Un fracaso de clase

   

Hoxe comecei a unidade de Probabilidade en 3º de ESO. Os que desen algunha vez na ESO saberán que isto implica cambios na orde habitual das unidades, pois Estatística e Probabilidade é o último bloque e non é raro que nin se chegue a el. Pois ben, esta é a crónica dunha clase que non funcionou. Quen sabe se a idea, non moi orixinal, pode servir a algún compañeiro.

Teño por costume na ESO comezar todas as unidades do xeito máis informal que dou atopado, propoñendo problemas que poidan ser susceptibles dun ataque intuitivo, pero que ao final da unidade teñamos ferramentas para resolver de xeito "canónico". Deste xeito, non é estraño que nas miñas clases propoña un problema de divisibilidade antes de falar de múltiplos e divisores co gallo de introducir o marco no que imos traballar e tamén para contrastar co final da unidade, cando os alumnos teñan aprendido os novos métodos.

Seguindo esta tradición, a miña idea era comezar a unidade de Probabilidade facendo preguntas para facer agromar as intuicións e a linguaxe informal que usan os alumnos neste contexto. Despois dunha pequena introdución sobre a praga das casas de apostas, onde un alumno discutiu o feito de que a ludopatía existise( isto non contribuíu desde logo ao ambiente da clase e tiven que apelar á DSM-V, o que xa me levou tempo e humor), presentei a seguinte imaxe:

Rigorosamente na lingua permitida polo decreto 79/2010

Non é a primeira vez que fago unha actividade semellante, aínda que desta volta lembrei a idea pescudando nos materiais do grupo epiSTEMe da universidade de Cambridge. Se botades unha ollada á lección proposta sobre Probabilidade, veredes que hai un feixe de ideas interesantes, mais pouco susceptibles de levar a unha aula con columnas de dúas mesas, polo que fun realista (ou resigneime a iso, como desexedes) e só pensei en levar este starter. A mecánica é sinxela: os alumnos teñen que facer unha estimación rápida sobre algúns experimentos e suscesos propostos polo profesor. Para non complicar as cousas e non introducir a confusión co feito de que os experimentos non fosen obviamente aleatorios, optei por non coller datos do IGE(nunha xornada de formación hai como 10 anos argumenteille á relatora xusto isto para non utilizar indicadores galegos en probabilidade). E restrinxín os experimentos ao lanzamento de moedas, dados, e á colocación ao chou de xente en ringleira. Máis ou menos, e non sei en que orde, foron:

No lanzamento de dúas moedas, A="saen dúas caras", B="saen resultados iguais nas dúas",C="sae polo menos unha cara"; no lanzamento dun dado, D="sae un 5"(pensando no parchís), E="a cara superior e a inferior suman 7"(tirada dos devanditos materiais); na colocación de tres persoas A, B e C en ringleira, F="A e B van seguidos en calquera orde"

Insistín en que tiñan que estimar onde colocar na escala de máis arriba os sucesos máis ou menos a ollo, imaxinando que se observaban moitas veces eses experimentos. Pois ben, vaiamos aos puntos nos que fracasou o plan:

• O primeiro, esencial, e imponderable: á maioría non lle interesou a actividade. Isto por si mesmo xa invalidaría todo o demais, con certeza.
• Para continuar, houbo alumnos que non entenderon a mecánica. Algúns agardaban que eu lles dixese onde colocar as letras.
• Por outra banda, houbo alumnos que non estimaron, senón que calcularon de modo exacto a probabilidade en varios dos sucesos, polo que esta actividade xa lles quedaba pequena(mixed ability classes, chámanlle no mundo anglosaxón). Con isto certamente non contaba, aproveitei para valorar esa capacidade sobre a marcha.

Tiña pensados máis sucesos e experimentos, mais nin houbo tempo material nin vin a oportunidade axeitada.

Agora que xa fixen terapia, en que lugar do segmento poríades vós o suceso "os alumnos prefiren que lles dea unha clase de definicións/propiedades/exemplos"? 

Por sorte, hoxe tamén tiven unha clase de introdución ao M.C.D. e o m.c.m. en 1º de ESO e unha de introdución ás Ecuacións e Inecuacións en Matemáticas I, onde expliquei a fórmula da solución da ecuación de 2º grao por petición de moitos alumnos e vin certo éxito nas Fórmulas de Cardano-Vieta. Se chego a ter dúas clases consecutivas de 3º de ESO non sei que sería de min.

Number Sense

Onte colleume o timbre comezando o apartado de Notación Científica en Matemáticas B de 4º de ESO (si, son deses profesores...) polo que improvisei sobre a marcha algo para comezar. Como creo que pode ser útil para comprobarmos o sentido numérico dos alumnos, déixooo por acó.

Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^5}$

   

Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^{-2}}$ e $\small{10^{-4}}$

   

No momento non se me ocorreu que tamén sería interesante colocar números como $\small{5\cdot 10^{4}}$ ,$\small{8'7\cdot10^{-2}}$ ou $\small{-2'1\cdot10^{-3}}$, cousas de improvisar...

Para rematar: a actividade é axeitada para introducir a unidade de potencias de expoñente negativo ou notación científica cando non sexa a primeira vez que a vexan os alumnos. Tendo en conta que estas cousas xa foran traballadas en Matemáticas e Tecnoloxía en 2º e 3º, en Ciencias Naturais en 2º e 3º e en Física e Química en 3º, os alumnos xa terían que ter claro o concepto de orde de magnitude. 

Máis problemas de Álxebra sen ecuacións

Hai dúas semanas o fabuloso blogue Futility Closet compartiu un fermoso problema:

John e Mary viaxan de Westville a Eastville. John conduce as primeiras 40 millas, e Mary conduce o resto do camiño. Pola tarde volven pola mesma ruta, John conduce o primeiro tramo e Mary conduce as últimas 50 millas. Quen conduciu máis distancia, e por canto?

Automaticamente o lector identifica os elementos comúns a este tipo de problemas de traxectos de ida e volta. Mais a pouco que un cavile, achará algo en falta: non hai mención a velocidades nin tempos... quizais falte algo?

Déixovos esta envolvente para que pensedes...

En realidade non falta nada no problema, o que sucede é que a distancia total entre Westville e Eastville é irrelevante. A solución que achega Futility Closet fai uso deste feito, mais o meu obxectivo na aula era ben outro: propuxen este problema como starter da unidade de Álxebra en 2º de ESO para que fose patente que, ás veces, hai problemas que teñen unha solución difícil de atopar de xeito non alxébrico. E que a solución alxébrica resulta máis "natural".

Observade a solución xeométrica vs. a solución alxébrica:

Simple transcripción dos datos

Para axudar á visualización, é útil debuxar un par de segmentos:

Por se alguén non o vía xa

Cal é o problema desta solución?

...Que non queda claro que se facemos o debuxo distinto (por exemplo con máis distancia entre as dúas cidades) sirva o razoamento. Por isto é interesante debuxalo polo menos outra vez, para convencer aos escépticos. Na miña aula, na que algún alumno atopou solucións puramente aritméticas(onde se vía con palabras este razoamento xeométrico), houbo quen preguntou que pasaría se a distancia entre as cidades, Lugo e Ourense alí, fose xusto de 50 millas, curiosamente a base da solución de Futility Closet.

A solución alxébrica, como é habitual, dá máis do que agardamos:

Se a distancia entre as cidades é L, á ida John fai 40 millas e Mary L-40; á volta Mary fai 50 e John L-50. En total John fai:

$40+L-50=L-10$

e Mary

$L-40+50=L+10$

E a diferenza entre os dous condutores é

$L+10-(L-10)=20$

Que nos di a Álxebra? Que L é unha variable totalmente "xorda": non inflúe o seu valor na diferenza entre as distancias que conduciron Mary e John. En consecuencia tampouco se pode calcular.

Unha pregunta interesante que xurdiu ao ver isto foi: Profe, hai algún método que non saibamos nós que nos diga canto vale L? Como analoxía o primeiro que se me ocorreu (pensade que tiña dentro da aula a un técnico fedellando nos enchufes do armario Abalar) foi pedirlles a todos que collesen un número x calquera (pero manexable, p.ex. 7) e efectuasen os seguintes pasos:

• Eleva ao cadrado o teu número: x² -  49
• Colle os dous números contiguos a x, x+1 e x-1: Multiplícaos: (x+1)·(x-1) - 6·8 = 48
• Resta os dous resultados anteriores: x²-(x+1)·(x-1) - 49-48 = 1

Non fixen os cálculos alxébricos no encerado, só co 7, e cada alumno fixo as súas contas, e todos viron que chegaban a 1. A pregunta conseguinte ao alumno que preguntou estaba cantada: "Se me dis que che deu 1, podo adiviñar dalgún xeito que número escolliches ao comezo?"

A eventual vindeira entrada sobre starters de Álxebra vai alén desta: haberá un problema que non se dea resolto sen Álxebra?