24.9.22

Cazar ángulos

 

É proverbial o desleixo que hai no ensino das Matemáticas en España polas deduccións en Xeometría. A historia é ben coñecida: cando chegou a mal chamada Matemática Moderna (=New Math) e o exabrupto  de Dieudonné A bas Euclide!, aquí deixamos no curriculum de Primaria e Secundaria unha pequena parte de Xeometría. E aínda por riba, a parte que quedou só incluía cuestións como as fórmulas elementais de áreas e volumes (moitas das cales non se poden explicar de xeito cabal no instituto) e moito, moito, poñer nome a cousas.

O ano pasado decidín, tanto en 1º como en 2º de ESO, que ía tentar coar deduccións, na medida do posible. Desbotei a idea de que o alumnado deducise as fórmulas das áreas, iso fíxeno eu case exclusivamente, e optei por amosarlles os rudimentos da caza de ángulos (tradución do angle chasing anglosaxón) para que logo eles razoasen sobre outras figuras. A caza de ángulos é unha destreza básica en problemas de olimpíadas de todos os niveis, e pode resultar ata divertida se entras no xogo.

Como facer as figuras axeitadas desde cero require un traballo que en maio xa non podía facer, busquei nas fontes habituais: Resourceaholic e Median, e collín algúns exemplos que non se pasasen de dificultade(si, amigos, o nivel existe), como os dous do final desta ficha de 1º de ESO:



Logo é certo que si fixen o traballo de crear eu algunha figura. Con menos calidade, claro, e despois de que me levasen tempo abondo, velaquí dous exemplos de 1º tamén:


E para que vexades o exame posterior(e seguir sendo un dos poucos profesores con twitter que non comparten só cousas para marabillar á audiencia):


Ao final dese exame podedes ver un Bonus que tirei de Median, e que vira hai anos nunha aula de Xapón que aparecera no TIMSS 1999 Study Video (se non vistes esa clase, paga moito a pena). Esta entrada foi motivada polo seguinte chío de Brian Marks, Yummymath:



 Se queredes fedellar, fixen un applet fulero coa situación da imaxe:



A solución que dei eu está nas respostas ao chío de Brian Marks, por se tedes curiosidade.

Pode que este ano volva a facer algo así en Xeometría de 1º de ESO. Tendo en conta os metafísicos criterios de avaliación que hai no sentido espacial na LOMLOE, non creo que desentoe moito.

21.8.22

O curso da FESPM sobre as Bases do curriculum-4

 

 Chega a cuarta entrega desta serie de entradas sobre o curso que fixen en marzo. Independentemente do que translocen estas entradas, considero que ante un cambio de lei e curriculum, a administración (estatal e autonómica) debería asumir esta tarefa que asumiu a FESPM: se non se informa ao profesorado sobre as directrices da lei alén do articulado, quedamos a expensas do que decidan e transmitan de xeito máis ou menos arbitrario os inspectores de zona, en moitos casos non especialistas de Matemáticas(ou nin sequera antigos docentes da mesma etapa educativa).

E eu que pensaba que cunha entrada ou como moito dúas ía ter o choio virado, velaquí a cuarta, e prometo, última.


O sentido numérico

O sentido numérico caracterízase pola aplicación do coñecemento sobre numeración e cálculo en distintos contextos, e polo desenvolvemento de habilidades e modos de pensar baseados na comprensión, a representación e o uso flexible dos números e as operacións.

A verdade é que esta caracterización moito non axuda ao profesor, na miña opinión. Pero vaiamos ao curso.

A responsable foi Cecilia Calvo(previously here), ben coñecida por todos os interesados en tarefas para a aula de Matemáticas.



A súa charla está articulada arredor de 3 tarefas que se poderían propór ao alumnado:

  • Para Primaria, Que podemos facer cando atopamos o erro 82-47=45?
  • Para ESO, Como sería a túa comunidade autónoma se só tivese 100 habitantes?
  • Para Bacharelato, Cando ten sentido usar diferentes representacións de números reais?

Cecilia tamén propón unhas lecturas relacionadas:

A tarefa solicitada consistiu na Elaboración dun póster "Se a miña comunidade tivese 100 habitantes"

Como nos sentidos previos, comparto a miña resposta. E como nas anteriores tarefas, o interesante na miña opinión está ao final.


Vaiamos coa sensación que me deixou a min o curso.


Para empezar, e dadas as miñas respostas a certas tarefas, un podería pensar que quizais non merecía que me desen o aprobado. Tendo en conta que de máis de 140 profesores que comezamos o curso, coido que o rematamos menos de 50(ao estar aberta a inscrición, houbo profesorado xubilado inscrito, profesorado de universidade ao que non vexo que lle interpelase moito o curso, e principalmente o curso coincidiu co choio da 2ª avaliación), e que o curso tiña como obxecto máis ben espallar a boa nova que avaliar aos participantes, entenderedes o resultado.

Se fixestes un curso online, saberedes que a primeira tarefa adoita ser presentarse nun foro(funciona como unha especie de matrícula efectiva); neste había que comentar un pouco a nosa situación como docentes e o que esperabamos do curso. Falo de memoria, pero xuraría que de todas as presentacións, a única que partía dunha posición crítica foi a miña(si, lin todas, pero non vos preocupedes por min, estou ben: leo rapidísimo de sempre). Iso pode significar seguramente unha de dúas cousas: ou ben os demais participantes realmente xa tiñan unha opinión positiva respecto ao cambio de curriculum, ou ben non todos, pero ---. Non descarto ningunha das dúas opcións.

En canto ao propósito do curso e o que me transmitiu a min:

O documento das Bases pretende cambiar radicalmente o ensino das Matemáticas en España, niso supoño que estaremos todos de acordo. O que non sei se será unánime é a miña sensación de que, pretendendo facer tantas tarefas ricas, tanta conexión entre ideas, etc., esqueceron por completo a dimensión procedimental da materia. Vouno dicir claramente, para que non se me malinterprete: considero que un alumno que sabe que a derivada mide o cambio dunha función pero que non sabe calcular a man a derivada dunha función racional, non sabe de derivadas. O seu coñecemento está máis preto da divulgación, e deses vídeos ou fíos de twitter nos que en cinco minutos quedas coa impresión de que entendiches algo de mecánica cuántica que do coñecemento cabal da derivada.

Outro dos problemas que vexo co enfoque das Bases é que trabuca o xeito de aprender dun aprendiz e o dun experto. Un adulto ou un adolescente que xa ten certos coñecementos asentados pode pasar por riba dos detalles dun problema, e centrarse na resolución do miolo; de feito aínda máis: pode ver o miolo do problema, a súa estrutura, a analoxías con outros problemas, etc., cousa que non vai facer un aprendiz.

Por outra banda, e relacionado coa primeira obxeción, o alumnado necesita certa familiaridade cos procedementos porque a materia de Matemáticas, por moita relación que teña, non é Filosofía: remata a clase de Matemáticas, e vai entrar o de Física e Química, que vai requirir que o alumno saiba desenvolver o cálculo de números descoñecidos nunha proporción, o cambio de unidades de medida, o debuxo da gráfica dunha función afín, ou máis adiante, o cálculo con vectores ou a derivada dunha función.

A estas alturas os que leades esta entrada xa me coñeceredes, sinceramente wysiwyg, e, ou moi trabucado estou, ou non creo que dea unha imaxe de ser o profesor máis tradicional que poidades coñecer. Polo que hai certas cousas das Bases que si me gustan, por exemplo o feito de que compartan en que cousas sería bo pararse máis e en que cousas non; aínda que nalgunhas cousas estou de acordo e noutras non. Por exemplo, vexo que certas tarefas ricas que comparten os autores das Bases no curso son estrañamente anecdóticas: pode servir de exemplo o Teorema de Ducci que aparece na charla de Cecilia, pero tamén a cantidade de veces que teño visto o Teorema de Pick en propostas pola rede, o que, na miña opinión, non vaticina moito criterio na escolla de actividades polo desconcertado profesorado. Outra teima que teño é saber cal é o obxectivo de moitas tarefas de práctica produtiva, que coa fanfarra que teñen, non detecto. Penso por exemplo nas Open Middle, nas que vexo ás veces a necesidade de ter tantas variables simultaneamente na cabeza que o obxectivo que un podería buscar queda ofuscado por factores espurios. Mirade esta tarefa que atopei ao chou:

Open Middle, Rational and Irrational Roots 8


A tarefa está pensada para grao 8, aínda que co noso curriculum habería que demorala un curso, ata 3º de ESO. O obxectivo parece claro, pero o feito de usar os nove díxitos indicados... axuda a ese obxectivo ou é un obstáculo que necesita estratexias non implícitas? (Acabo de lembrar os exercicios tipo de 2º de BAC de discutir un sistema en función dun parámetro, no que non abonda con saber o Teorema de Rouché-Fröbenius, senón que hai que poñer en xogo outras destrezas non relacionadas).


Como xa comentei algunha vez (por exemplo falando sobre as clases do TIMSS Study Video), gustaríame coñecer a secuencia completa dunha unidade elaborada polos propios autores das Bases. Secuencia na que se traballase toda unha unidade, desde a introdución á avaliación sumativa. Porque agora mesmo, a menos de tres semanas de, con case certeza, dar cursos impares, sigo tendo a impresión de que a proposta que fan, sen actividades máis ordinarias/tradicionais, non abonda para que o alumnado avance.

Gustaríame que houbese algún tipo de debate serio sobre o curriculum no que non estivesen todos os participantes de acordo, ao estilo dunha tertulia televisiva dunha canle facha. Eu calculo que veño estando nalgún lugar polo medio do espectro docente algo escorado a favor das Bases, pois a miña experiencia me di que nunca tiven compañeiros que fosen máis propensos a este enfoque das Bases ca min. Isto lévame a pensar que nas redes a sintonía coas Bases está sobrerrepresentada, entre os profesionais da Didáctica e a Pedagoxía con moita presencia e que os que comparten tarefas non comparten usualmente tarefas tradicionais, senón actividades con máis brillo. Co cal: queda moito traballo por facer para que a maioría dos docentes de Matemáticas entenda que se pretende en realidade, e tamén ata que grao. Eu , sinceramente, son un dos que necesitan esa explicación.

18.8.22

O curso da FESPM sobre as bases do curriculum-3

 Prosigamos debullando os contidos do curso sobre as Bases do Curriculum, que aínda quedan tres sentidos.

O sentido estocástico

O sentido estocástico comprende a análise e a interpretación de datos, a elaboración de conxecturas e a toma de decisións a partir da información estatística, a súa valoración crítica e a comprensión e comunicación de fenómenos aleatorios nunha ampla variedade de situacións cotiás.

Conxecturas e toma de decisións, case nada, eh?

Antes de compartir o traballo neste sentido, quería notar un detalle que non vin polas redes nin falando coas miñas compañeiras: xa na LOMCE reparei en que, habendo obxectivamente moitos máis contidos no bloque de Álxebra que no de Estatística e Probabilidade, sucede que en Álxebra despachan os contidos con 1 ou 2 criterios de avaliación, o que na práctica pode levar mes e medio de traballo como mínimo; mentres que en Estatística e Probabilidade adoita haber máis criterios para esa menor cantidade de contidos. Teño a sospeita de que, dado que Estatística e Probabilidade é historicamente o bloque menos traballado en España(polo menos é o que se adoita dicir, sen datos) xunto co de Xeometría, tentan darlle a volta desde a lei. Non sei con que éxito.

Neste obradoiro non houbo un vídeo dunha hora para introducir o sentido, senón que un dos responsables, Luis Rodríguez Muñiz(a outra era Ana Serradó Bayés) fixo un vídeo breve introducindo a finalidade dos (moitos) materiais que había que ler e a tarefa conseguinte. Agora non dou atopado o vídeo, coido que estaba oculto e nin sequera sei se estaba aloxado na canle da FESPM.

Vendo a lista de materiais podedes trabucar e pensar que non é para tanto a cousa, ata que comprobedes a extensión dalgún:

Contextos y propuestas para la enseñanza de la estadística y la probabilidad en Educación Infantil: un itinerario didáctico, de Ángel Alsina.

Ideas estocásticas fundamentales. ¿Qué contenidos se debe enseñar en la clase de probabilidad?, de Carmen Batanero.

Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education(GAISE) Report, A Pre-K-12 Curriculum Framework, de varios autores, informe apoiada pola American Statistical Association en 2005 (hai tradución ao español, Lineamientos para la evaluación y enseñanza en Educación Estadística, Reporte)

O GAISE II, actualización de 2020 do anterior, onde tratan ademais a Ciencia de Datos.

Agora seguro que xa concordaredes comigo en que choio non faltaba.

A tarefa era a seguinte:

Estamos organizando en el centro escolar una salida al campo para el próximo mes, ¿debemos poner un paraguas o impermeable en la mochila?

a) Traza un plan para dar una respuesta al interrogante anterior

b) ¿Cómo trabajarías este problema con tu alumnado?

c) ¿Qué dificultades anticipas que pueden surgir al implementarlo en el aula?

Para non mediatizar, comparto a miña resposta frustrada á tarefa. Visto case medio ano despois, coido que o feito de que se mesturasen ideas de niveis moi diversos no curso non axudou á miña comprensión. Confeso que sigo abraiado, como un coello cegado polos faros dun coche.

O sentido da medida

O sentido da medida céntrase na comprensión e comparación de atributos dos obxectos do mundo natural. Entender e escoller as unidades axeitadas para estimar, medir e comparar magnitudes, utilizar os instrumentos adecuados para realizar medicións, comparar obxectos físicos e comprender as relacións entre formas e medidas son os eixes centrais deste sentido. Así mesmo, introdúcese o concepto de probabilidade como medida da incertidume.

O responsable do obradoiro foi o compañeiro Julio Rodríguez Taboada, daquela presidente de Agapema e agora tamén presidente da FESPM:



No vídeo veredes que Julio comparte certas lecturas e actividades de exemplo dentro deste sentido. As actividades de exemplo é mellor velas no vídeo, as lecturas póñoas aquí tamén: 

Sentido de la medida y magnitud superficie, de Catalina Abellán, Antonio Codina e Isabel Romero

Perímetre i àrea 4: una seqüela, do blog Puntmat

A tarefa pedía o seguinte:

Elabora una propuesta de aula, adapta a Primaria o ESO, a partir del vídeo mostrado en la web https://nrich.maths.org/13664

Comparto tamén a resposta que dei a esta tarefa. Aínda que contestei á tarefa, non como no sentido previo, teño que confesar que é pouco probable que faga algo así na miña clase. Probablemente teña o nesgo alxébrico que se comenta no vídeo, non o nego, mais considero que a actividade é máis axeitada para Primaria.

Deixo para a última entrada sobre o curso o sentido numérico e, quizais, unha reflexión xeral que non interesará a ninguén, dada a ausencia total de debate que hai sobre o curriculum que vén.

15.8.22

O curso da FESPM sobre as bases do curriculum-2

 Comezo a continuación da entrada previa sen ter moi claro se vou incluír os obradoiros de todos os sentidos matemáticos ou se, pola contra, terei que dividir en varias entradas. Vexamos.

Lembremos que o documento das bases organiza o estudo dos saberes matemáticos en 5 grandes sentidos, o alxébrico, o espacial, o estocástico, o da medida e o numérico.

Sigamos a orde da axenda do curso, a alfabética, empezando coa breve explicación que aparece no BOE sobre o primeiro sentido:

O sentido alxébrico

O sentido alxébrico proporciona a linguaxe na que se comunican as matemáticas. Ver o xeral no particular, recoñecendo patróns e relacións de dependencia entre variables e expresándoas mediante diferentes representacións, así como a modelización de situacións matemáticas ou do mundo real con expresións simbólicas son características fundamentais do sentido alxébrico 


O traballo deste obradoiro incluía ler os seguintes artigos:

Dificultades en el estudio del álgebra escolar, de Encarnación Castro.

El lenguaje algebraico, o clásico de Freudenthal.

Fenómenos y ajustes. Un modelo de enseñanza del proceso de modelización y los conceptos de parámetro y familia de funciones, de Luis Puig e Onofre Monzó.

Observaciones acerca del propósito del Álgebra Educativa, de Luis Puig.

The twelfth ICMI Study-The future of the Teaching and Learning of Algebra. Discussion document, de varios autores.

E a actividade final consistía en escoller unha das grandes ideas dentro do sentido alxébrico e argallar unha actividade (ou secuencia de actividades, coido, que xa non teño dispoñible o enunciado das actividades) arredor desa idea. Obviamente, escollín unha que me fixese traballar o mínimo, Patróns. Podedes ver o que contestei nesta ligazón

Cando seguía este obradoiro, fun confirmando a sensación que tiña previamente: neste curso ían centrarse de tal xeito nas novidades das Matemáticas da LOMLOE que ían obviar por completo a parte procedimental. E esa sensación foi corroborada por todo o que veu logo. A estas alturas xa saberedes que non estou de acordo con esa aproximación.

O sentido espacial

O sentido espcial aborda a comprensión dos aspectos xeométricos do noso mundo. Rexistrar e representar formar e figuras, recoñecer as súas propiedades, identificar relacións entre elas, ubicalas, describir os seus movementos, elaborar ou descubrir imaxes delas, clasificalas e razoar con elas son elementos fundamentais da ensinanza e aprendizaxe da xeometría.


Coido que este obradoiro non implicaba a lectura de documentos alén de ver o vídeo, polo menos non teño nada gardado no cartafol ademais da actividade final,  que pedía o seguinte:

Sitúate nunha determinada etapa, le as grandes ideas do sentido espacial desa etapa e os saberes asociados que lle corresponden. 

Analiza as actividades que implementas cos teus alumnos referidas ao bloque de Espazo e Forma (Xeometría) e pásalle o filtro do Sentido Espacial, i.e., clasifícaas segundo poidas identificar nelas os saberes listados no documento.

Responde ás cuestións seguintes:

Teño actividades para o fomento de cada un dos saberes?

Podo melloralas para que sexan máis competenciais?

Déixovos a ligazón coa miña tarefa, pero non podo deixar pasar a ocasión de compartir aquí a miña resposta á última cuestión:

Con respecto á pregunta de se podo mellorar as actividades para que sexan máis competenciais, confeso que non teño claro que o feito de que sexan máis competenciais supoña unha mellora. Eu, de xeito alternativo, preguntaríame se podo mellorar as actividades para que os alumnos aprendan máis matemáticas e mellor. Teño unha postura crítica co modelo de competencias, que me parece que trivializa a disciplina.

Spoiler: a profesora do obradoiro non opinaba o mesmo.


Chegado aquí, creo que a información destes dous obradoiros xa fan densa abondo a entrada. 

25.7.22

O curso da FESPM sobre as Bases do Curriculum

Erecteion with no context, da wikipedia

 O curso 2022/23 comeza a implantación da LOMLOE nos cursos impares. Se un segue minimamente as novas sobre educación, forzosamente tivo que oír que a nova lei vai supoñer unha revolución no proceso de ensino/aprendizaxe, que vai incorporar as competencias no caduco xeito de ensinar en España(xa había 8 competencias básicas na LOE, do 2006, na LOMCE do 2013 hai 7 competencias clave), que agora o profesorado vai ter que empezar a ensinar para a comprensión e non para a memorización, etc. E aínda que eu fixera un voto de non recibir máis formación, polo menos durantes uns anos, acabei apuntando ao curso da FESPM "Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en enseñanza no universitaria", que tivo lugar en rede en febreiro e marzo. Procedo a relatar a miña experiencia no curso e a miña opinión.

A organización do curso correu a cargo da FESPM, i.e., a Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, e os relatores do curso eran precisamente autores do documento homónimo do curso, elaborado polo CEMAT, o Comité Español de Matemáticas, lista que podedes ver na 2ª páxina do pdf enlazado. Esta foi unha das principais razóns que me levaron a matricular no curso, despois de levar lustros facendo o lercho a conta dos creadores de curriculum. Como teima persoal, considero que nesa lista de expertos están sobrerrepresentados os docentes de centros privados, e como consecuencia coido que teñen unha visión das aulas ben distinta á miña, e que me achega pouco valor.

O curso apoiouse nunha aula virtual na que había por un lado vídeos con conferencias máis xerais, e por outro, vídeos con obradoiros dos distintos sentidos nos que se organiza o documento das Bases. En cada apartado había unha tarefa que facer despois de ver o vídeo correspondente. Aínda que as tarefas eran secundarias, pois o obxectivo do curso era dar a coñecer as Bases ao profesorado que se matriculou, non avaliarnos a nós sobre algo novo. Non lembro exactamente os números, pero de algo máis de 130 matriculados inicialmente de toda España, remataríamos pouco máis de 40. Tendo en conta que había matriculados que non eran profesores en activo das etapas nas que vai ter efecto o novo curriculum, moito non se espallou a boa nova con este curso, penso eu.

 Vou incrustar aquí os vídeos, que levan un tempo xa en aberto na canle da FESPM.


  • A 1ª conferencia correu a cargo do entón presidente da FESPM, Onofre Monzó, e titulouse Marco teórico para el desarrollo curricular,


A tarefa asociada a este vídeo consistía en responder as seguintes preguntas:
    • Que entendes por matematización?
    • En que momento se debe traballar na aula a resolución de problemas?
    • Que é a competencia matemática?
    • Que entendes por pensamento computacional?
    • Consideras que na actualidade se traballa o pensamento computacional na aula? Considéralo necesario?
Para non facer ilexible esta entrada, enlazo o documento co que contestei a tarefa, Actividade 1.1, seguro que vos presta comprobar a miña burremia. 
  • A 2ª conferencia, Principios metodológicos para el cambio curricular, foi impartida por Antonio Moreno Verdejo, profesor de Didáctica da Matemática na Universidad de Granada.


A tarefa asociada dicía así:

Expresa a través de un documento de texto, tu valoración sobre los principios metodológicos a los que se ha hecho referencia en la conferencia, destacando aquellos que consideres de mayor importancia y exponiendo si consideras que hay algún aspecto que se debería haber considerado.

O que contestei eu, que a estas alturas xa vos podedes cheirar: Actividade 1.2
  • E a 3ª conferencia, Relación y Cambio (como se fose un título de Kierkergaard), foi ditada por Abraham de la Fuente, doutor en Didáctica das Matemáticas, membro da Fundació Bofill, e profesor(coido) nun centro privado catalán ademais de na Autónoma de Barcelona.

Neste caso a tarefa solicitaba o seguinte:

Expresa en un documento texto los aspectos que consideras más destacados de cambio que encuentras en el documento bases para el currículum con respecto al currículum establecido en anterior Ley de Educación.

A miña resposta a esta premisa, como mínimo estraña, en Actividade 1.3. Confeso que aínda non teño totalmente claro se falaba de Cambio, como no título da conferencia, ou que.


Penso que xa é abondo para esta entrada. Outro día sigo cos obradoiros dedicados aos diferentes sentidos dentro da materia. 

17.7.22

Tilt

 Non sei se xa comentei por aquí que as primeiras demostracións que vin como alumno do antigo BUP foron as que usaban o produto escalar en 3º de BUP. En realidade xa víramos algunha identidade trigonométrica, pero en realidade só as vin como comprobacións alxébricas máis que como demostracións xenuínas.

E nese 3º de BUP vin por primeira vez que o ángulo inscrito na semicircunferencia é recto(nunca vimos o concepto de arco capaz, nin demostráramos que o ángulo inscrito é a metade do central que abrangue o mesmo arco, nin nada de nada), o Teorema da Altura, o Teorema do Cateto, e algún resultado sobre sumas de cadrados dos lados de cuadriláteros que non lembro exactamente(pero que seguro que se podía demostrar utilizando o Teorema de Pitágoras unhas cantas veces)

Como levo semanas sen revisar o feedly, tiña uns cantos centos de actualizacións, entre elas, varias decenas de Futility Closet, blog no que levo anos atopando feitos elementais ben interesantes. E de hai dúas semanas sumei un máis nesta entrada, Tilt:

   
Dado o cadrado ABCD, collemos un punto L na diagonal AC, de tal xeito que AL:LC=3:1, e consideramos o punto medio do lado AB, K. Amosar que $\angle{DLK}$ é recto.


A demostración que aparece en Futiliy Closet é moi elegante e o máis elemental que se pode agardar dun feito así, pero como eu levo varios anos consecutivos dando Matemáticas I, sempre teño os vectores agochados moi preto, polo que utilicei ese enfoque. Vou compartir a técnica, deixade de ler xa se queredes buscar vós unha demostración. Como esta semana todo o mundo fala da famosa foto do James Webb, eu vou poñer aquí a primeira foto tomada desde o espazo:

   


Imos manchar as mans de vectores logo. A estratexia vai consistir en escribir os vectores que forman o ángulo buscado en función dos vectores que forman os lados do cadrado, que obviamente son ortogonais ou paralelos, e teñen o mesmo módulo(porque este resultado é falso nun rectángulo calquera).
$$\overrightarrow{LD}\cdot\overrightarrow{LK}=\left( \overrightarrow{LC}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}\right)=\left( -\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right)=$$
$$\left[ -\frac{1}{4} \left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)+\overrightarrow{CD} \right]\cdot \left[  \frac{3}{4}\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right]=$$
$$\left( \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}\right)\cdot \left( \frac{1}{4} \overrightarrow{CD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{DA}\right)=\frac{3}{16} \overrightarrow{CD}^2+\frac{9}{16} \overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}-\frac{1}{16}\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{CD}-\frac{3}{16}\overrightarrow{DA}^2=$$
$$\frac{3}{16}l^2+0-0-\frac{3}{16}l^2=0$$
Onde os dous produtos escalares son nulos porque CD e DA son lados consecutivos do cadrado.

Este cálculo pode modificarse e efectuar produtos escalares do vector que forma a diagonal cos vectores que forman os lados, pois o ángulo é ben coñecido, $\frac{\pi}{4}$. 

Insisto: a demostración fermosa é a que se amosa en Futility Closet, isto é meramente un exercicio para practicar.

8.7.22

Tres circunferencias e tres segmentos

 

Considerade a seguinte figura, na que vemos dúas circunferencias de raio 1 con centros A e B. Ademais, cada circunferencia pasa polo centro da outra. Debuxamos tamén a circunferencia con diámetro AB, e tamén os segmentos AC e BF tanxentes a esa circunferencia(ou ás outras, como prefirades)

   


O voso choio é atopar a medida dos segmentos CE e CD.


Pista: aínda onte estiven esbardallando sobre o que vai agromar aquí, este é o meu xeito de resarcirme.

2.7.22

Problema aritmético?



É ben coñecido o fenómeno que se produce ao dominar certas ferramentas, que ata ten nome, Lei do instrumento, e que popularmente se adoita expresar deste xeito:


Se a única ferramenta que tes é un martelo, tendes a ver calquera problema como se fose un cravo.


Como profesores é habitual observar este fenómeno no uso por parte do alumnado de estratexias previas ante novas situacións, problemas, etc., ás que se poden adaptar máis ou menos ben. Obviamente isto non é exclusivo dos alumnos, pois o coñecemento das destrezas propias da álxebra produce que o noso pensamento flúa máis (ou mellor) introducindo variables e incógnitas. Como mostra, esta entrada de hai case tres anos, na que ademais do problema presentado, eu mesmo na resposta a un comentario volvo caer no uso da álxebra. Pero quen pode sentirse culpable, se a álxebra, no fondo, é ben divertida?


No meu traballo na aula sempre ando á pescuda de problemas elementais pero difíciles, que requiran poucas ferramentas canónicas previas mais que non sexan sinxelos aínda así. Coido que levo compartida unha chea deles nestes anos, pero hai un campo no que non estou moi satisfeito aínda: o dos problemas aritméticos nos que haxa que pelexar con varias cantidades enteiras e as súas relacións. Polo que celebro cada nova situación que atopo nalgún libro, web ou olimpíada matemática. Observade o seguinte problema, que veño de achar no Virginia Tech Regional Mathematics Contest de 1982:


Unha caixa contén bólas de cores. Cada bóla é azul, branca ou vermella. O número de bólas azuis é polo menos a metade do número de bólas brancas, e como moito un terzo do número de bólas vermellas. O número de bólas que son brancas ou azuis é polo menos 55. Atopa o número mínimo de bólas vermellas.


Veña, resolvede o problema e sede sinceros: fixéstelo con álxebra? Unha vez resolto con álxebra, destes atopado un xeito de non usala? Ou xa o fixestes só por medios aritméticos desde o comezo?

12.6.22

Divertimento xeométrico(10)

 Obviando a miña máxima "Non te achegues a un libro de matemáticas básicas escrito por un ruso", dei con esta fermosura elemental que, sinceramente, pode que pasase por riba en decenas de ocasións. Porque para ver estas cousas hai que estar disposto a mirar ben.

Nesta figura podedes ver dous rectángulos que teñen os lados paralelos(ou perpendiculares, como queirades velos). Os puntos A, B, E e F teñen liberdade para moverse; loxicamente C, D, G e H dependen deles, o xeito exacto verédelo se movedes os primeiros puntos. Pois ben: intuídes de que vai o conto antes de darlle á caixa de verificación? E por que sucede?

É entusiasmo exclusivo meu ou isto pode ir directo a unha aula de 1º ou 2º de ESO destes días?

3.6.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-5

Rematamos a quenda cos problemas da fase final da olimpíada matemática galega, cun problema cun aquel a problema sangaku.


Calcula a área e o perímetro da figura sombreada, sabendo que as unidades están en cm.

   
Como o perímetro é cousa de coñecer a lonxitude da circunferencia, centrémonos en atopar a área.


Para que pensedes vós antes de ver o que vén agora, déixovos un feito elemental que me encanta ver nas aulas:


   

Posto o obstáculo, imos ao choio. O xeito máis sinxelo que vin eu de atacar o problema consiste en facer un movemento desde a imaxe orixinal:

   
 

  
E quedar coa mesma área máis manexable:

   
E esta última figura xa é propia dos exercicios de áreas de libros de texto de 1º de ESO, polo que deixo as contas ao amable lector.

Remata aquí a quenda anual de problemas da olimpíada galega. Como sempre, parabéns e grazas a AGAPEMA, que organiza o concurso todos os anos.

1.6.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-4

 O 4º problema foi o seguinte:

O veterinario do canciño de Sara indicou que para que seguir un réxime alimentario riguroso debía de:

  • Non comer máis de 500 Kcal por dia.
  • Se algún día come máis de 300 Kcal, nos tres días seguintes non poderá comer máis de 200 Kcal en cada un deses tres días.

Cal é a maior cantidade de Kcal que o canciño pode consumir en 30 días, seguindo as recomendacións do veterinario?

A miña intuición dime que habería moitas solucións que atopasen o máximo de calorías, pero non estou certo de se os cativos darían atopado un xeito de explicar como razoaron. 

Analizando as condicións do enunciado, vemos que nun período de 4 días consecutivos o máximo de Kcal é 300·4=1200 Kcal. En 30 días hai 7 períodos de 4 días consecutivos e 2 días ao final que quedan descolgados. Polo que atinximos o máximo cando seguimos a estratexia de darlle eses 7 períodos 300 Kcal/día(para un total de 1200·7=8400), no penúltimo día 500 e no último 200, que melloran a outra opción, 2·300. O máximo é, en consecuencia, 8400+700=9100 Kcal.

Factible, non credes?


Edit ás 22:52 do mesmo día:

Pois tan factible non sería se o resolvín eu mesmo mal, e non me decatei eu só, senón que tiven que esperar a este chío:

Se pasase na aula, aínda podería dicir que o fixen para ver se estaban atentos, aquí non vai coar...

29.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-3

 O terceiro problema da fase final da olimpíada tivo o aquel lucense que estabamos a agardar:

Aquí tes unha figuración simplificada do plano do interior da muralla de Lucus Augusti nos tempo de César Augusto.

Neste blog sempre bancamos por Lugo                  



O centurión Caio Vinicius debe organizar o corpo de lexionarios que agarda no Foro para saír cara os corpos de garda, dende onde protexerán as que eran as cinco portas da cidade naqueles tempos. Inicialmente divídeos en partes iguais para que se dirixan por cada unha das 4 rúas que saen do Foro. A medida que avancen, no sentido das frechas, en cada bifurcación deberán dividirse tamén en partes iguais. Cal é o menor número de lexionarios necesarios que estarán de garda esa noite, se sabemos que son máis de 50? Se a principal porta de entrada á cidade é a que ten maior número de lexionarios vixiando, cal é e cantos lexionarios a gardan?

Ben, parece sinxelo, non? Está claro desde que un decodifica o texto que imos ter que considerar que o número de lexionarios ten que ser divisible por certos números que van aparecendo. E a formulación da pregunta, "Cal é o menor número de lexionarios necesarios que estarán de garda esa noite, se sabemos que son maís de 50?" resulta familiar, o que sempre axuda. Mais hai obstáculos, ademais de que hai subgrupos que se reagrupan(o que non afecta ao número mínimo, pero si á porta principal), hai bifurcacións nas que non se dividen, pois a frecha non o permite. Se non, habería lexionarios que sairían e despois de dous cruces volverían ao foro, todos panchos.  

Se dependese de min, quizais este sería o problema axeitado para o 1º da xeira. Mais ninguén obriga a facelos en orde, ben sabedes.

Con esta idea poderíamos crear un feixe de problemas distintos nos que cambiase o xeito de actuar nas bifurcacións. A ver se lembro o curso que vén...

28.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-2


Traio o problema 2 da fase final da olimpíada para que pensedes mentres padecedes o sol:

O centurión Vinicius Fabius decidiu repartir entre os seus mellores lexionarios certo número de moedas de ouro, todas elas do mesmo valor, da seguinte forma:

  • Ao mellor lexionario tócalle unha moeda e un sétimo das que sobran.
  • Ao segundo mellor lexionario outórgalle dúas moedas e un sétimo das que sobran.
  • Ao terceiro mellor tócanlle tres moedas e un sétimo das que sobran.
  • E así sucesivamente até chegar ao último dos elixidos.
Se todos os lexionarios recibiron o mesmo número de moedas, cantos lexionarios premiou o centurión? canto recibiu cada un?

Sóavos o problema? Non lembra superficialmente ao clásico das rapazas que sucesivamente bailan cun rapaz máis, mesturado co problema do reparto do tesouro entre piratas, os monos e os cocos ou algo así?
Pois se vos soa, sabede que é comprensible, pois este problema ten séculos, está recollido no Liber Abaci de Fibonacci(1202). Se non tivese explicitamente a condición de que todos os lexionarios levaron o mesmo número de moedas, a versión é anterior e apareceu no Lilavati de Bhaskara(s.XII), e aínda é atribuído a Brahmagupta, cinco séculos antes. A inclusión da condición fai o problema susceptible de resolver mediante álxebra elemental; se non a incluísen, o razoamento sería máis sofisticado.

Imaxino aos cativos pelexando co problema como se fose unha actividade de clase habitual: se  fago un debuxo para indicar os sétimos, o que queda... Quizais recorrendo á álxebra, o 1º lexionario levaría $1+ \frac{x-1}{7}=\frac{x+6}{7}$, seguindo co que levaría o 2º, quizais poñéndose co 3º... Ata decatarse de que poñerlle letras ao nº de moedas dos dous primeiros lexionarios xa serve para comezar a xogar, pola condición de que todos levan as mesmas. Tamén podo imaxinar que a intuición lles dixese que tiñan que ser 6 lexionarios, que traballasen sobre ese dato, pero non poder xustificar a súa intuición a priori(resolvendo o problema, un pode ver que eses sétimos que aparecen no transcurso tamén son sextos doutras cantidades do problema).
E que sucedería se tentasen traballar "para atrás", como no típico problema dos 3 amigos que se van repartindo moedas en función das que teñen en cada momento?
O último lexionario levaría tantas moedas como o seu número, máis 0, que é un sétimo de 0(sempre me presta dicir este tipo de cousas en voz alta), polo que o anterior lexionario, o (n-1)-ésimo, levou unha menos que o último, máis un sétimo das que quedaban, deixando xusto n para o último, e utilizar aquí a igualdade de moedas. E aínda hai máis razoamentos rápidos que funcionan aínda que non sexamos rigorosos, por exemplo respecto ao número máximo de lexionarios en función dos restos distintos módulo o denominador da fracción, aínda que sen usar toda esa barallada.

Como conclusión: paréceme un bo problema e axeitado para esta fase, no que se pode fedellar e usar a intuición. Os meus parabéns pola escolla.

27.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final

 

Este xoves 26 tivo lugar a fase final da olimpíada galega de 2º de ESO no Círculo das Artes de Lugo. Testemuñas que asistiron comentan que a xornada foi unha experiencia estupenda para participantes e acompañantes, cousa que non me sorprende, pois iso mesmo vivín eu hai 7 anos cun alumno do IES Punta Candieira. Nunca poderemos agradecer abondo ao comité organizador de AGAPEMA o traballo desinteresado que fan.

Como fixen este ano cos problemas da fase local, vou dedicar unhas entradas aos problemas desta fase. Velaquí o primeiro:

Unha terna pitagórica está formada por tres números naturais, a, b e c, que verifican o teorema de Pitágoras, é dicir, $a^2+b^2=c^2$ . Podemos velos como os lados dun triángulo rectángulo no que a e b son os catetos e c a hipotenusa. Sendo así, dicimos que o ano 2022 é hipotenuso, xa que podemos felicitalo a partir de dous catetos dun triángulo rectángulo no que 2022 é a hipotenusa: $1050^2+1728^2=2022^2$

  1. Demostra que se a, b, c forman unha terna pitagórica, entón na, nb, nc tamén, para n un número natural calquera
  2. Encontra 3 ternas pitagóricas diferentes
  3. Comproba que 2025 será un ano hipotenuso.
  4. Descobre se teremos outro ano hipotenuso antes de 2025.
A estas alturas xa saberedes que a teoría de números elemental é a miña parte preferida das Matemáticas, aínda así, sorprendeume ver esta proposta como 1º problema do concurso. Para empezar, o apartado a é moi técnico para o usual neste nivel de olimpíada. Para quen domine o uso de variables é puro textbook work: $(na)^2+(nb)^2=n^2a^2+n^2b^2=n^2(a^2+b^2)=n^2c^2=(nc)^2$, dándose a penúltima igualdade porque (a,b,c) é unha terna pitagórica. Para que non o domine, probablemente a verbalización do problema sexa un obstáculo insalvable.

No b) é posible que haxa alumnos que teñan na memoria xa exemplos de ternas pitagóricas, pois a estas alturas de curso de 2º de ESO en moitos centros xa pasaron polo bloque de Xeometría, sen dúbida. Como curiosidade, poderían atopar as ternas a partir do exemplo, ademais da resposta esperada, i.e., multiplicando os termos 1050, 1728, 2022 polo natural que lles pete, dividindo polos 3 factores comúns que teñen os elementos da terna:
$\begin{cases} 1050=2 \cdot 3 \cdot  5^2 \cdot 7 \\ 1728=2^6 \cdot 3^3 \\ 2022=2 \cdot 3 \cdot 337 \end{cases}$
$(525,864,1011),(350,576,674),(175,288,337)$

Para o c) lembrade que os cativos dispoñen de calculadora, ademais da pura busca por forza bruta, cabe a posibilidade de fedellar un chisco nos números:
Como $2025=25 \cdot 81$ entón $2025=(3^2+4^2) \cdot 9^2=3^2\cdot 9^2+4^2 \cdot 9^2=27^2+36^2$. Outra opción sería coller $2025=5 \cdot 405=(1^2+2^2)(18^2+9^2)$, e aquí seguir do xeito que explico na entrada Matrices e Pitágoras?

Finalmente, para o d) o mellor é razoar sobre o aspecto dos cadrados perfectos, para un iniciado nas congruencias é case imposible non utilizalas. Daríase o caso de que algún alumno incluíse o 0 nos naturais, facendo que todos os números sexan hipotenusos?

18.5.22

Global Teaching Insights

Compartindo o asunto desta entrada en twitter reparei en que non contara nada no blog, cuestión que veño a resolver.

Entre a 3ª avaliación do curso 2020/21 e o verán seguinte estiven inmerso de xeito intermitente nun traballo coordinado polo profesor da Universidad de Alcalá Pedro Ramos, xunto cos profesores de secundaria doutras comunidades Cristina Miguel, Juan José López e Lara Villaseñor. O traballo consistiu en analizar unha sesión de clase dunha aula dun instituto xaponés, na que un profesor desenvolvía a resolución de ecuacións de 2º grao apoiándose na representación xeométrica, o tradicional "completar o cadrado" pero non visto de xeito puramente alxébrico.

A organización destes estudos correu a cargo da OCDE, se seguides este blog un anaco deberíades notar os meus calafríos. A explicación: aceptei entrar no grupo antes de saber quen organizaba. Por outra banda, tamén saberedes daquela que neste blog xa falei do TIMSS 1999 Study Video nunha entrada na que confesaba que quedara abraiado co nivel dos problemas propostos. Polo que, en conclusión, I regret nothing.

Explicado todo isto, velaquí o vídeo e os comentarios que fixemos os participantes do grupo:


PS: non vai o iframe do vídeo, deixo aquí o link mentres non se resolve o problema


Póñovos tamén a ligazón á web Global Teaching Insights, onde poderedes atopar máis vídeos con sesións de clase de varios países. Algúns son verdadeiras xoias da ensinanza, en moitos sentidos.


27.4.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local-5

   

 Remata hoxe esta serie sobre a fase local da Olimpíada Galega con este problema:


Nun ensaio para unha representación no Arde Lucus o coreógrafo traballa con 9 persoas, 4 caracterizadas de lexionarias e 5 de castrexas. Pídelles que se coloquen en fila, de xeito que "as lexionarias ocupen posicións pares e as castrexas impares". De cantas formas distintas se podería colocar ese grupo de 9 persoas seguindo esa consigna?


Parece un problema dos sinxelos da Combinatoria de 1º de BUP, non si? 

Porén, é un bo problema de olimpíada porque é posible comezar a xogar coa situación e decatarse dun xeito de resolvelo, todo depende de se o alumno ten desenvolvido o pensamento multiplicativo. Por outra banda, se os alumnos nunca tiveron que facer un problema de reconto de configuracións, é probable que non entendan que lles pide o enunciado. Porque poden pensar que a situación:

C-L-C-L-C-L-C-L-C

é a única que hai, sen decatarse de que os lexionarios son persoas distintas e os castrexos tamén. 

E tamén pode suceder que un cativo vexa esta configuración inicial e tente atopar todas as que hai movendo os castrexos e os lexionarios nos seus postos correspondentes, estratexia abocada ao fracaso.

Supoño que a maioría dos participantes que cheguen ao número de configuracións, $5! \cdot 4!=2880$, tentarán colocar un castrexo, con bastante traballo e meticulosidade atoparán que hai 24 xeitos de colocar aos outros, polo que haberá $5\cdot 24=120$ xeitos de ordenar aos castrexos. Se ten moita vista e está atento, verá que hai xusto 24 configuracións dos 4 lexionarios, para rematar calculando $120 \cdot 24$.

A alternativa é que o participante recibise formación específica nas nocións elementais da combinatoria, que todo pode suceder neste contexto.

Se tivese que valorar a proba globalmente, diría que foi máis complicada do habitual, pois intúo que 2 dos problemas(o , do triángulo no cadrado, e o , dos nin cadrados nin cubos) van ter poucas solucións correctas. Co cal é factible que haxa finalistas con 2 problemas ben resoltos.

Remata aquí a serie de entradas sobre a fase local, quizais faga outra cos problemas da fase final, non é seguro, pois cadra a finais de maio, cando estaremos coa 3ª avaliación.

26.4.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local-4

 

   
A imaxe de inicio emula a que apareceu no problema que toca hoxe, o 4º:


Que parte do cadrado é a superficie sombreada?


Que teño que dicir deste problema?

  • Non me gusta o enunciado.
  • Houbo que explicarlles aos cativos que o de arriba é o punto medio do lado, a notación non é estándar en España.
  • Non me gusta que non poñan a medida do lado do cadrado.
  • Creo que non o vai facer case ningún participante.
En conclusión, encántame.

A primeira estratexia que pensa un en canto ve a figura é utilizar a semellanza dos dous triángulos. Desde un punto de vista avanzado, como a razón de semellanza deses dous triángulos é 1:2, a razón entre as súas alturas será 1:2 tamén. Polo que, como xuntas suman o lado vertical do cadrado, a altura do noso triángulo será dous terzos do lado do cadrado, polo que a fracción sombreada será un terzo da área total do cadrado.
Pero os detalles son algo enleados:

   
Dada a semellanza, temos as seguintes relacións de proporcionalidade:
$$\begin{cases} \frac{z}{y}=\frac{l-x}{x} \\ \frac{\frac{l}{2}-z}{l-y}=\frac{l-x}{x} \end{cases} \Rightarrow  \frac{z}{y}=\frac{\frac{l}{2}-z}{l-y} \Rightarrow z\cdot(l-y)=y \cdot \left(\frac{l}{2}-z \right) \Rightarrow $$
$$zl-zy=y \cdot \frac{l}{2}-yz \Rightarrow zl=y \cdot \frac{l}{2}\Rightarrow z=\frac{y}{2}$$
Utilizando isto na 1ª igualdade:
$$\frac{1}{2}=\frac{l-x}{x} \Rightarrow x=2l-2x \Rightarrow x=\frac{2l}{3}$$
E despois de tantas voltas(ou doutras semellantes), obtemos o que era tan sinxelo de deducir.

Por sorte, había polo menos outro xeito de deducir que o triángulo verde supón un terzo do cadrado. Claro que tamén requería certos coñecementos, observade:

Intuídes por onde vou?   


Puxen nome aos vértices para poder falar dos triángulos que aparecen.
No triángulo $\overset{\triangle}{BCD}$, $\overline{CM}$ e $\overline{BE}$ son medianas, pois E e M son os puntos medios dos seus lados, polo que o punto F é o baricentro do triángulo. De onde deducimos que a área do triángulo $\overset{\triangle}{BFM}$ é $\frac{1}{6}$ do triángulo $\overset{\triangle}{BCD}$, é dicir, $\frac{1}{12}$ do cadrado. Como o triángulo $\overset{\triangle}{ABM}$ é obviamente $\frac{1}{4}$ do cadrado, a área sombreada supón $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

Tamén pensei en facer copias do cadrado arredor, pero non dei atopado un xeito de xuntar cachos. Quizais vós teñades mellor vista ca min:

   


Por certo, a estas alturas de 2º de ESO intúo que en poucos centros chegaron a ver a semellanza de triángulos. E nos que a viron, non creo que cheguen a este nivel técnico. Só vexo factible que alumnos que tivesen preparación específica ESTALMAT ou actividades extraescolares dalgúns centros concertados) dean resolto este problema. Polo que seguramente sexa o problema con menos solucións axeitadas, seguido polo 2º  problema, o dos nin cadrados nin cubos 

Se atopades outro xeito elemental de amosar que o triángulo mide un terzo do cadrado, compartídeo por aquí.

25.4.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local-3


 

Chegamos hoxe ao problema número 3 fase local da Olimpíada:

Toma as fichas dobres dun xogo de dominó: un dobre, dous dobre, tres dobre, catro dobre, cinco dobre e seis dobre.

Aquí falta alguén...


Colócaas de xeito que formen un cadrado oco no que a suma das puntuacións dos catros lados sexa a mesma.

    



De non ser posible, argumenta porqué.


En contra do que sucede nos exercicios escolares, onde se atopas un enunciado cunha pregunta inicial e outra a continuación que depende da primeira, a resposta da primeira SEMPRE habilita a situación da segunda, neste caso si había solución para a configuración, e por tanto non había que atopar argumento ningún. E menos mal, porque a estas idades argallar un razoamento que explique a imposibilidade dunha configuración non é sinxelo.

Vaticino que este vai ser o problema con máis solucións correctas desta fase, o que me levaba a pensar que sería o axeitado para aparecer como 1º problema dos 5. Aínda que tamén entendo a opinión de quen defenda que un alumno pode empantanarse tentando atopar unha solución e non dar feito.

Un apuntamento: sendo un exercicio non tipicamente académico, apostaría a que tarefas semellantes son propostas nas aulas de Primaria e 1º de ESO. E tamén apostaría a que todo o profesorado comeza por poñer letras nas celas para facilitar que agromen regularidades que permitan ir illando as eventuais solucións. O interesante, na miña opinión, é resolvelo coas ferramentas que ten o alumno á súa disposición.

24.4.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local-2

Aproveito a marea para poñer este título
do libro mencionado máis abaixo
 

Imos co 2º problema desta fase local, o que a priori podería ser o meu favorito. Se lestes este blog con certa frecuencia, veredes a razón:

Da lista dos números naturais riscamos os cadrados perfectos e os cubos perfectos:


Que número ocupará o lugar 2022 na nova lista que nos queda?

Tiven que facer a lista en Writer e convertelo nunha imaxe porque para riscar caracteres en LATEX hai que importar un paquete.

Cando lin o problema pensei para min, isto resólvoo eu en 10 segundos, HA!

Porque obviamente, a dificultade radica en decatarse de que riscamos dúas veces as potencias sextas. Co cal, como $45^2=2025$ , $13^3=2197$, e $4^6=4096$ son as primeiras potencias de cada tipo que sobrepasan 2022, temos 44 cadrados, 12 cubos, e 3 potencias sextas, polo que teremos que o número 2022 ocupará a posición $2022-44-12+3=1969$. Que sinxelo, non?

Para o meu descargo, direi que fixen isto mentres atendía aos cativos e ademais, de memoria. Pero está ben o erro, porque é previsible que moitos participantes se trabuquen deste xeito.

Porque mirei o enunciado outra vez e vin que non preguntaba pola posición do número 2022, senón polo número que ocupaba a posición 2022. Vaia.

Por sorte, cometido este erro, o que queda é automático: se o 2022 ocupa o lugar 1969, só hai que ver cantos números hai que contar para chegar a 2022 desde 1969. Como van 53 números entre eles, e 2045 está demasiado preto de 2022, haberá que contar 54, é dicir, chegar a $2022+53+1=2076$

Como dicía ao comezo, este é probablemente o meu problema favorito desta fase(tamén me prestou o cuarto, permanecede atentos aos vosos aparatos), de feito aínda hai poucas entradas que escribín Números que non son múltiplos de 3, no que propoñía atopar o termo xeral para a sucesión dos números que non son múltiplos de 3, reto baseado no de atopar a sucesión dos non cadrados perfectos, que propoñía Honsberger no seu Ingenuity in Mathematics. Honsberger dá nese libro dúas solucións para o reto:

$$n+\langle \sqrt{n} \rangle$$

onde utiliza a notación $\langle m \rangle$ para o enteiro máis preto de m, e despois utilizando outro enfoque, obtén 

$$n+\left[ \sqrt{n+\left[\sqrt{n}\right]} \right]$$ 

o que leva a deducir de paso a fermosa identidade

$$\langle \sqrt{n} \rangle=\left[ \sqrt{n+\left[\sqrt{n}\right]} \right]$$

A primeira solución que atopei eu ao meu reto menor para os non múltiplos de 3 foi:

$$\left[ \frac{3n}{2}\right]-\frac{1+(-1)^n}{2}$$

mais tamén saíron outras relacionadas, como por exemplo:

$$\frac{6n-3+(-1)^n}{4}$$

ata un compañeiro, en comunicación privada, compartiu comigo a súa fermosa e aparentemente rebuscada solución:

 $$n+\frac{n-1}{2}sen^2 \left(\frac{n \pi}{2} \right)+\frac{n-2}{2}cos^2 \left(\frac{n \pi}{2} \right)$$

da que, se analizades un anaco e simplificades, obteredes a miña segunda expresión. Quen o diría!

Todo este inciso quere amosar que un problema como o que nos ocupa hoxe non ten unha solución xeral sinxela. Observando a fórmula para os non cadrados, imaxinade a complicación dunha fórmula para os "nin cadrados nin cubos". Se tivésemos esa fórmula, digamos $a_n$, teríamos que calcular simplemente $a_{2022}$. Curiosamente, este enfoque xeral para o erro que cometín eu sería máis complicado, pois habería que resolver a ecuación $a_n=2022$.

Con respecto ao desempeño dos participantes, vaticino menos solucións completas aínda que no problema 1. Eu véxoo máis propio dunha fase final que dunha local, e por outra banda, nunca colocaría estes dous problemas nesta orde, seguramente comezaría polo problema 3, que veredes mañá. Tradicionalmente os problemas das olimpíadas manteñen certa orde crecente de dificultade, moitos participantes comezan polo primeiro, e se é moi difícil, a sensación de desánimo pode repercutir en toda a proba.

Claro que é sinxelo criticar estas cuestións cando un non ten a responsabilidade de elaborar a proba. Se fose eu o responsable, é probable que cometese máis erros. Por sorte non habería moitos blogues en galego para poñerme a pingar. E os que hai, son de colegas.

23.4.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local

    

 Este xoves tivo lugar a fase local da Olimpíada Matemática Galega de 2022, dirixida a alumnos de 1º e 2º de ESO. E como foi nos últimos anos "normais", a sede en Ferrol é o (ben coñecido por vós) IES Canido, o meu instituto de toda a vida, como alumno e como profesor.

Chegaron 31 alumnos de centros de Ferrolterra, entendendo Ferrolterra non como a comarca de Ferrol senón como o aglomerado de Ferrol, Eume e Ortegal, aínda que como é comprensible, a maioría dos cativos procedían de Ferrol e Narón. Pero houbo tamén de Mugardos, San Sadurniño ou tan lonxe como Ortigueira. Por desgraza, fallou un instituto das Pontes, e algún centro que adoita participar, como o CPI As Mirandas, de Ares, ou o IES As Telleiras, de Narón.

A xornada vai así: os participantes son convocados ás 10:30, colocámolos no salón de actos do centro, explicámoslles como funciona o sistema para que as probas sexan anónimas, anímoos un chisco, que a estas alturas hai moitos nervios, dígolles que neste caso participar xa é un logro, pois se están aquí iso significa que nos seus centros os profesores teñen confianza neles, etc. E ás 11:00 repartimos os 5 problemas cos que pelexarán ata as 13:00, momento no que os despedimos cos diplomas de participación.

E non o dixen aínda: todo isto organizado por Agapema, basicamente o que fago eu é estar cos cativos esas dúas horas e media.

Como xa fixen hai uns anos, cando estaba no IES Punta Candieira e esta fase local celebrábase no IES Carvalho Calero, vou dedicar unhas entradas aos problemas que caeron nesta fase.

Velaquí o primeiro:

Problema 1

a) Cantos triángulos isósceles de 72 cm de perímetro poden construírse de xeito que as lonxitudes dos lados sexan números naturais?

b) Clasifica os triángulos anteriores en función dos seus ángulos (acutángulos, rectángulos e obtusángulos).

Aínda que non o vou resolver, querería facer uns comentarios a este problema.

Temos que ter en mente o alumnado ao que está dirixida a olimpíada: rapaces que comezan o 3º trimestre de 2º de ESO. Pode ser que non visen en Matemáticas a desigualdade triangular? Pode ser. Eu apostaría máis a que a viron (daquela maneira) en Educación Plástica e Visual de 1º, no contexto da construción de triángulos dados 3 datos. Co cal, non me sorprendería ver solucións que incluísen como triángulo isósceles un que tivese de medidas 1-1-70. En calquera caso, está ben incluído o problema.

Non me parece axeitado, en troques, o apartado b, que depende exclusivamente de que visen nas aulas un contido algo accesorio, e difícil de explicar a este nivel, que se nun triángulo de lados $a \ge b \ge c $, sucede que $a^2 >b^2+c^2$, entón o triángulo é obtusángulo, se $a^2<b^2+c^2$, entón é acutángulo.

Un último apuntamento: que sucederá co triángulo 24-24-24? A maioría incluirá este triángulo como isóscele? Ou serán máis euclidianos que seguidores da clasificación xerárquica? Mirade tamén a entrada do nunca suficientemente enlazado Cut the Knot: Triangle Classification


Ai, non, outro máis: haberá algún alumno que conteste ao apartado a) cun lacónico 17?