3.12.16

Por que resultan tan complicados os logaritmos?


Boromir tamén lle preguntou ao seu profesor cando ía usar os logaritmos

Lamento confesar que, aínda que coido que sei por que resultan difíciles en 4º de ESO (e tamén en bacharelato), non teño ningunha idea que vaia solucionar este problema, alén de simplemente non traballalos ao nivel axeitado(estratexia habitual en certos ámbitos: se é difícil, omíteo...)

Nos anos que levo traballando non adoptei conscientemente moitas crenzas, porén podo recoñecer as seguintes:
  1. Calquera definición matemática que introduza unha frase subordinada resulta difícil.
  2. Calquera notación na que apareza máis dunha variable resulta difícil.
  3. Calquera concepto que utilice conceptos anteriores que non quedasen transparentes resulta difícil
 Agora observade o deostado logaritmo:

$\log_a b$ é o expoñente ao que hai que elevar a base a para obter o número b

É dicir: 
$\log_a b=n \iff a^n=b $

Velaí:
  1. Frase subordinada $\checkmark$
  2. Máis dunha variable $\checkmark$
  3. Conceptos anteriores escuros $\checkmark$
Queda claro que ten que resultar difícil, non si?

A secuencia típica inspirada pola estrutura matemática do concepto leva a que, despois de definir o concepto e ver exemplos, ás veces certamente complicados como
$$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{81}$$
, vexamos as propiedades básicas, que son as que fan interesante o logaritmo, pero que se converten nunha táboa de receitas a seguir en cálculos intricados.

Inciso: que fai realmente interesante ao logaritmo? Na miña opinión, dúas cousas: o seu uso imprescindible posterior dentro das propias Matemáticas e a súa aparición noutras ciencias. O problema coas aplicacións(de novo na miña opinión) radica en que a modelización das situacións é demasiado complicada e que o seu ámbito natural é o das relacións funcionais, xeralmente posterior no curso,e para máis inri, adoitan usar a función exponencial de base o esotérico número e.

Volvendo ao tema, un dos exercicios puramente técnicos que poño habitualmente nas clases de 4º é o seguinte:
  1. Calcula $\log_a a^x$
  2. Calcula $a^{log_a x}$
Mentres que o primeiro é inmediato para a maioría dos alumnos, aínda que pola razón equivocada, o segundo é para moitos virtualmente imposible de desenlear, nin cambiando as letras por números(truco que funciona parcialmente).

Curiosamente, a mellor estratexia que atopei para facer ver o segundo coincide coa que utilizaba o coñecido profesor Ricardo Moreno segundo expón Cibrán en Problemas de Alcuíno: repetir o dito.

Nas clases insisto moito en que diante do cálculo dun logaritmo sempre temos que facernos unha pregunta que comeza por "a canto hai que elevar a base para obter o número?" (ante calquera cálculo hai que facerse unha pregunta, tampouco é a gran cousa). Na primeira das cuestións que propoño, os alumnos xa teñen esquecido o concepto e argallan coa importante propiedade de que os expoñentes "saen fóra multiplicando". Pero facerse a pregunta, en voz alta mellor, é esclarecedor: "A canto hai que elevar a para obter $a^n$?"(facepalm dos alumnos). Unha vez entendido isto, vén a repetición de preguntas para a segunda:

Profesor: "Quen/que é $log_a x$?"
CHORUS: "O número ao que hai que elevar a para obter x" (a resposta comeza sendo tímida)
Profesor: "Quen hai que elevar?"
CHORUS: "a"
Profesor: "Ou sexa, que se elevamos a a ese expoñente, obtemos...?"
CHORUS: "x"
Profesor: "..."
Repeat

A receita consiste en facer varias iteracións deste proceso, de tal xeito que os alumnos van caendo do burro(os que teñan a cabeza posta na clase, claro). E como apuntei antes, axuda que eles mesmos se fagan a pregunta en voz alta.


É incrible o pouco que sei do traballo que fago, e dáme que non son o único amateur no choio.

2 comentarios:

  1. Eu tamén lle meto unha táboa cunha chea de números enteiros nunha columna e a potencia de base dous dos mesmos para que fagan produtos e divisións desas potencias. Pensei que tamén viría ben facelo cunha folla de cálculo e cambiar a base 2 por outras.
    Coincido en que é un tema que resulta moi difícil. Vexo que o alumnado desconecta pronto da clase cando se trata. Normalmente penso en como tomei eu a cuestión cando a estudei. Neste caso non podo xa que só me explicaran un pouco a final de curso en 2º de BUP, e como non entraba no exame, nin debín copialo. Ao curso seguinte aparecía ao tratar a función logarítmica, a súa derivada, nalgúns límites. Así que fixen toda a carreira sobre a idea funcional do logaritmo. Só me preguntei o que era cando me vin no trasunto de ter que explicalo.
    Así que, un par de ideas. Iso de non tocar temas do curriculum non ten por que ser un desastre. No canto de explicar cousas "que non entran no exame" case é mellor ir dar un paseo polo patio.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Pois a miña experiencia é curiosa: aínda que en 1º de BUP xa vira a proba da irracionalidade da raíz de 2, lembro que vin as demostracións das propiedades dos logaritmos como as primeiras demostracións xenuinas, non sei moi ben por que. Pouco durou, coido que ata as trigonométricas. E esas só ata COU e os teoremas do Cálculo...
      En certo sentido, aproveito os logaritmos principalmente para que collan soltura alxébrica, para o que chanto en canto podo unhas cantas variables e busco que vexan como atopar as relacións que as unen, como reescribilas, etc.

      Delete