Na miña compulsiva filantrópica pescuda de problemas na rede, acabei na web dunha academia/editorial/non sei ben que, Zanichelli, que mantén un arquivo das probas da Maturità italiana, o equivalente á nosa flamante(again) PAU. Para os interesados: a denominación oficial é Seconda Prova di Matematica.
Nesta proba hai dous problemas, dos que hai que facer un, e oito cuestións, das que hai que escoller catro(antes eran 10 e había que coller 5). Polo que vin, os últimos anos os problemas sempre tratan de análise, con certa tendencia cara ao xeométrico, cada problema adoita ter catro apartados arredor da mesma función/situación funcional; hai anos tamén podía aparecer algún problema puramente euclidiano, con cuestións tanto sintéticas como analíticas. Mentres que as cuestións versan, ademais de xeometría e análise, de probabilidade e combinatoria, aínda que en menor medida.
Deixando a un lado a ausencia da álxebra lineal, que si aparece no curriculum español, chama poderosamente a atención o tipo de exercicios de xeometría que inclúen, non restrinxidos á xeometría analítica lineal, é dicir, de rectas e planos no espazo. Dentro da analítica, tamén incorporan superficies esféricas, o que na práctica non suporía moito traballo extra aquí: basicamente consiste en manexar a expresión analítica e o feito de que o raio é perpendicular ao plano tanxente, tradución directa do que pasa en 2D. Pero o que é esencialmente distinto é a cantidade de cuestións de xeometría sintética que fan aparición, que requiren adoito certa intuición alén do rutineiro. Esta anomalía é a que me animou a saír das pseudovacacións(outro día igual falo da mesa redonda sobre o ensino das Matemáticas á que me convidaron o día 15) para escribir unha entrada no blog.
Porén, non me resisto a compartir o 2º problema da proba ordinaria deste curso, que marabilla:
 |
| A min con este diagrama xa me gañaches |
Aquí inclúo a cita, que en cada problema sempre hai unha:
«La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito» – attribuita a Platone
As gráficas $\gamma_1$ e $\gamma_2$ representan ás funcións f e g, definidas sobre $\mathbb{R}$ , con expresión analítica $$f(x)=p(x) \cdot e^{p(x)}, g(x)=q(x) \cdot e^{p(x)}$$, sendo $p(x)$ e $q(x)$ polinomios de grao 2.
a) Determinar os polinomios p e q usando a información que se deduce do diagrama, considerando que $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ é a abscisa dun punto estacionario de f e que $-\phi$, abscisa do punto A, é un cero de g.
b) Dado que $p(x)=x-x^2$, estudar a función f, especificando a función asíntota, a abscisa do punto estacionario e do punto de inflexión. Verificar que a recta $x=\frac{1}{2}$ é un eixe de simetría de $\gamma_1$. Determinar o rango de f e indicar, ao variar o parámetro k, o número de solucións da ecuación $f(x)=k$
c) Despois de demostrar que $q(x)=1-x-x^2$, verificar que $\frac{1}{\varphi}$ é o outro cero de g, e que o triángulo ABC é rectángulo. Demostrar que $\gamma_1$ e $\gamma_2$ teñen un único punto de intersección, e atopar as súas coordenadas. Considerando en $\gamma_1$ e $\gamma_2$, respectivamente, os puntos $P_1$ e $P_2$ coa mesma abscisa $x \geq \frac{1}{2}$, calcular a lonxitude máxima que pode ter o segmento $P_1P_2$.
d) Calcular á área da rexión R limitada por $\gamma_1, \gamma_2$ e o eixe de ordenadas. A continuación atopar o valor de $t \geq \frac{1}{2}$ para que a recta $x=t$ delimite con coas dúas gráficas unha rexión R' equivalente a R.
Que, moi competencial, non? Igualiño que o que propoñen na FESPM para España...
Pois agora alucinade coas cuestións que considero de xeometría sintética, aínda que algunha poida admitir un enfoque trigonométrico ou analítico:
- Dado un triángulo ABC, sexa M o punto medio do lado BC e sexan B' e C' dous puntos, respectivamente, no lado AB e no lado AC, de tal xeito que $AB'=\frac{1}{3} AB$ e $AC'=\frac{1}{3} AC$. Demostrar que, se os segmentos MB' e MC' son congruentes, tamén son congruentes AB e AC.
- O triángulo ABC é rectángulo en B. Demostrar que tal triángulo é isóscele se e só se a altura BH relativa á hipotenusa mide a metade que a hipotenusa.
- Os lados dun triángulo miden 6 cm, 6 cm e 5 cm. Tomando ao chou un punto P dentro do triángulo, cal é a probabilidade de que P diste máis de 2 cm dos tres vértices do triángulo?
- Dada unha circunferencia $\Gamma$, sexan $\angle{ACB}$ e $\angle{ADB}$ os ángulos que abranguen o arco AB na circunferencia, sendo AC paralelo a DB. Se O é o punto de intersección de AD e BC, demostrar que os triángulos ACO e BOD son isósceles e semellantes.
- Explica por que non existe ningún poliedro regular cuxas caras sexan hexágonos.
- Un triángulo ten área 3 e dous lados que miden 2 e 3. Cal é a lonxitude do terceiro lado?
- Unha folla de papel rectangular, de dimensións a e b, ten unha área de 1 m² e unha forma tal que, ao cortala pola metade (paralela ao lado máis curto), produce dous rectángulos semellantes ao orixinal. Cales son as medidas de a e b?
- Dado un tetraedro regular, a aresta é l e a altura, h. Determinar a amplitude do ángulo que forman l e h.
- Os centros das caras dun cubo forman un octoedro. É un octoedro regular? Cal é a razón entre os volumes dos dous corpos?
- Dados un triángulo ABC rectángulo en A, r a recta perpendicular en B ao plano do triángulo e P un punto de r distinto de B. Demostrar que os tres triángulos PAB, PBC e PCA son rectángulos.
- Sexa ABC un triángulo rectángulo en A. Sexa O o centro do cadrado BCDE construído sobre a hipotenusa, do lado oposto ao vértice A. Demostrar que O é equidistante das rectas AB e AC.
É evidente que teñen certa querenza polos triángulos rectángulos, pero a verdade, podo pasala por alto dada a beleza das propostas.
