Preguntas sinxelas en Xeometría

 Hai unhas cantas cuestións xeométricas que nunca utilicei nas aulas debido a que non sei aínda como dar forma ás actividades de introdución. Vexamos de que estou a falar:

• Pode que lembredes unha aplicación/xogo que apareceu hai anos na que había que debuxar a pulso unha circunferencia co rato. Cando un remataba, a aplicación dicíalle como de boa era a tentativa. Compartín o xogo e o meu debuxo nesta entrada de hai 8 anos. Confeso que tardei un anaco en lembrar a app que era, pois buscando en google saen varias agora:

Draw a circle

Circular

E, finalmente, a que compartira daquela:

Circle Drawing

Xa comentara naquela entrada o xeito que tiña o gatiño ese de avaliar como de boa era a circunferencia: mediante a desigualdade isoperimétrica. Draw a circle só proporciona a %, sen indicar en que se basea, pero facendo probas intúo que fai o mesmo que Circle Drawing.

En troques, Circular utiliza varios factores: número de puntos trazados(non sei se aí inflúe máis o rato que o teu pulso), radio da circunferencia, suma de erros, erro/punto e desequilibrio. Este xeito de avaliar presenta unha dificultade obvia: como calcula o centro da circunferencia/radio, para despois calcular o erro en cada punto trazado respecto ao punto ideal? Resumindo, como determinar a "circularidade" dunha (tentativa de) circunferencia?

Todo isto lévame a pensar que quizais, este exemplo ben fermoso non é máis axeitado para unha clase de xeometría elemental. E por iso pensei en rectificar a figura tratada, e ir complicando o asunto:

Comecemos polo máis sinxelo, como de cadrado é un rectángulo calquera? Claro abondo, non si? Que sexa un rectángulo implica que os ángulos xa son os correctos, só hai que centrarse nos lados, e son os dous enfrontados iguais, co cal podemos intuír a resposta máis previsible: canto menor sexa a diferenza entre (en valor absoluto?) entre os dous lados iguais, máis cadrado será o rectángulo. Pero ademais desta resposta simple e efectiva, haberá algunha resposta alternativa? Algo relacionado coa circunferencia circunscrita? E coas diagonais, tanto coa súa lonxitude como co ángulo formado cos lados? Quizais son optimista de máis? 

Máis complicado, máis factores: como determinar como de cadrado é un paralelogramo? Aquí o obstáculo é obvio, por un lado hai que endereitar o lado/achegar a 90º un ángulo(os dous), por outro hai que igualar os lados. Se é demasiado evidente como actuar neste caso, podemos choutar a como determinar como de cadrado é un cuadrilátero? En caso de bloqueo, parar en etapas intermedias do estilo como determinar como de cadrado é un rombo, como de rectángulo é un romboide, etc.

Pasemos á seguinte cuestión:

• Se chamamos "sumar" dúas figuras planas a pegalas por un lado ou un vértice (aínda que os lados escollidos non sexan iguais), cales das figuras elementais "se reproducen" sumándoas? Por exemplo, dá igual como poñamos dous cadrados (sempre que non os superpoñamos se fosen iguais), a súa suma non vai ser un cadrado. Mentres que dous rectángulos si poden sumar un rectángulo, dous romboides un romboide, etc. Que tipo de figuras elementais son "reproducibles"? Teñen algo en común? Podes atopar algunha figura cóncava reproducible?

A seguinte cuestión asaltoume un día que coloquei unha pota na vitrocerámica sen que compartise centro co fogón:

• Se temos unha circunferencia que deixa visible un arco dunha curva por embaixo, como podemos saber se ese arco pertence a unha circunferencia tamén? Achega información que coñezamos que a curva completa sexa unha circunferencia? Ou tanto ten, e chega co arco só? Aínda máis: como contestaríamos a pregunta de se 4 puntos soamente están na mesma circunferencia?

Pareidolia minimalista

E agora, preguntas inocentes que non o son en absoluto, pero que sempre quixen compartir por aquí:

• Se che dan as dimensións de dous rectángulos, como saber se un cabe dentro do outro? Cabe un rectángulo 6x5 nun rectángulo 8x4? É suficiente, por tanto, que o rectángulo que queremos meter no outro teña menor área? Se xogamos con rectángulos grandes pero con altura pequena, veremos que non. Déixovos ligazón a un fermoso artigo do Mathematics Magazine, Rectangles in Rectangles, onde dan condicións necesarias e suficientes. Velaquí o comezo: 

Pinta de sinxelo non ten

De onde saíu este problema? Pois do análogo para o sospeitoso habitual da xeometría plana, o triángulo, do fabuloso One Hundred Problems in Elementary Mathematics(1964), de Hugo Steinhaus:

• Se che dan as dimensións de dous triángulos, como saber se un cabe dentro do outro?

 Este problema foi resolto en 1993 por K.A.Post nun artigo en Geometriae Dedicata. Cal é a vosa intuición: será máis sinxela a solución para rectángulos ou para triángulos? Que inofensivos se ven agora os cadrados e os círculos, non si?

Do artigo de Post

Como colofón, é ben curioso que soubese destes problemas bidimensionais moito tempo despois de coñecer que un cubo pode pasar por un furado practicado nun cubo do mesmo tamaño. Das tapas rectangulares dos sumidoiros supoño que xa saberedes, non?

Como non resolver un problema

 Esta mañá lendo cousas de Matemáticas e ensino tiña de fondo vídeos de youtube, e o algoritmo fixo que aparecese como recomendado un vídeo da canle Mind your Decisions, de Presh Talwalkar. Usualmente non vexo eses vídeos, pero teño entrado no blog cando vexo algún problema ou exercicio técnico prometedor, que foi xusto o que sucedeu hoxe. E que pode ocorrer cando vexo un exercicio técnico que me soa familiar? En efecto, cagala varias veces. Seguídeme neste percorrido repleto de fracasos parciais:

O problema era este(poño a imaxe enlazada e transcribo a LATEX por se acaso nun futuro a ligazón está rota):

Isto resólvoo eu en medio minuto...(spoiler: NON)

Se a e b cumpren que

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Encontrar o valor de $$\frac{9}{5}(a+b)$$

O primeiro que pensei foi "ha, a ver que sinxelo é para min". E procedín a facer desaparecer as raíces para evitar a molestia de escribilas, $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$ Restemos esas ecuacións...

$$x^3+y^3-y^2 x -x^2 y=1 \rightarrow x(x^2-y^2)+y(y^2-x^2)=1 \rightarrow$$

$$x(x^2-y^2)-y(x^2-y^2)=1 \rightarrow (x-y)(x^2-y^2)=1$$

E aquí, de memoria, intuín o que viña se sumaba as ecuacións, 

$$(x+y)(x^2+y^2)=365$$

E, confeso, que como non vin ningunha saída, pensei en desenvolver os produtos e quizais sumar ou restar os membros...

Experiencia abondo para non teimar 

Aí tiven unha crise de fe, e pensei en resolver o exercicio aínda que fose dun xeito feo, e xa volvería ao rematar ao comezo para resolvelo de xeito elegante. E comecei, avergoñado, como se fose un sistema das clases da ESO, despexando:

$$\begin{cases}  a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}=183 \\ b a^{\frac{1}{2}}+a b^{\frac{1}{2}}=182 \end{cases} $$

$$b^{\frac{3}{2}}=183-a^{\frac{3}{2}} \rightarrow b= \sqrt[3]{(183-a^\frac{3}{2}}$$

Chegado aquí, mirei para a outra ecuación, $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$ e pensei como despexar tamén b en función de a, co obxectivo de igualar as dúas expresións. Incrible ata onde cheguei:

$$b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$$

Que pensei? Pois considerar a ecuación como cuadrática en $\sqrt{b}$ con coeficientes en a:

$$\sqrt{b}=\frac{-a \pm \sqrt{a^2+4\sqrt{a} \cdot 182 }}{2\sqrt{a}}$$

E vin que ía saír unha ecuación de 6º grao, e por aí xa non ía pasar...

E agora que? Pois de súpeto pensei... E funcionará dividir as ecuacións? Non sería moi elegante, pois vai aparecer unha fracción fea moi preto de 1, pero outra cousa...

$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{183}{182}$$

O que vén xa o intuídes:

$$\frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(b\sqrt{a}-a\sqrt{b})}{b^2a-a^2b}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a^2b-a^2\sqrt{ab}+b^2\sqrt{ab}-ab^2}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{ab(a-b)-\sqrt{ab}(a^2-b^2)}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{(a-b)\sqrt{ab}[\sqrt{ab}-(a+b)]}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}-1=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{365}{182}$$

Outra encrucillada. E agora?

Pois como un xa ten uns anos, ve as funcións simétricas automaticamente, polo que fixen o cambio $s=a+b, p=\sqrt{ab}$

$$\frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182}$$

Claro que cunha soa ecuación non fas nada, polo que había que fedellar para atopar outra, e con certa esperanza, sumei as dúas:

$$(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})=365$$

Se quería usar a estratexia previa, necesitaba escribir esa suma de radicais como función de s e p, o cal non é demasiado difícil:

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=s+2\sqrt{p}$$

Polo que cheguei a:

$$s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365$$

Xa tiña dúas ecuacións en s e p:

$$\begin{cases} \frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182} \\ s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365\end{cases}$$

Xa vai quedando pouco, despexei s na 1ª ecuación e utilicei a expresión na 2ª:

$$\frac{365\sqrt{p}}{182} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=365$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=182$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{729 \sqrt{p}}{182}}=182 \rightarrow p \cdot \frac{729\sqrt{p}}{182}=182^2$$

$$p \sqrt{p}=\frac{182^2}{729} \rightarrow p^\frac{3}{2}= \frac{182^3}{729}$$

$$p^3= \frac{182^6}{9^6} \rightarrow p=\frac{182^2}{9^2}$$

$$s=\sqrt{p} \frac{365}{182}=\frac{182}{9}\cdot \frac{365}{182}=\frac{365}{9}$$

Agora só quedaba atopar o valor de a e b utilizando a ecuación de 2º grao:

$$t^2-st+p=0\rightarrow t^2-\frac{365}{9}t +\frac{182}{9}=0$$ Este cálculo vóuvolo aforrar, e obter:

$$a=\left( \frac{14}{3}\right)^2, b=\left( \frac{13}{3}\right)^2$$

e a solución simétrica, claro.

E o resultado solicitado polo exercicio é $\frac{9}{5}(a+b)=73$

Pois vale.

Mirei a duración do vídeo, nin 6 minutos. Non pode ser. Que pasei por alto? Mirei outra vez

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Fixen outra vez o cambio $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$, agora que xa sabía que entón $x=\frac{14}{3}, y=\frac{13}{3}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$

E pensei "non pode ser, vai ser a idade, será que non vin veces a identidade":

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$

Agora xa é unha trapallada, sumando a 1ª ecuación máis o triplo da 2ª:

$$(x+y)^3=729 \rightarrow x+y=9$$

$$xy(x+y)=182\rightarrow xy=\frac{182}{9}$$ 

E o que queda xa o faría utilizando as funcións simétricas. Nun minuto. Algún de vós viu esta solución cando pasei rozando ao comezo da entrada? Como cando o protagonista dunha película non dá atopado o quid nunha situación? Pensade que peor sería que me gravase para que me vísedes fracasar en tempo real, como fixo Timothy Gowers varias veces. 

Seguídeme para ver máis desastres como este.

Unha actividade elemental para 1º de ESO

O outro día observei no contaquilómetros do coche que levaba 036452 quilómetros. Non é a primeira vez que reparo nestas situacións, mais desta levoume a pensar en como traducir a miña curiosidade por cuestións similares a unha actividade de aula.

Se seguides contas famosas no mundo do edutwitter-sección Matemáticas teredes visto iniciativas como a de atopar matrículas de multiplicar de tocamates (chantade esta pescuda e veredes), que é interesante, supoño, para traballar o cálculo mental(ou como insiste Pedro Ramos, cálculo pensado). Coa imaxe do seu blog non é necesario explicar máis:

Pode que sexa interesante buscar regularidades nesta imaxe

Pero para a aula de 1º de ESO (que felizmente volverei dar o ano que vén, probablemente) coido que é mellor outro tipo de actividade, unha actividade que fomente unha destreza que, confeso, non adoito fomentar. Coméntovos antes algunha actividade que si é recorrente na aula de 1º:

Cun número como 36452, omitamos o 0 inicial que non vai ter ningún papel aquí, é habitual pensar en:

• É múltiplo de 3? 

Isto é un exercicio automático para quen atenda en clase. Poden dividir entre 3 e ver que dá resto 2; poden utilizar o criterio tradicional e ver que 3+6+4+5+2=20 non é múltiplo de 3; poden utilizar o criterio pero riscando múltiplos de 3, 3, 6, 4+5 e quedar co 2; poden ver directamente que 36450 é múltiplo de 3, etc.

Cambiando 3 por outro número que non teña un criterio de divisibilidade dos estudados,

• É múltiplo de 99?

Este número é relativamente común nas tarefas das miñas clases pola súa factorización, $99=3^2 \cdot 11$, que reduce o exercicio ao mesmo có apartado previo. Coñecendo os criterios do 9 e do 11, é un simple exercicio de práctica. Se o alumno non os domina, ou non os ve, sempre pode facer a división.

Pero máis interesante é preguntar:

• É múltiplo de 37? (escollo esta base para que sexa áxil) En caso contrario(=non vai ser múltiplo de 37), cal é o seguinte múltiplo de 37 despois de 36452? Ou mellor aínda, cal é o múltiplo de 37 que está máis preto de 36452? 

Por sorte non se estuda un criterio de divisibilidade para o 37, polo que o exercicio resulta máis interesante. O camiño máis obvio para moitos alumnos consiste en dividir 36452 entre 37 e mirar para o resto. Como as calculadoras actuais fan divisións con resto, obtemos rapidamente, C=985, R=7.

E vemos que 36452-7 é múltiplo de 37, polo que o seguinte múltiplo de 37 é 36452-7+37, ou directamente, 36452+30. Pero pode ser que algún alumno vexa que 36452 está preto de 37000, e a partir de aquí, ou ben razoar sobre 37000-36452=548(isto non o vin moitas veces nas aulas), ou ben traballar sobre 37000-370=36630, 36630-37·5=36445, e quedamos a 7 do número da pregunta( esencialmente isto si o vin nas aulas, e case sempre en perfís de alumnado moi mangante)

Ata aquí, nada novo. Imaxino que este tipo de exercicios fácemolos todos nas aulas de 1º de ESO. Ata pode que nalgún libro de texto inclúan todas estas posibilidades, aínda que seguramente sen pretender buscar camiños distintos, xa falei deste fenómeno por aquí.

Vaiamos ao que pensei eu pola AP-9 ao ver a quilometraxe 036452, que aviso, pode que xa o fagades todos e sexa eu o último que o pensou. Pero claro, non tedes un blog.

Os 6 números que aparecen son case consecutivos, temos o 0 desconectado e logo 2-3-4-5-6 desordenados. A pregunta que me asaltou automaticamente conducindo foi: cantos quilómetros faltan para que o número do display conteña 6 números consecutivos? Hai cantos quilómetros sucedeu?

Podemos enlear máis a pregunta, pero basicamente trataría de razoar sobre a notación posicional. 

O exercicio non é especialmente difícil para 1º de ESO, pero ten unha cousa boa, á que me refería ao principio: serve para que os alumnos teñan que explicar por que o número que atoparon efectivamente é a solución ao exercicio, cousa que non sucede con ningunha das tarefas comentadas previamente. E como haberá solucións trabucadas, serve tamén para que modifiquen explicacións erróneas, que parezan correctas nun primeiro momento pero que caian pola evidencia de ver un número con 6 cifras consecutivas menor que o atopado polo propio alumno.

Tedes algunha pregunta elemental axeitada para 1º de ESO que non leve a exercicios mecánicos?

Agardo.

Un problema do Tournament of the Towns

Un aviso antes de comezar: nunca collades problemas de olimpíadas rusas ou do leste de Asia coa intención de pasar dez minutos pensando un chisco. Non vai saír ben,

Non sei como acabei na web do Tournament of the Towns, concurso de problemas de dificultade fabulosa que coñezo desde os tempos nos que a principal (única?) compilación de problemas de olimpíada na web era a web de John Scholes(a ligazón leva a unha copia da web orixinal, extinta). Sexa como for, abrín os problemas do Senior O-Level, e atopei este enunciado elemental, cercano a cousas que se dan no curriculum nos institutos. Observade:

Os tres polinomios cuadráticos P(x), Q(x) e P(x)+Q(x) teñen coeficientes reais e raíces dobres. Está garantido que as raíces coincidan?

Como vou tendo unha idade e unha experiencia con problemas(en concreto, en non dalos resolto), xa usmei que non ía ser tan sinxelo como aparentaba. Porén, sendo contido curricular, contei con ver rapidamente onde radicaba a dificultade. E comecei a sumar polinomios cuadráticos con raíces dobres.

E nada. Nin arre nin xo.

E abrín Geogebra, escollín unha notación e comecei a mover parábolas tanxentes ao eixe X

Tournament of the Towns Senior O-Level Fall 2020

E funme convencendo de que o meu pálpito inicial non ía funcionar. Se queredes resolver o problema vós mesmos, poño a xkcd antes da feira alxébrica que vai vir despois.

Forgot Algebra

Escollín notación, $P(x)=p(x-a)^2, Q(x)=q(x-b)^2$ e $P(x)+Q(x)=r(x-c)^2$, e igualei os coeficientes respectivos:

$$\begin{cases} p+q=r \\ -2pa-2qb=-2rc \\ pa^2+qb^2=rc^2 \end{cases}$$

simplificando

$$\begin{cases} p+q=r \\ pa+qb=rc \\ pa^2+qb^2=rc^2 \end{cases}$$

Elevando ao cadrado a segunda ecuación, 

$$(pa+qb)^2=(rc)^2 \rightarrow p^2a^2+2pqab+q^2b^2=r^2c^2$$

Escribindo $r^2c^2=r \cdot rc^2$ vemos que se pode expresar como o produto de $p+q$ e $pa^2+qb^2$:

$$p^2a^2+2pqab+q^2b^2=(p+q)(pa^2+qb^2 \rightarrow$$ $$p^2a^2+2pqab+q^2b^2=p^2a^2+pqb^2+pqa^2+q^2b^2 $$

$$2pqab=pq(a^2+b^2) \rightarrow pq(a^2+b^2-2ab)=0 \rightarrow pq(a-b)^2=0 \rightarrow a=b$$

Polo que as raíces dos dous polinomios p(x) e q(x) efectivamente coinciden. Obviamente isto implica que a raíz dobre da súa suma tamén coincide.

Choio virado, seica.

Pois non. Non hai algo raro nesta solución? Moito introducir variables... que logo non se usan?

Fagámolo doutro xeito, logo. Usemos outra vez $P(x)=p(x-a)^2, Q(x)=q(x-b)^2$, sumémolas:

$$P(x)+Q(x)=(p+q)x^2-2(pa+qb)x+pa^2+qb^2$$

Que ten que suceder para que esta función teña unha raíz dobre? Pois claro, o discriminante ten que ser nulo:

$$\Delta=4(pa+qb)^2-4(p+q)(pa^2+qb^2)=$$ $$4(p^2a^2+2pqab+q^2b^2)-4(p^2a^2+pqb^2+pqa^2+q^2b^2)=$$ $$ 4pq(2ab-a^2-b^2)=0 \rightarrow a=b $$

do mesmo xeito que antes. Non é máis pulcro este xeito?

Aínda así, non quedei contento con este enfoque tampouco. Fáltalle algo para ser redondo.

E ti, amable lector, ves algo que eu non vexo? Feel free to leave a comment.

Encrucillado máis ou menos random

Como se estivésemos nun curso de formación de mediados dos anos dous mil, deses nos que os docentes aprendían a usar JClic ou Hot Potatoes(never forget), seguindo un blog de Matemáticas acabei nunha web de creación de encrucillados, sudokus e máis pasatempos. E saíu isto nunha hora e pouco, obviamente sen ningunha pretensión. A ver como queda: