24.11.11

Problema aritmético

O outro día puxen o seguinte problema nunha clase:

Cos cartos que tiña Carliños podería mercar 600 gramos de queixo ou 400 gramos de xamón. Pero decidiu usar os cartos para mercar exactamente a mesma cantidade de xamón e queixo. Cantos gramos mercou de cada cousa?

Por se alguén ten curiosidade, este problema está tirado literalmente da Olimpíada Brasileira de Matemáticas de 2008.
O problema pode (e pide claramente) ser resolto con álxebra. Pero no momento do curso no que estamos recorrer á álxebra non resulta inmediato.

Pero máis que o problema en si mesmo, o que quero salientar hoxe ten que ver co que tento transmitir nas clases. E que nas clases particulares non se pode facer por motivos de eficacia (non por outras moitas circunstancias das clases particulares).

Ás veces atopamos problemas que non podemos resolver.

En realidade, un comentario que fago nalgún momento ao longo do curso é que non dou resolto a maioría dos problemas que tento (isto, por certo, adoita ser realmente sorprendente para os meus alumnos).
E o problema de máis enriba é case imposible de resolver sen álxebra. Aos que o vexan inofensivo, recoméndolles botarlle unha ollada polo miúdo e tentar atopar a solución dun xeito sistemático, sen andar probando ao chou.

Na aula tentamos durante vinte minutos tirar conclusións sobre os datos do problema. Ao final os alumnos "botaron papas" co enfoque aritmético e tiven que levalos cara á álxebra. Polo menos, cando vexamos álxebra, verán que, ás veces, non queda outra que recorrer a ela.

10 comentarios:

  1. Cada gramo de jamón cuesta lo mismo que gramo y medio de queso. Si en la compra mixta propuesta sustituyeramos cada gramo de jamón por 1,5 gramos de queso obtendríamos 600 gramos de queso ya que no estaríamos alterando el precio del lote. Por otro lado esos 600 gramos son 2,5 veces la cantidad de queso que originalmente había en el lote mixto ergo el lote de jamón y queso se compone de 240 gramos de queso y 240 gramos de jamón (600:2,5=240).

    Creo que no he usado álgebra.

    Saludos.

    ReplyDelete
  2. Moi ben, Anonymous. Efectivamente así chegamos á metade da media harmónica de 600 e 400. Pero imaxina explicar esta solución a un grupo de 3º de PDC. O que quixen expoñer no post é que non hai que temer nin evitar os problemas que non podemos resolver. E centrarnos no proceso de razoamento. Por certo, moi ben explicada a túa solución.

    ReplyDelete
  3. 3º de PDC, 3º A o 3º B, tanto tiene. Mantener a un grupo de ESO cavilando la solución de un problema durante 20 minutos es ya un gran logro. Tú eres bueno, te lo digo con todo el respeto.

    Saludos de nuevo.

    ReplyDelete
  4. Graciñas Anonymous. Pero esa sensación que levas probablemente proveña do filtro que eu, seguramente sen pretendelo, lle paso aos posts coa etiqueta "Aula" que escribo por aquí. As experiencias frustrantes omítoas, entre outras razóns porque os meus alumnos coñecen este blog (aínda que non o lean, agás cando teñen que vir por algunha ligazón).

    ReplyDelete
  5. Eu, coma ti, tamén o resolvín alxébricamente. Porén, mais que nada por amolar un pouco, pensei se podía tirarse por outro camiño. Así que pensei neste outro problema:
    Dados dous rectángulos de igual área e de bases 600 e 400 unidades, achar a base doutro rectángulo, tamén coa mesma área, que teña como altura a suma das alturas deses dous primeiros rectángulos. Xa che comentarei unha solución.

    ReplyDelete
  6. Enunciado dese xeito, Cibrán, lembra moito a outro problema:
    Se tes dous cadrados, cal é o cadrado "medio" entre eles?
    Este problema leva a definir o de "medio", e segundo como o fagamos, poderemos atopar a media xeométrica dos lados dos cadrados, a media aritmética...

    ReplyDelete
  7. Otra opción: se puede resolver gráficamente si se sabe dibujar funciones (lineales) en un folio. Con un papel milimetrado se vería perfectamente la solución. Claro que igual es eso más complicado de entender para los niños que el álgebra.

    ReplyDelete
  8. Pois non pensara niso, Efe, teño que recoñecelo. Aínda que é certo que a este nivel sería case imposible que se lles ocorrese (cousas das unidades didácticas). Neste punto estaría satisfeito se chegaran polos seus propios medios a ver que a cantidade común de xamón e queixo ten que ser máis que a metade dos 400 g de xamón iniciais e menos que a metade dos 600 g de queixo.
    E graciñas por vir por aquí, Efe.

    ReplyDelete
  9. Ben, eu non andaba coa mente polos mundos da diversificación. E pensar un problema desde distintos puntos de vista pode axudar a resolvelo, ou a establecer outros problemas interesantes. Pero eu tirei por resolvelo usando a xeometría eculcídea (estricto sensu). Vexamos:
    Sexan dous rectángulos de bases dadas a e b e de alturas descoñecidas x e y, trátase de determinar a base dun terceiro rectángulo, c, de altura x+y.
    Fago referencia aos 'Elementos' de Euclides (ver http://euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm):
    por VI.16 os rectángulos que teñen a mesma área teñen as bases en proporción inversa ás alturas polo que a:y::b:x e a:x+y::c:x
    por V.16 se 4 magnitudes son proporcionais, por alternancia tamén o son entón as proporcións anteriores poden escribirse tamén como a:b::y:x e a:c::x+y:x
    por outra parte, por V.18 as magnitudes proporcionais por separación tamén o son por composición polo que de a:b::y:x deducimos que tamén a+b:b::x+y:x
    Das dúas proporcións finais dos dous últimos parágrafos, e por V.11 (transitividade que diríamos hoxe en día), temos que a:c::a+b:b polo que a base buscada, c, é a media proporcional das outras tres magnitudes que son a, a+b e b. E calcular o cuarto proporcional vén dado por VI.12.
    Menos mal que se inventou a álxebra.

    Outra cousa. Ninguén che comenta sobre o problema da corredoira. Eu acabo nunha ecuación de grao 4.

    ReplyDelete
  10. Cibrán: teño que ler con máis tranquilidade a túa solución para coller o sentido, que a lectura on line non se presta moito á profundidade. O da corredoira, efectivamente, a min dábame unha ecuación irracional, que supoño que é de onde sairá a ecuación cuártica que ti comentas.

    ReplyDelete