Unha "trola" que adoito contar na aula

 

Alguén haberá que lembre unha vella entrada(de 2012!)deste blog, Mentiras que contamos os profesores de Matemáticas, na que o uso da palabra mentira quizais fose esaxerado. Por iso neste caso vou poñer trola entre vírgulas.

Xa comentei que este curso dou 1º e 3º de ESO, o que me leva, queira ou non, a ir comparando o panorama das matemáticas elementais que lles dou aos alumnos en ambos os dous cursos cando coinciden os contidos(eu négome a usar "sentido" aquí, non é funcional esa distinción). E como en 3º de ESO no meu centro comezamos polas unidades de Estatística, Combinatoria e Probabilidade, aínda estou agora na de Números Reais. Polo que a estas alturas de curso andamos cos números racionais, que implica necesariamente lembrar os rudimentos das fraccións. E este ano reparei en que unha das cousas que fago na aula, que non están programadas, pero que xa fixen moitos anos, é poñerlles diante esta cuestión:

Observando o produto de fraccións, 

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8}=\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 8}=\frac{15}{48}$$

e o paralelismo que hai co de naturais,

$$7 \cdot 4=28 \rightarrow 28:4=7$$

Non sería máis inmediato dividir fraccións deste xeito, moito máis natural?

$$\frac{15}{48} : \frac{3}{8}=\frac{15 : 3}{48 : 8}=\frac{5}{6}$$

Se tedes sorte e picades aos alumnos con isto, non tardará en aparecer a explicación. Eu teño este ano un 3º especialmente apático, no que cando fago preguntas no medio das explicacións, as facianas usualmente son algo así:

   

Para sermos exactos, con todo o teatro que fago eu, máis ben son así:

De Steamboat Bil, Jr.

Pois nesa aula saíu a explicación inmediatamente: Porque este algoritmo non asegura que o resultado sexa unha fracción, só funciona ben se o numerador e o denominador do dividendo son múltiplos respectivamente do numerador e o denominador do divisor. Calquera exemplo posto ao chou serve para ver o problema:

$$\frac{7}{6} : \frac{4}{15}=\frac{7:4}{6:15}=\frac{1,75}{0,4}$$

E esta non é a peor das situacións, pois as divisións dan decimais exactos, poderiamos obter unha fracción de verdade multiplicando numerador e denominador por 20. Pero, que sucede se aínda por riba, as divisións dan decimais periódicos?

Quizais pensedes que isto dá demasiado choio para o anecdótico que é. E non vos faltará parte de razón, supoño, pero eu creo que traballar cuestións deste estilo na aula vai no camiño de entender por que se definen os conceptos e se determinan os procedementos. Pola mesma razón insisto cando se amplían definicións como a de potencia en que o motivo é que a nova definición sexa coherente coa previa e máis elemental.

 E aproveitando a marea, serve para notar que o conxunto dos raciconais é pechado baixo suma, resta, multiplicación e división. Que xa sabedes o importante que é. Se ademais fose completo...

Dezasete

 

Pois si, o único primo expresable deste xeito,
sendo p e q primos

Chegamos ao décimo sétimo aniversario deste blog polo que ninguén daba dá un peso e velaquí está, durando máis que o voso amable inspector de educación average na docencia.

Este ano subiu o número de entradas con respecto aos sete anos anteriores, pois escribín 37, fronte ás 28, 34, 33, 32, 24, 24 e 24 dos anos que van de 2024 a 2018(en 2017 foran 38). A única explicación deste feito que se me ocorre é que a xefatura de estudos me compele a buscar certa evasión. Veremos este curso, agora que, felizmente, só dou clase.

Esas 37 entradas sumaron un total de 4053 visitas, mentres que o blog tivo o desorbitado número de 76390 visitas. En bluesky xa avancei a miña sospeita de que ten que haber moito tráfico de bots nesa cantidade, non o vexo factible para este humilde sitio. Polo que lin pola rede, efectivamente os bots son ubicuos nas estatísticas, pensaba que sucedería en webs máis ambiciosas, pero parece ser que o fenómeno é universal.

Como sempre, en contraste coas visitas, o número de comentarios só foi 21 nestas 37 entradas e 24 ao longo do ano. É o signo dos tempos, eu tampouco comento moito pola rede adiante, sendo sincero.

As cinco, non, seis entradas máis visitadas do ano foron(veredes por que teñen que ser seis):

• O concurso Georg Mohr 2025-2, 173 visitas, para unha entrada na que este profesor non acredita mérito ningún.
• Avaliación de final de etapa, outras 173 visitas nunha entrada crítica cunha avaliación catalá de 4º de ESOcon varios exercicios factibles en 1º de ESO. Vergoñento.
• Un problema elemental que (non) resolvín, 152 visitas. Raro que sexa unha entrada na que comparto unha solución, ese tipo de entradas non adoitan pasar das 50 visitas.
• Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 5, 152 visitas again para unha entrada xa tradicional sobre a olimpíada.
• 10000 anos, 148 visitas. Sucedeu o mesmo que o ano previo coa entrada de aniversario.
• Oh My Fuckin' God, outras 148 visitas para a entrada na que falo da primeira OMFG.

O máis rechamante é que haxa 20 entradas por riba das 100 visitas, aínda que non haxa un outlier como o ano pasado, que tivera 215 visitas.

E as cinco entradas menos vistas foron:

• Copiando rectángulos ata obter un cadrado, 35 visitas para a entrada 35 do ano. Curiosamente a entrada anterior, Dando clase en 1º de ESO outra vez, moi semellante a esta(cun applet geogebra representando un problema tipo de 1º de ESO), tivo 103 visitas. Supoño que o título tiña máis punch.
• Recuperar o polígono perdido, 62 visitas. Que son poucas para o visto este ano, pero eu creo que está bastante ben.
• Un inesperado caso de anumerismo, 63 visitas para a entrada na que boto merda sobre unha pasaxe de Nuestra Especie, de Marvin Harris,  aproveitando que este é o meu blog e, ben, en fin, que está morto.
• Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final, 64 visitas para unha entrada semellante á que está na lista das máis lidas.
• Dous rápidos para despois da enchenta, 69 visitas na última entrada do ano. Pode que teña menos visitas por iso ou por calquera outra explicación que se vos ocorra. Nin idea.

Este ano a media de visitas foi 109,5, a mediana, 105, e a desviación típica, 35. Para os fans das gráficas:

   

Ordenei en LibreOffice Calc por número de visitas de xeito descendente, e como tiña o formato condicional "escala de cores", queda tan feitiño que o comparto tamén:

   

A verdade é que estou bastante satisfeito cos números deste ano. E tamén con saber de casualidade en primeira persoa dalgún colega de profesión que me lía habitualmente. Máis non podo pedir.

Non sei se dar as grazas tamén aos bots.

Dous rápidos para despois da enchenta

 

Choutando pola rede dei con outras ideas que non coñecía do grande Nob Yoshigahara, do que compartín dous problemiñas hai só catorce anos.

E das ducias que podería traer hoxe, escollín só dous que entran dentro da categoría do que Lewis Carroll chamaría (dun xeito demasiado optimista na miña opinión) problemas de almofada.

O primeiro, aritmético, si creo que se pode resolver de cabeza:

É sabido que os díxitos do 1 ao 9 cumpren que

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

e

$$1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9=362880$$

Pois ben: existe outra posibilidade para 9 números cunha soa cifra que sumados dean 45 e multiplicados 362880? Obviamente, pódense repetir, se non, non habería problema.

No 2º problemiña coido que é sinxelo adiviñar a solución, mais é destes problemas dos que sorprende como asolaga a mente cando tentas desenguedellalos, de camiño á solución(será iso que chaman a memoria de traballo?)

ABCD é unha longa folla rectangular de papel. Cando a dobramos ao longo de EF, AB cae enriba de A'B', e a distancia entre A'B' e CD é 2 centímetros:

   

Pero cando dobramos a folla ao longo de GH, con CD caendo enriba de C'D', a distancia entre C'D' e AB tamén mide 2 centímetros;

   

Adiviñades a pregunta?

Si?

Velaquí:

Cal é a distancia entre EF e GH?

Se quedou un oco despois dos polvoróns, xa tedes algo para ocupalo. 

Oh My Fuckin' God

 

Como podedes intuír no título da entrada, veño falar de que hai tres sábados, o 22 de novembro, se celebrou a primeira edición da Olimpíada Matemática Feminina Galega, organizada pola Asociación Galega de Estudantes de Matemáticas, MaEGA,

Se é a primeira vez que oídes falar dunha iniciativa desta índole, podo imaxinar que algúns estaredes a engurrar o nariz. E podo empatizar con aqueles que teñan esa reacción, pois hai anos, cando me tocou a min ter esta experiencia, tamén parei un anaco a valorar o asunto. Coido que foi algúns anos despois de 2002, cando se instituíu a Olimpíada Matemática das Mozas Chinesas, que souben da súa existencia. Non teño claro cando, só estou certo de que foi antes de que se crease a European Girls' Mathematical Olympiad, en 2012. Respecto á existencia destas olimpíadas, aínda hoxe teño as miñas dúbidas. Esencialmente:

Se, coma min, pensades que o sexo non é relevante en canto á distribución do talento matemático, podedes pensar que a iniciativa non é necesaria ou incluso é insultante, sempre e cando pensedes, coma min, que a resolución de problemas do tipo das olimpíadas é unha faceta importante do desempeño matemático de certo nivel.

Porén, se concordades comigo en que a conduta ante os concursos é distinta (en media, a partir de aquí todas as opinións grosas que vou deitar teñen que interpretarse neses termos) entre cativos e cativas, seguramente valoredes máis positivamente a existencia dunha olimpíada exclusivamente dirixida a alumnas. Porque creo que todos os que animamos aos alumnos a participar en concursos matemáticos sabemos que os mozos teñen un autoconcepto máis positivo que as mozas, o que leva a que alumnos obviamente cun talento ordinario ou escaso para a resolución de problemas poidan apuntarse mentres que alumnas brillantes teñan reticencias.

A miña opinión actual tende ao pragmatismo: sen estas olimpíadas habería cativas que non participarían en ningunha olimpíada? Parece obvio que si. Pois benvidas sexan. Estou seguro de que os organizadores, que merecen todo o crédito, terán ese obxectivo primordial.

Con respecto a esta 1ª olimpíada, sorprende que non responda ao formato habitual de 2 sesións de 3 problemas cada unha. En troques, só houbo unha sesión e 3 problemas. Enlazo o pdf oficial, e comparto aquí os problemas(na web oficial tedes tamén as solucións):

Problema 1:

Sexa x un número real que cumpre que $$x^3+\frac{1}{x^3}=52$$

Demostrar que $$x+\frac{1}{x}$$

é un número enteiro e determinar o seu valor.

Seguro que este problema resoa na vosa memoria, non si? 

Problema 2:

A unha competición matemática asisten seis parellas de irmáns, é dicir, doce persoas. Para realizar unha proba en equipos, vanse dividir os participantes en tres equipos de catro persoas cada un, pero de xeito que dous irmáns nunca estean no mesmo equipo. De cantas maneiras se pode facer a división dos participantes? 

Boa escolla, na miña opinión. Non é habitual que apareza un problema de combinatoria enumerativa que sexa algo sutil. 

Problema 3: Sexa ABCD un rectángulo con lado |AB|=3 e lado |BC|=2. Sexa M o punto medio do lado BC. Sexa P o único punto do lado AB que cumpre que a recta DM é a bisectriz do ángulo $\angle{PDC}$. Determinar a lonxitude do segmento PB.

Cando vin por primeira vez estes problemas, confeso que o 1º o fixen con certo desleixo, porque sabía desde o principio que camiño tomar, o que resulta aburrido; para o 3º atopei unha solución horripilante, cando teña tempo hei buscar algo máis potable; e para o 2º tardei un anaco en estar satisfeito coa miña estratexia e cálculos, de feito trabuquei varias veces polo camiño.

Xa tedes material para estar entretidos un cacho.

Copiando rectángulos ata obter un cadrado

 

Non tiña pensado escribir outra entrada consecutiva practicamente idéntica, pero estou tan contento co que fixen, que me vin forzado, entendédeme.

Se na anterior entrada acometía o problema-tipo de 1º de ESO do rectángulo que se parte en anacos cadrados, hoxe toca o problema-tipo seguinte:

Dada unha peza rectangular de dimensións a e b, reproducimos ao ancho e ao alto a peza de tal modo que creamos unha cuadrícula rectangular. Cando a cuadrícula creada non só é un rectángulo, senón tamén un cadrado?

Deixei os rótulos ceibos, podedes facer zoom e mover o que queirades, queixa non teredes.

E pararei xa, que teño unha entrada a medio facer sobre outro tema completamente distinto.

P.S.: esquecín outra vez engadir a ligazón ao applet na miña conta de geogebra.