Un pequeno atraco

 

Nos 16 anos deste blog puxen unha morea de problemas que eu non resolvera previamente, imaxino que é evidente para os lectores. Porén, coido que todos os problemas que trouxen ocuparon algo da miña mente, polo menos para sopesar a súa dificultade. Iso non evita que me trabucase unhas cantas veces, sobre todo ao principio, cando propoñía moitos problemiñas recreativos; nalgunha ocasión apareceu un sen solución, descuberto grazas a comentaristas anónimos.

O preámbulo avanza que non pensei no seguinte problema, só teño o pálpito de que é interesante e difícil(que adoitan ser características concomitantes). Oxalá non me trabuque.

A imaxe explícase soa, pero haberá que concretar as preguntas, digo eu:

Comezamos un camiño de segmentos unitarios na orixe de coordenadas da cuadrícula enteira, polo 1º cuadrante. Observamos que o camiño pasa por todos os puntos de coordenadas enteiras non negativas.

• Cales son as coordenadas do n-ésimo punto do camiño?

Por poñer un exemplo, o 12º punto é o punto (3, 2)

E teño menos confianza aínda en que sexa sinxelo contestar á seguinte cuestión:

• Cal é posición no camiño do punto (a, b) da cuadrícula?

Por exemplo, o punto (1, 1) é o terceiro punto do camiño, e o (5, 6) ocupa a posición 42ª.
 

Intrigante, non si? A ver se teño tempo eu para fracasar tentando resolvelo.

Editado o 30/03/25(o día seguinte, vaia): A senectude, a présa, a cólera do heroe, ou outra cousa, provocaron que esquecera compartir a fonte do problema, que é Recreational Mathematics de Paul Yiu, fonte formidable de problemas que leva vinte anos arrolando pola rede. Seleccionade o texto e dádelle a buscar, sairá un feixe de opcións para atopalo. Unha marabilla. 

A ecuación de 2º grao, xeometricamente(pero sen completar cadrados)

 

No título xa aviso, pois pensar xeometricamente a ecuación de 2º grao a estas alturas xa é un lugar común. Por moito que algúns fagan coma quen que o redescobren para o gran público de cando en vez.

Antonte dei por casualidade co artigo de King-Shun Leung Dividing a right-angled trapezium into two similar quadrilaterals, en The Mathematical Gazette, pero como me adoita suceder, reparei nun detalle accesorio no artigo, que é do que veño falar: a representación analítica das solucións da ecuación de 2º grao. Ademais, xa coñecía esta representación, mais quedara algo esquecida na miña memoria. Por outra banda, é posible que Cibrán xa a incluíse nalgunha das súas entradas sobre historia da Álxebra. 

Partimos da ecuación na forma $x^2+bx+c=0$ con $bc\ne 0$ (lembremos que dividindo todos os coeficientes entre o coeficiente principal $a\ne 0$, obtemos sempre un polinomio mónico como o desexado). Marcamos no plano os puntos $A(0,-1),B(0,0),C(-b,0),D(-b,-c)$. A idea esencial do método consiste en trazar a circunferencia con diámetro o segmento AD. Se o discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4c>0$, a circunferencia corta ao eixe X en dous puntos $P(\alpha ,0),A(\beta ,0)$, con $\alpha >\beta$.

   

E eses números $\alpha ,\beta$ son as solucións da ecuación orixinal. Vexamos por que no caso do punto P:

O punto P$(\alpha ,0)$ é solución $$\begin{gathered} ⟺{\alpha }^2+b\cdot \alpha +c=0⟺c=-\alpha \cdot (\alpha +b)⟺ \\ \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{c}{\alpha +b}=-1 \end{gathered}$$

E aquí vén o salto, a igualdade anterior pode escribirse:

$$\frac{0-(-1)}{\alpha -0}\cdot \frac{0-(-c)}{\alpha -(-b)}=-1⟺PA\perp PD$$

que, de novo, é equivalente a que o punto P pertenza á circunferencia de diámetro AD.

E aínda van quedar deberes para o amable lector: coa pista do trapecio que resaltei na figura, tócavos amosar que uso lle dá para atopar os dous trapecios semellantes que promete o título do artigo.

O concurso Georg Mohr 2025-2

 Continuemos con esta marabilla de concurso. Na anterior entrada non aclarei que as primeiras dez cuestións son de resposta múltiple, a escoller entre 5 opcións, mentres que as dez últimas son "problemas de resposta". Para o total de 20 cuestións do exame, os alumnos dispoñen de 90 minutos, que non me parece moito, a verdade, para todo o que hai que roer.

Imos coa segunda xeira:

7) Sábese que os catro números a, b, c e d cumpren que $a<b<c<d$ e $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<\frac{1}{d}$. Cantos dos catro números son negativos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) non pode ser determinado

Este tipo de problemas puramente técnicos e abstractos encántanme. Cun nivel máis axeitado, teño posto algún en probas, tanto na ESO como en bacharelato, aínda que en bacharelato como bonus.

8) Nun lado dunha estrada infinitamente longa hai casas numeradas $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$

Todas as casas son vermellas ou azuis. Unha casa é azul se as súas dúas veciñas teñen diferentes cores, en caso contrario, é vermella. A casa co número 492 é azul. Que pode afirmarse con certeza?

a) A casa 2024 é vermella b) A casa 2024 é azul c) A casa 2025 é vermella d) A casa 2025 é azul e) non se pode asegurar ningunha das opcións anteriores

Unha cuestión de lóxica con requisitos mínimos aritméticos sempre é benvida.

9) Temos que colocar os números do 1 ao 9 nas celas do seguinte cadrado. Os números da ringleira superior suman 19, e os números da ringleira inferior suman 15. Os números da columna esquerda suman 7, e os da columna dereita suman 14. Que número ten que colocarse na cela coa interrogación?

É poñer unha figura destas e oír sudoku na clase instantaneamente.

a) Un número impar b) 4 c) 6 d) 8 e) Non pode determinarse

Este ten a súa dificultade por cuestións de tempo. Un pode ser sistemático, e sae, pero leva o seu tempo; ou notar certos feitos e facelo rapidamente.

10) Unha urna contén dous caramelos negros e un caramenlo branco. Georg mete caramelos na urna seguindo esta regra: colle un caramelo ao chou da urna, e pon ese caramelo e outro da mesma cor na urna de novo. Fai este proceso 3 veces de tal xeito que reamta con 6 caramelos na urna. Cal é a probabilidade de que remate con 3 caramelos de cada cor?

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{4}$ d) $\frac{1}{5}$ e) $\frac{1}{6}$

Este si que me parece un chisco máis rutineiro, só ten a dificultade de que hai que ser meticuloso e que o alumnado sabe (en proporción) resolver peor problemas de probabilidade que de case calquera outro bloque.

Aquí rematan os multiple choice problems, e comezan os answer problems: 

11) Dunha lista das 100 palabras máis usadas en certa linguaxe, hai 70 palabras que conteñen a letra A e 60 palabras que conteñen a letra U, mentres que 20 das palabras non conteñen nin A nin U. Cantas das palabras conteñen tanto o A como o U?

Sempre que vexo un problema deste tipo penso en como será atacalo sen saber diagramas de Venn. Para os da miña xeración, que vimos diagramas de Venn no comezo da EXB é unha ferramenta tan natural que resulta case imposible pensar en non coñecela.

12) Georg escolle un natural de 2 cifras n. Cando divide 1010 entre n obtén resto 2. Que resto obterá ao dividir 2025 entre n?

Non sendo rutineiro para o alumnado, o certo é que é un problema clásico. Que sucedería se n tivese 1 cifra? Que o problema non tería solución única.

13) Paula ten unha bolsa que contén 3 E's, 3 G's, 3 H's, 3 M's, 3 O's e 3 R's. Extrae letras da bolsa, unha cada vez, sen mirar. Cantas letras ten que extraer como mínimo para estar segura de que pode escribir GEORG MOHR usando as letras extraídas?

Unha cuestión aritmética básica algo distinta á habitual dos calcetíns de dúas cores nun caixón. É tan elemental que seguramente (deste non tiven feedback na devandita recuperación) dará lugar ao fenómeno de distinguir entre as persoas que ven a dificultade instantaneamente e as que poden non chegar a vela.

14) Aisha está xogando ao billar nunha mesa de 282 cm de lonxitude e 155 cm de anchura. A bóla está á mesma distancia das dúas bandas e a 96 cm do fondo BC. Quere embocar a bóla na troneira en A golpeándoa contra a banda CD no punto P, como amosa a figura. Cal debe ser a distancia entre D e P se Aisha quere embocala en A?

   

Neste hai o obstáculo do feito, por outra parte ben coñecido, de que os alumnos saiban que o ángulo de incidencia e o ángulo de reflexión coinciden. Logo hai que facer unha conta.

15) Nun sistema de coordenadas un rectángulo cos vértices (0,0), (10,0), (10,5) e (0,5) é dividido en 50 cadrados unitarios. Para cada un dos cadrados o valor é definido como a suma das dúas coordenadas dos seus 4 vértices. Así, p.ex., o cadrado unitario con vértices (3,2), (4,2), (4,3) e (3,3) ten valor 3+2+4+2+4+3+3+3=24. Cantos valores distintos aparecen en total?

   

Este é máis sinxelo que a media do concurso, é inmediato decatarse de que sucede entre dous cadrados contiguos.

16) Determina o valor de $$\frac{{20202}^2\cdot {80808}^2}{{40404}^4}$$
Sabendo que é unha parvada, este tipo de exercicios encántame.

17)  Os números do 1 ao 2025 son escritos en fila nunha orde aleatoria. Randi engade 1000 números, un a un, ao final da ringleira deste xeito: mira aos últimos 2025 números da ringleira e engade a mediana deses 2025 números. Repite este proceso 1000 veces. Cal é a máxima cantidade de números distintos que pode haber entre os 1000 números que engade? 

Quizais sexa este o problema máis difícil desta xeira? Quizais. Hai que pararse para entender o que pregunta, hai que pararse para entender que non é tan difícil como parece nun 1º momento, e logo decatarse de que non é tan sinxelo como parece nun 2º momento.

18) Os tres parrulos Zip, Zap e Zup teñen cada un un número favorito, que é un natura maior que 1. Os tres números favoritos son distintos. Os parrulos din consecutivamente números, e se o seu número favorito é divisor do número pronunciado, teñen que erguer unha á. Zip di 20, e dúas ás son levantadas. Zap di 21, e unha á é levantada. Zup di 70, e os tres erguen unha á. Cal é a maior suma posible dos 3 números favoritos?

Este confeso que non me gusta tanto. Paréceme que ten un texto algo abstruso para a idea que encobre.

19) Dentro dun cadrado de lado 10 debuxamos un semicírculo, un cuarto de círculo e unha diagonal. Cal é a área da rexión gris?

Ás veces vexo o Pelegrín   

A quen non lle vai gustar un cálculo sintético de áreas entre circunferencias e rectas? A QUEN?

20) Dos naturais A e B sábese que a suma dos díxitos de A é 2025, e a suma dos díxitos de B é 60. Cal é o valor mínimo da suma das cifras de A+B?

Rápido, cal é o voso pálpito para o derradeiro problema? Veña, agora a demostralo.

Oxalá tivese eu a inventiva necesaria para crear problemas elementais tan divertidos. Que marabilla.

O concurso Georg Mohr 2025

 

En xaneiro tiven a recuperación da 1ª avaliación de Matemáticas I, e como é habitual, houbo alumnos que aprobaran e que non querían subir a súa nota, polo que busquei unha olimpíada recente entre as fontes que levo usando anos: O Torneo Harvard-MIT, as competicións da Universidade de Waterloo, a OBMEP, ...

Pero esta vez o gañador resultou ser a primeira rolda da competición Georg Mohr, da que xa teño collido problemas ben fermosos en moitas ocasións semellantes. A razón foi que lin o 1º ítem, gustoume, mirei por riba os demais, e apostei que ía estar ben. Logo, durante a recuperación, os alumnos que estaban coa competición preguntaron algunha cousa e descubrín que había moitas xoias ocultas neste concurso. Ata o punto de que é difícil escoller algunha, que era o que pensaba que ía facer despois no blog. En conclusión, de vinte problemas, hainos bos e hainos moi bos. Comezando polo primeiro, unha alfaia abstracta sen números:

 1) As 4 figuras amosan o mesmo rectángulo e o mesmo círculo, pero colocados de xeito distinto

En que figura a diferenza entre a área raiada e a área gris é maior?

a) A

b) B

c) C

d) D

e) É igual nas 4 figuras

Este problema paréceme fermosísimo por varias razóns, a primeira xa mencionada: non require(non pode) usar números, só razoar en abstracto. En segundo lugar, a nosa mente rápida quere crer que os tamaños relativos das dúas figuras e da súa intersección inflúen na resposta e tamén quere que intuamos (incorrectamente) que a parte branca está relacionada coa diferenza solicitada no enunciado. Unha marabilla para comezar.

2) Gerth quere construír un modelo de vía férrea. Ten un feixe de pezas de vía de lonxitudes 7 cm e 11 cm. Cal é o mínimo número de pezas necesarias para construír unha vía que mida exactamente 200 cm?

 a)  18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

O connoisseur recoñecerá instantaneamente a ecuación diofántica lineal subxacente, que non é estritamente necesario resolver, observando simplemente que a vía terá menos pezas cantas máis teña de lonxitude 11. E os colegas seguidores do blog lembrarán que un problema análogo xa aparecera aquí no contexto da fase local da Olimpíada Matemática Galega de 2015 (onde tamén poderán comprobar que a aparición dunha ecuación diofántica dispara o meu uso da palabra connoisseur)

3) Os números 1, 2, ..., 9 están escritos nun encerado. Níkolaj ponlle un 0 á dereita a un número e un 1 á esquerda a dous números. A suma dos números do encerado agora é 119. Cal dos números orixinais é o que ten o 0 á dereita?

a)  3  b) 6 c) 7 d) 8 e) Non pode ser determinado

 

Outra cuestión elemental que é un bo exercicio para o alumnado.

4) A figura amosa o plano dun parque de xogos onde instalaron barras estreitas para practicar equilibrio andando o camiño PQRSP. Os cadrados do plano teñen lonxitude 1 metro. Os círculos son plataformas, dous de raio 1 metro e dous de raio 2 metros. Cal é a lonxitude total da parte do camiño que circula fóra das plataformas?

   

  a)  16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 26 m

Seguramente xa vistes esta idea nalgún concurso de resposta múltiple.

5) Alma lanza un dado co 8 caras cos números do 1 ao 8, e Bertha tira un dado con 20 caras cos números do 1 ao 20. Cal é a probabilidade de que obteñan o mesmo número?

 a)  $\frac{1}{8}$ b) $\frac{8}{20}$ c) $\frac{1}{12}$ d) $\frac{1}{20}$ e) $\frac{1}{28}$

Vouno deixar no 6º problema, probablemente un dos meus preferidos desta fase:

6) Un taboleiro rectangular de dimensións 2x2025 ten que ser cuberto con pezas coa forma

Os triminós sonvos un pouco sosos

De cantos xeitos podemos facelo se as pezas non se solapan?

 a)  1 b) 2025 c) 2·3·2025 d) 2025² e) $2^{\frac{2025}{3}}$

Non sei se me gustou máis porque no momento no que me preguntaron por esta cuestión no exame, a miña primeira intuición foi errónea. Se sodes dos que chegades a combinatoria en 4º de ESO, paréceme un bo problema fóra do estándar da aula, como enriquecemento é factible.

Olimpíada Matemática Española 2024-25, Fase Local

 

Pequena adiviña non-relacionada-coas-matemáticas
que deixo (axiña aparece a razón)

A fin de semana pasada tivo lugar a fase local da OME deste curso, un colega mandoume o mesmo día foto da folla da sesión matinal e automaticamente quedei abraiado porque vin un problema que recoñecín como parte do folklore. E como ninguén me deu a razón, quedei pensando se sería un falso recordo. 

Polo que traio ese problema e a solución que practicamente non tiven que pensar, razón que apoia a miña postura: se non formase parte do folklore, probablemente eu non o daría resolto, e menos tan rápido. E de paso tamén comparto o primeiro problema, que tamén resultou sinxeliño. A ver que opinades.

O problema que eu considero ben coñecido era o 2:

Sexa $q(x)$ un polinomio de grao 2023 que cumpre $q(n)=\frac{1}{n}$ para todo $n=1,2,\dots ,2024$. Atopa o valor de $q(2025)$

Dúas liñas máis abaixo comeza o meu comentario e posterior solución. Avisados estades.

O primeiro que pensa un vendo ese enunciado é que un polinomio de grao 2024 queda determinado por 2025 valores, e aquí temos 2024 valores, polo que o mellor que podemos acadar é deixar un parámetro bailando. Se coñecedes algo do polinomio de interpolación e do determinante de Vandermonde saberedes o obstáculo que hai, que vén xeneralizar o feito ben coñecido de que unha recta(grao 1) queda determinada por 2 puntos, unha parábola(grao 2) por 3, etc. Na práctica, non parece factible meternos a calcular un polinomio de grao 2023. O que si sería máis manexable sería determinar o polinomio a partir das súas raíces, co pequeno obstáculo de que non sabemos as raíces de q. Polo que a estratexia vai ser atopar un polinomio relacionado con q do que si saibamos as raíces. E isto é cuestión de vista: Se $q(n)=\frac{1}{n}$, entón $n\cdot q(n)=1$, ou o que é o mesmo, $n\cdot q(n)-1=0$.

Así que o polinomio que vai facer o choio é $p(x)=xq(x)-1$, que ten 2024 raíces coñecidas, $n=1,2,\dots ,2024$. En consecuencia, $p(x)=\lambda \cdot (x-1)(x-2)\dots (x-2024)$, con $\lambda$, o coeficiente principal, por determinar.

Agora usamos que o valor no 0 é sinxelo de obter, e pouco quedará:

$$p(0)=0\cdot q(0)-1=-1$$ 

Pero tamén:

$$p(0)=\lambda \cdot (0-1)(0-2)\dots (0-2024)=\lambda \cdot 2024!$$

Igualando, $$-1=\lambda \cdot 2024!\to \lambda =\frac{-1}{2024!}$$

E $p(2025)=\frac{-1}{2024!}\cdot (2025-1)(2025-2)\dots (2025-2024)=\frac{-1}{2024!}\cdot 2024!=-1$

De onde $-1=p(2025)=2025\cdot q(2025)-1$, polo que $q(2025)=0$

Como detalle curioso, o conto cambiaría moito se estivésemos en 2024 ou 2026. Observade o gif que fixen, de 1 ata 20, como varía dependendo da paridade:

Non sei vós, eu oio o son de lategazos a través da pantalla

E, como dixen, o primeiro problema, gratis:

Sexa ABCD un paralelogramo e sexa M un punto na diagonal BD que cumpre $MD=2BM$. As rectas AM e BC córtanse nun punto N. Cal é o cociente entre a área do triángulo MND e a área do paralelogramo ABCD?

Como sempre, o debuxo explica mellor o asunto:

   

Neste problema hai unha única liña que revela o esencial, e non é moi esotérica, pois é a outra diagonal:

   

Como as diagonais sempre se cortan no punto medio(E nesta figura), e ademais $MD=2BM$, temos que $BM=2ME$ e $MD=\frac{2}{3}BD$. Sendo E o punto medio do lado AC do triángulo ABC, BE é a mediana correspondente a ese lado, e M ten que ser o baricentro, que é o único punto nunha mediana que a divide na razón 2:1.

Por tanto, AN ten que ser outra mediana, polo que N é o punto medio do lado BC, e podemos xa ir calculando razóns entre áreas de polígonos:

$$\frac{(MND)}{(BND)}=\frac{MD}{BD}=\frac{2}{3}$$

$$\frac{(BND)}{(BCD)}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{(BCD)}{(ABCD)}=\frac{1}{2}$$

Xuntando estas 3 razóns, $$\frac{(MND)}{(ABCD)}=\frac{1}{6}$$

O dito: o primeiro problema é tradicional? Resolvestes o do paralelogramo doutro xeito?