, alén doutras consideracións de índole interna, é a que van utilizar nas demais materias cando teñan que levar a cabo procedementos e razoamentos cuantitativos. E sendo consciente de que nas comunidades autónomas nas que goberna o PP ían tentar impugnar o curriculum estatal, a lea que se formou entre as cuestións prescritas explicitamente pola LOMLOE e o Real Decreto derivado(competencias, descritores, obxectivos, perfís de saída) e as que quedaron ao albedrío dos decretos autonómicos(os contidos, basicamente) é formidable.
Concretando, vexo un desfase monumental entre os contidos, propios das Matemáticas como disciplina científica(cuasiempírica, se seguimos a Lakatos ou Putnam, tanto ten para isto), e os criterios de avaliación, denominados tamén competencias específicas. No proceso de elaboración das Bases eu chegara a ler que un dos modelos era o sistema portugués, pois algúns en España acababan de descubrir as probas da súa ABAU, o Exame Final Nacional, mais a conexión que hai no seu curriculum entre obxectivos e contidos é plenamente funcional, na miña opinión. Observade este extracto ao chou do documento de Aprendizagens Essenciais de 7º ano, as columnas son "TEMAS, Tópicos e Subtópicos", "OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: Conhecimentos, Capacidades e Atitudes", "AÇOES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR" e "Áreas de Competências do Perfil dos Alunos"
Comparade agora o que temos acó no curso equivalente, 1º de ESO, no sentido numérico. Primeiro os criterios de avaliación:
Póñoo en 2 imaxes, que está en páxinas distintas no DOG
E agora os contidos:
Reparades nas diferenzas? Alén de erros clamorosos como o de non incluír potencias en 1º de ESO (cousa que me apuntou a compañeira María en twitter) cando van facer falta xa nos contidos de divisibilidade e, aínda peor, cando si están as raíces cadradas no propio curso, vedes a distancia sideral entre os contidos que temos que traballar e os criterios que imos ter que aplicar para avaliar a aprendizaxe do alumnado?
Por exemplo, un docente calquera traballará a divisibilidade de xeitos variados, máis ou menos explícitos, pero en calquera caso ensinará os conceptos de múltiplo/divisor, números primos/compostos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, quizais os criterios de divisibilidade, etc. Que esperaríamos avaliar namentres e despois dese traballo? Pois algo do estilo "Saber se un número é múltiplo ou divisor doutro", "Resolver problemas utilizando estratexias propias da divisibilidade", "Determinar se un número é primo", "Descompoñer en factores primos...", etc. Mais imos ter que avaliar o das dúas primeiras imaxes:
CA1.1. Interpretar problemas matemáticos organizando e relacionando os datos dados e elaborando representacións matemáticas que permitan atopar estratexias para a súa resolución.
CA1.2. Resolver problemas matemáticos mobilizando os coñecementos necesarios e aplicando as ferramentas e as estratexias apropiadas.
CA1.3. Expor variantes dun problema dado modificando algún dos seus datos ou algunha das súas condicións.
CA1.4. Recoñecer situacións susceptibles de ser formuladas e resoltas mediante ferramentas e estratexias matemáticas, establecendo e aplicando conexións entre o mundo real e as matemáticas e usando os procesos inherentes á investigación científica e matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar e predicir.
CA1.5. Identificar conexións coherentes entre as matemáticas e outras materias, recoñecendo a achega das matemáticas ao progreso da humanidade.
Vedes que xerais son os criterios? E que esaxeradamente ambiciosos? Eu hai días que non sairía ben parado se me aplicasen algún criterio... Claro que logo vexo o que chaman outros docentes e expertos avaliar eses criterios, e daquela entendo que se poidan cumprir...porque non están a ensinar, senón a divulgar, e quedan satisfeitos con que pareza que hai aprendizaxe. Todo na miña opinión, claro.
Ante esta distancia entre contidos e criterios de avaliación, eu vexo dúas saídas para o profesorado:
Ou ben que avalíe clandestinamente criterios como os que inventei un pouco máis arriba nas súas probas escritas, rúbricas ou co instrumento que vexan conveniente, e que conecten "Descompoñer en factores primos" co CA1.2., de xeito, digamos, un tanto desenfadado. Resumindo, facer o de sempre pero contentar á administración cun salto de fe.
Ou ben avaliar realmente o CA1.3. nunha clase de 1º de ESO. Criterio que en moitos situacións problemáticas non sei nin eu moi ben a que se refire, como para poñerme a avaliar con el a cativos de 11-13 anos.
Para mellorar o asunto, na ferramenta PROENS temos que indicar un peso porcentual de cada criterio que vincules a cada unidade didáctica. Dándose o paradoxo de que os criterios van estar en máis dunha unidade, e teremos que avaliar algúns criterios varias veces.
Reparastes que nin falei do sentido socioafectivo? Non sendo eu un hater do asunto (lembraredes esta entrada), teño serias dúbidas de se criterios como estes:
CA6.2. Xestionar as emocións propias e desenvolver o autoconcepto matemático como ferramenta para xerar expectativas positivas ante novos retos matemáticos.
CA6.3. Mostrar unha actitude positiva e perseverante aceptando a crítica razoada ao lles facer fronte ás diferentes situacións de aprendizaxe das matemáticas.
son funcionais na práctica da aula da ESO.
Ademais, os criterios vinculados ao sentido socioafectivo obviamente van aparecer en todas as unidades, engadindo confusión ao paradoxo mencionado máis arriba.
En conclusión: vai ser simpático falar cos inspectores este ano. Ou, na linguaxe típica de expertos, estamos ante un reto interesante, e temos que saír da nosa zona de confort. Claro que si.
É proverbial o desleixo que hai no ensino das Matemáticas en España polas deduccións en Xeometría. A historia é ben coñecida: cando chegou a mal chamada Matemática Moderna (=New Math) e o exabrupto de Dieudonné A bas Euclide!, aquí deixamos no curriculum de Primaria e Secundaria unha pequena parte de Xeometría. E aínda por riba, a parte que quedou só incluía cuestións como as fórmulas elementais de áreas e volumes (moitas das cales non se poden explicar de xeito cabal no instituto) e moito, moito, poñer nome a cousas.
O ano pasado decidín, tanto en 1º como en 2º de ESO, que ía tentar coar deduccións, na medida do posible. Desbotei a idea de que o alumnado deducise as fórmulas das áreas, iso fíxeno eu case exclusivamente, e optei por amosarlles os rudimentos da caza de ángulos (tradución do angle chasing anglosaxón) para que logo eles razoasen sobre outras figuras. A caza de ángulos é unha destreza básica en problemas de olimpíadas de todos os niveis, e pode resultar ata divertida se entras no xogo.
Como facer as figuras axeitadas desde cero require un traballo que en maio xa non podía facer, busquei nas fontes habituais: Resourceaholic e Median, e collín algúns exemplos que non se pasasen de dificultade(si, amigos, o nivel existe), como os dous do final desta ficha de 1º de ESO:
Logo é certo que si fixen o traballo de crear eu algunha figura. Con menos calidade, claro, e despois de que me levasen tempo abondo, velaquí dous exemplos de 1º tamén:
E para que vexades o exame posterior(e seguir sendo un dos poucos profesores con twitter que non comparten só cousas para marabillar á audiencia):
Ao final dese exame podedes ver un Bonus que tirei de Median, e que vira hai anos nunha aula de Xapón que aparecera no TIMSS 1999 Study Video (se non vistes esa clase, paga moito a pena). Esta entrada foi motivada polo seguinte chío de Brian Marks, Yummymath:
Se queredes fedellar, fixen un applet fulero coa situación da imaxe:
A solución que dei eu está nas respostas ao chío de Brian Marks, por se tedes curiosidade.
Pode que este ano volva a facer algo así en Xeometría de 1º de ESO. Tendo en conta os metafísicos criterios de avaliación que hai no sentido espacial na LOMLOE, non creo que desentoe moito.
Chega a cuarta entrega desta serie de entradas sobre o curso que fixen en marzo. Independentemente do que translocen estas entradas, considero que ante un cambio de lei e curriculum, a administración (estatal e autonómica) debería asumir esta tarefa que asumiu a FESPM: se non se informa ao profesorado sobre as directrices da lei alén do articulado, quedamos a expensas do que decidan e transmitan de xeito máis ou menos arbitrario os inspectores de zona, en moitos casos non especialistas de Matemáticas(ou nin sequera antigos docentes da mesma etapa educativa).
E eu que pensaba que cunha entrada ou como moito dúas ía ter o choio virado, velaquí a cuarta, e prometo, última.
O sentido numérico
O sentido numérico caracterízase pola aplicación do coñecemento sobre numeración e cálculo en distintos contextos, e polo desenvolvemento de habilidades e modos de pensar baseados na comprensión, a representación e o uso flexible dos números e as operacións.
A verdade é que esta caracterización moito non axuda ao profesor, na miña opinión. Pero vaiamos ao curso.
A responsable foi Cecilia Calvo(previously here), ben coñecida por todos os interesados en tarefas para a aula de Matemáticas.
A súa charla está articulada arredor de 3 tarefas que se poderían propór ao alumnado:
Para Primaria, Que podemos facer cando atopamos o erro 82-47=45?
Para ESO, Como sería a túa comunidade autónoma se só tivese 100 habitantes?
Para Bacharelato, Cando ten sentido usar diferentes representacións de números reais?
A tarefa solicitada consistiu na Elaboración dun póster "Se a miña comunidade tivese 100 habitantes"
Como nos sentidos previos, comparto a miña resposta. E como nas anteriores tarefas, o interesante na miña opinión está ao final.
Vaiamos coa sensación que me deixou a min o curso.
Para empezar, e dadas as miñas respostas a certas tarefas, un podería pensar que quizais non merecía que me desen o aprobado. Tendo en conta que de máis de 140 profesores que comezamos o curso, coido que o rematamos menos de 50(ao estar aberta a inscrición, houbo profesorado xubilado inscrito, profesorado de universidade ao que non vexo que lle interpelase moito o curso, e principalmente o curso coincidiu co choio da 2ª avaliación), e que o curso tiña como obxecto máis ben espallar a boa nova que avaliar aos participantes, entenderedes o resultado.
Se fixestes un curso online, saberedes que a primeira tarefa adoita ser presentarse nun foro(funciona como unha especie de matrícula efectiva); neste había que comentar un pouco a nosa situación como docentes e o que esperabamos do curso. Falo de memoria, pero xuraría que de todas as presentacións, a única que partía dunha posición crítica foi a miña(si, lin todas, pero non vos preocupedes por min, estou ben: leo rapidísimo de sempre). Iso pode significar seguramente unha de dúas cousas: ou ben os demais participantes realmente xa tiñan unha opinión positiva respecto ao cambio de curriculum, ou ben non todos, pero ---. Non descarto ningunha das dúas opcións.
En canto ao propósito do curso e o que me transmitiu a min:
O documento das Bases pretende cambiar radicalmente o ensino das Matemáticas en España, niso supoño que estaremos todos de acordo. O que non sei se será unánime é a miña sensación de que, pretendendo facer tantas tarefas ricas, tanta conexión entre ideas, etc., esqueceron por completo a dimensión procedimental da materia. Vouno dicir claramente, para que non se me malinterprete: considero que un alumno que sabe que a derivada mide o cambio dunha función pero que non sabe calcular a man a derivada dunha función racional, non sabe de derivadas. O seu coñecemento está máis preto da divulgación, e deses vídeos ou fíos de twitter nos que en cinco minutos quedas coa impresión de que entendiches algo de mecánica cuántica que do coñecemento cabal da derivada.
Outro dos problemas que vexo co enfoque das Bases é que trabuca o xeito de aprender dun aprendiz e o dun experto. Un adulto ou un adolescente que xa ten certos coñecementos asentados pode pasar por riba dos detalles dun problema, e centrarse na resolución do miolo; de feito aínda máis: pode ver o miolo do problema, a súa estrutura, a analoxías con outros problemas, etc., cousa que non vai facer un aprendiz.
Por outra banda, e relacionado coa primeira obxeción, o alumnado necesita certa familiaridade cos procedementos porque a materia de Matemáticas, por moita relación que teña, non é Filosofía: remata a clase de Matemáticas, e vai entrar o de Física e Química, que vai requirir que o alumno saiba desenvolver o cálculo de números descoñecidos nunha proporción, o cambio de unidades de medida, o debuxo da gráfica dunha función afín, ou máis adiante, o cálculo con vectores ou a derivada dunha función.
A estas alturas os que leades esta entrada xa me coñeceredes, sinceramente wysiwyg, e, ou moi trabucado estou, ou non creo que dea unha imaxe de ser o profesor máis tradicional que poidades coñecer. Polo que hai certas cousas das Bases que si me gustan, por exemplo o feito de que compartan en que cousas sería bo pararse máis e en que cousas non; aínda que nalgunhas cousas estou de acordo e noutras non. Por exemplo, vexo que certas tarefas ricas que comparten os autores das Bases no curso son estrañamente anecdóticas: pode servir de exemplo o Teorema de Ducci que aparece na charla de Cecilia, pero tamén a cantidade de veces que teño visto o Teorema de Pick en propostas pola rede, o que, na miña opinión, non vaticina moito criterio na escolla de actividades polo desconcertado profesorado. Outra teima que teño é saber cal é o obxectivo de moitas tarefas de práctica produtiva, que coa fanfarra que teñen, non detecto. Penso por exemplo nas Open Middle, nas que vexo ás veces a necesidade de ter tantas variables simultaneamente na cabeza que o obxectivo que un podería buscar queda ofuscado por factores espurios. Mirade esta tarefa que atopei ao chou:
A tarefa está pensada para grao 8, aínda que co noso curriculum habería que demorala un curso, ata 3º de ESO. O obxectivo parece claro, pero o feito de usar os nove díxitos indicados... axuda a ese obxectivo ou é un obstáculo que necesita estratexias non implícitas? (Acabo de lembrar os exercicios tipo de 2º de BAC de discutir un sistema en función dun parámetro, no que non abonda con saber o Teorema de Rouché-Fröbenius, senón que hai que poñer en xogo outras destrezas non relacionadas).
Como xa comentei algunha vez (por exemplo falando sobre as clases do TIMSS Study Video), gustaríame coñecer a secuencia completa dunha unidade elaborada polos propios autores das Bases. Secuencia na que se traballase toda unha unidade, desde a introdución á avaliación sumativa. Porque agora mesmo, a menos de tres semanas de, con case certeza, dar cursos impares, sigo tendo a impresión de que a proposta que fan, sen actividades máis ordinarias/tradicionais, non abonda para que o alumnado avance.
Gustaríame que houbese algún tipo de debate serio sobre o curriculum no que non estivesen todos os participantes de acordo, ao estilo dunha tertulia televisiva dunha canle facha. Eu calculo que veño estando nalgún lugar polo medio do espectro docente algo escorado a favor das Bases, pois a miña experiencia me di que nunca tiven compañeiros que fosen máis propensos a este enfoque das Bases ca min. Isto lévame a pensar que nas redes a sintonía coas Bases está sobrerrepresentada, entre os profesionais da Didáctica e a Pedagoxía con moita presencia e que os que comparten tarefas non comparten usualmente tarefas tradicionais, senón actividades con máis brillo. Co cal: queda moito traballo por facer para que a maioría dos docentes de Matemáticas entenda que se pretende en realidade, e tamén ata que grao. Eu , sinceramente, son un dos que necesitan esa explicación.
Prosigamos debullando os contidos do curso sobre as Bases do Curriculum, que aínda quedan tres sentidos.
O sentido estocástico
O sentido estocástico comprende a análise e a interpretación de datos, a elaboración de conxecturas e a toma de decisións a partir da información estatística, a súa valoración crítica e a comprensión e comunicación de fenómenos aleatorios nunha ampla variedade de situacións cotiás.
Conxecturas e toma de decisións, case nada, eh?
Antes de compartir o traballo neste sentido, quería notar un detalle que non vin polas redes nin falando coas miñas compañeiras: xa na LOMCE reparei en que, habendo obxectivamente moitos máis contidos no bloque de Álxebra que no de Estatística e Probabilidade, sucede que en Álxebra despachan os contidos con 1 ou 2 criterios de avaliación, o que na práctica pode levar mes e medio de traballo como mínimo; mentres que en Estatística e Probabilidade adoita haber máis criterios para esa menor cantidade de contidos. Teño a sospeita de que, dado que Estatística e Probabilidade é historicamente o bloque menos traballado en España(polo menos é o que se adoita dicir, sen datos) xunto co de Xeometría, tentan darlle a volta desde a lei. Non sei con que éxito.
Neste obradoiro non houbo un vídeo dunha hora para introducir o sentido, senón que un dos responsables, Luis Rodríguez Muñiz(a outra era Ana Serradó Bayés) fixo un vídeo breve introducindo a finalidade dos (moitos) materiais que había que ler e a tarefa conseguinte. Agora non dou atopado o vídeo, coido que estaba oculto e nin sequera sei se estaba aloxado na canle da FESPM.
Vendo a lista de materiais podedes trabucar e pensar que non é para tanto a cousa, ata que comprobedes a extensión dalgún:
O GAISE II, actualización de 2020 do anterior, onde tratan ademais a Ciencia de Datos.
Agora seguro que xa concordaredes comigo en que choio non faltaba.
A tarefa era a seguinte:
Estamos organizando en el centro escolar una salida al campo para el próximo mes, ¿debemos poner un paraguas o impermeable en la mochila?
a) Traza un plan para dar una respuesta al interrogante anterior
b) ¿Cómo trabajarías este problema con tu alumnado?
c) ¿Qué dificultades anticipas que pueden surgir al implementarlo en el aula?
Para non mediatizar, comparto a miña resposta frustrada á tarefa. Visto case medio ano despois, coido que o feito de que se mesturasen ideas de niveis moi diversos no curso non axudou á miña comprensión. Confeso que sigo abraiado, como un coello cegado polos faros dun coche.
O sentido da medida
O sentido da medida céntrase na comprensión e comparación de atributos dos obxectos do mundo natural. Entender e escoller as unidades axeitadas para estimar, medir e comparar magnitudes, utilizar os instrumentos adecuados para realizar medicións, comparar obxectos físicos e comprender as relacións entre formas e medidas son os eixes centrais deste sentido. Así mesmo, introdúcese o concepto de probabilidade como medida da incertidume.
O responsable do obradoiro foi o compañeiro Julio Rodríguez Taboada, daquela presidente de Agapema e agora tamén presidente da FESPM:
No vídeo veredes que Julio comparte certas lecturas e actividades de exemplo dentro deste sentido. As actividades de exemplo é mellor velas no vídeo, as lecturas póñoas aquí tamén:
Elabora una propuesta de aula, adapta a Primaria o ESO, a partir del vídeo mostrado en la web https://nrich.maths.org/13664
Comparto tamén a resposta que dei a esta tarefa. Aínda que contestei á tarefa, non como no sentido previo, teño que confesar que é pouco probable que faga algo así na miña clase. Probablemente teña o nesgo alxébrico que se comenta no vídeo, non o nego, mais considero que a actividade é máis axeitada para Primaria.
Deixo para a última entrada sobre o curso o sentido numérico e, quizais, unha reflexión xeral que non interesará a ninguén, dada a ausencia total de debate que hai sobre o curriculum que vén.
Comezo a continuación da entrada previa sen ter moi claro se vou incluír os obradoiros de todos os sentidos matemáticos ou se, pola contra, terei que dividir en varias entradas. Vexamos.
Lembremos que o documento das bases organiza o estudo dos saberes matemáticos en 5 grandes sentidos, o alxébrico, o espacial, o estocástico, o da medida e o numérico.
Sigamos a orde da axenda do curso, a alfabética, empezando coa breve explicación que aparece no BOE sobre o primeiro sentido:
O sentido alxébrico
O sentido alxébrico proporciona a linguaxe na que se comunican as matemáticas. Ver o xeral no particular, recoñecendo patróns e relacións de dependencia entre variables e expresándoas mediante diferentes representacións, así como a modelización de situacións matemáticas ou do mundo real con expresións simbólicas son características fundamentais do sentido alxébrico
O traballo deste obradoiro incluía ler os seguintes artigos:
E a actividade final consistía en escoller unha das grandes ideas dentro do sentido alxébrico e argallar unha actividade (ou secuencia de actividades, coido, que xa non teño dispoñible o enunciado das actividades) arredor desa idea. Obviamente, escollín unha que me fixese traballar o mínimo, Patróns. Podedes ver o que contestei nesta ligazón.
Cando seguía este obradoiro, fun confirmando a sensación que tiña previamente: neste curso ían centrarse de tal xeito nas novidades das Matemáticas da LOMLOE que ían obviar por completo a parte procedimental. E esa sensación foi corroborada por todo o que veu logo. A estas alturas xa saberedes que non estou de acordo con esa aproximación.
O sentido espacial
O sentido espcial aborda a comprensión dos aspectos xeométricos do noso mundo. Rexistrar e representar formar e figuras, recoñecer as súas propiedades, identificar relacións entre elas, ubicalas, describir os seus movementos, elaborar ou descubrir imaxes delas, clasificalas e razoar con elas son elementos fundamentais da ensinanza e aprendizaxe da xeometría.
Coido que este obradoiro non implicaba a lectura de documentos alén de ver o vídeo, polo menos non teño nada gardado no cartafol ademais da actividade final, que pedía o seguinte:
Sitúate nunha determinada etapa, le as grandes ideas do sentido espacial desa etapa e os saberes asociados que lle corresponden.
Analiza as actividades que implementas cos teus alumnos referidas ao bloque de Espazo e Forma (Xeometría) e pásalle o filtro do Sentido Espacial, i.e., clasifícaas segundo poidas identificar nelas os saberes listados no documento.
Responde ás cuestións seguintes:
Teño actividades para o fomento de cada un dos saberes?
Podo melloralas para que sexan máis competenciais?
Déixovos a ligazón coa miña tarefa, pero non podo deixar pasar a ocasión de compartir aquí a miña resposta á última cuestión:
Con respecto á pregunta de se podo mellorar as actividades para que sexan máis competenciais, confeso que non teño claro que o feito de que sexan máis competenciais supoña unha mellora. Eu, de xeito alternativo, preguntaríame se podo mellorar as actividades para que os alumnos aprendan máis matemáticas e mellor. Teño unha postura crítica co modelo de competencias, que me parece que trivializa a disciplina.
Spoiler: a profesora do obradoiro non opinaba o mesmo.
Chegado aquí, creo que a información destes dous obradoiros xa fan densa abondo a entrada.
O curso 2022/23 comeza a implantación da LOMLOE nos cursos impares. Se un segue minimamente as novas sobre educación, forzosamente tivo que oír que a nova lei vai supoñer unha revolución no proceso de ensino/aprendizaxe, que vai incorporar as competencias no caduco xeito de ensinar en España(xa había 8 competencias básicas na LOE, do 2006, na LOMCE do 2013 hai 7 competencias clave), que agora o profesorado vai ter que empezar a ensinar para a comprensión e non para a memorización, etc. E aínda que eu fixera un voto de non recibir máis formación, polo menos durantes uns anos, acabei apuntando ao curso da FESPM "Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en enseñanza no universitaria", que tivo lugar en rede en febreiro e marzo. Procedo a relatar a miña experiencia no curso e a miña opinión.
A organización do curso correu a cargo da FESPM, i.e., a Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, e os relatores do curso eran precisamente autores do documento homónimo do curso, elaborado polo CEMAT, o Comité Español de Matemáticas, lista que podedes ver na 2ª páxina do pdf enlazado. Esta foi unha das principais razóns que me levaron a matricular no curso, despois de levar lustros facendo o lercho a conta dos creadores de curriculum. Como teima persoal, considero que nesa lista de expertos están sobrerrepresentados os docentes de centros privados, e como consecuencia coido que teñen unha visión das aulas ben distinta á miña, e que me achega pouco valor.
O curso apoiouse nunha aula virtual na que había por un lado vídeos con conferencias máis xerais, e por outro, vídeos con obradoiros dos distintos sentidos nos que se organiza o documento das Bases. En cada apartado había unha tarefa que facer despois de ver o vídeo correspondente. Aínda que as tarefas eran secundarias, pois o obxectivo do curso era dar a coñecer as Bases ao profesorado que se matriculou, non avaliarnos a nós sobre algo novo. Non lembro exactamente os números, pero de algo máis de 130 matriculados inicialmente de toda España, remataríamos pouco máis de 40. Tendo en conta que había matriculados que non eran profesores en activo das etapas nas que vai ter efecto o novo curriculum, moito non se espallou a boa nova con este curso, penso eu.
Vou incrustar aquí os vídeos, que levan un tempo xa en aberto na canle da FESPM.
A 1ª conferencia correu a cargo do entón presidente da FESPM, Onofre Monzó, e titulouse Marco teórico para el desarrollo curricular,
A tarefa asociada a este vídeo consistía en responder as seguintes preguntas:
Que entendes por matematización?
En que momento se debe traballar na aula a resolución de problemas?
Que é a competencia matemática?
Que entendes por pensamento computacional?
Consideras que na actualidade se traballa o pensamento computacional na aula? Considéralo necesario?
Para non facer ilexible esta entrada, enlazo o documento co que contestei a tarefa, Actividade 1.1, seguro que vos presta comprobar a miña burremia.
A 2ª conferencia, Principios metodológicos para el cambio curricular, foi impartida por Antonio Moreno Verdejo, profesor de Didáctica da Matemática na Universidad de Granada.
A tarefa asociada dicía así:
Expresa a través de un documento de texto, tu valoración sobre los principios metodológicos a los que se ha hecho referencia en la conferencia, destacando aquellos que consideres de mayor importancia y exponiendo si consideras que hay algún aspecto que se debería haber considerado.
O que contestei eu, que a estas alturas xa vos podedes cheirar: Actividade 1.2
E a 3ª conferencia, Relación y Cambio (como se fose un título de Kierkergaard), foi ditada por Abraham de la Fuente, doutor en Didáctica das Matemáticas, membro da Fundació Bofill, e profesor(coido) nun centro privado catalán ademais de na Autónoma de Barcelona.
Neste caso a tarefa solicitaba o seguinte:
Expresa en un documento texto los aspectos que consideras más destacados de cambio que encuentras en el documento bases para el currículum con respecto al currículum establecido en anterior Ley de Educación.
A miña resposta a esta premisa, como mínimo estraña, en Actividade 1.3. Confeso que aínda non teño totalmente claro se falaba de Cambio, como no título da conferencia, ou que.
Penso que xa é abondo para esta entrada. Outro día sigo cos obradoiros dedicados aos diferentes sentidos dentro da materia.
Non sei se xa comentei por aquí que as primeiras demostracións que vin como alumno do antigo BUP foron as que usaban o produto escalar en 3º de BUP. En realidade xa víramos algunha identidade trigonométrica, pero en realidade só as vin como comprobacións alxébricas máis que como demostracións xenuínas.
E nese 3º de BUP vin por primeira vez que o ángulo inscrito na semicircunferencia é recto(nunca vimos o concepto de arco capaz, nin demostráramos que o ángulo inscrito é a metade do central que abrangue o mesmo arco, nin nada de nada), o Teorema da Altura, o Teorema do Cateto, e algún resultado sobre sumas de cadrados dos lados de cuadriláteros que non lembro exactamente(pero que seguro que se podía demostrar utilizando o Teorema de Pitágoras unhas cantas veces)
Como levo semanas sen revisar o feedly, tiña uns cantos centos de actualizacións, entre elas, varias decenas de Futility Closet, blog no que levo anos atopando feitos elementais ben interesantes. E de hai dúas semanas sumei un máis nesta entrada, Tilt:
Dado o cadrado ABCD, collemos un punto L na diagonal AC, de tal xeito que AL:LC=3:1, e consideramos o punto medio do lado AB, K. Amosar que $\angle{DLK}$ é recto.
A demostración que aparece en Futiliy Closet é moi elegante e o máis elemental que se pode agardar dun feito así, pero como eu levo varios anos consecutivos dando Matemáticas I, sempre teño os vectores agochados moi preto, polo que utilicei ese enfoque. Vou compartir a técnica, deixade de ler xa se queredes buscar vós unha demostración. Como esta semana todo o mundo fala da famosa foto do James Webb, eu vou poñer aquí a primeira foto tomada desde o espazo:
Imos manchar as mans de vectores logo. A estratexia vai consistir en escribir os vectores que forman o ángulo buscado en función dos vectores que forman os lados do cadrado, que obviamente son ortogonais ou paralelos, e teñen o mesmo módulo(porque este resultado é falso nun rectángulo calquera).
Onde os dous produtos escalares son nulos porque CD e DA son lados consecutivos do cadrado.
Este cálculo pode modificarse e efectuar produtos escalares do vector que forma a diagonal cos vectores que forman os lados, pois o ángulo é ben coñecido, $\frac{\pi}{4}$.
Insisto: a demostración fermosa é a que se amosa en Futility Closet, isto é meramente un exercicio para practicar.
Considerade a seguinte figura, na que vemos dúas circunferencias de raio 1 con centros A e B. Ademais, cada circunferencia pasa polo centro da outra. Debuxamos tamén a circunferencia con diámetro AB, e tamén os segmentos AC e BF tanxentes a esa circunferencia(ou ás outras, como prefirades)
O voso choio é atopar a medida dos segmentos CE e CD.
Pista: aínda onte estiven esbardallando sobre o que vai agromar aquí, este é o meu xeito de resarcirme.
É ben coñecido o fenómeno que se produce ao dominar certas ferramentas, que ata ten nome, Lei do instrumento, e que popularmente se adoita expresar deste xeito:
Se a única ferramenta que tes é un martelo, tendes a ver calquera problema como se fose un cravo.
Como profesores é habitual observar este fenómeno no uso por parte do alumnado de estratexias previas ante novas situacións, problemas, etc., ás que se poden adaptar máis ou menos ben. Obviamente isto non é exclusivo dos alumnos, pois o coñecemento das destrezas propias da álxebra produce que o noso pensamento flúa máis (ou mellor) introducindo variables e incógnitas. Como mostra, esta entrada de hai case tres anos, na que ademais do problema presentado, eu mesmo na resposta a un comentario volvo caer no uso da álxebra. Pero quen pode sentirse culpable, se a álxebra, no fondo, é ben divertida?
No meu traballo na aula sempre ando á pescuda de problemas elementais pero difíciles, que requiran poucas ferramentas canónicas previas mais que non sexan sinxelos aínda así. Coido que levo compartida unha chea deles nestes anos, pero hai un campo no que non estou moi satisfeito aínda: o dos problemas aritméticos nos que haxa que pelexar con varias cantidades enteiras e as súas relacións. Polo que celebro cada nova situación que atopo nalgún libro, web ou olimpíada matemática. Observade o seguinte problema, que veño de achar no Virginia Tech Regional Mathematics Contest de 1982:
Unha caixa contén bólas de cores. Cada bóla é azul, branca ou vermella. O número de bólas azuis é polo menos a metade do número de bólas brancas, e como moito un terzo do número de bólas vermellas. O número de bólas que son brancas ou azuis é polo menos 55. Atopa o número mínimo de bólas vermellas.
Veña, resolvede o problema e sede sinceros: fixéstelo con álxebra? Unha vez resolto con álxebra, destes atopado un xeito de non usala? Ou xa o fixestes só por medios aritméticos desde o comezo?
Obviando a miña máxima "Non te achegues a un libro de matemáticas básicas escrito por un ruso", dei con esta fermosura elemental que, sinceramente, pode que pasase por riba en decenas de ocasións. Porque para ver estas cousas hai que estar disposto a mirar ben.
Nesta figura podedes ver dous rectángulos que teñen os lados paralelos(ou perpendiculares, como queirades velos). Os puntos A, B, E e F teñen liberdade para moverse; loxicamente C, D, G e H dependen deles, o xeito exacto verédelo se movedes os primeiros puntos. Pois ben: intuídes de que vai o conto antes de darlle á caixa de verificación? E por que sucede?
É entusiasmo exclusivo meu ou isto pode ir directo a unha aula de 1º ou 2º de ESO destes días?
