Nestes quince anos coido que xa amosei unhas cantas veces que teño certa tendencia natural a facer mal as cousas, deixádeme por unha vez que amose un chisco de orgullo aínda que sexa por algo anódino que pouco mérito ten.
O meu último ano en Compostela, facendo o CAP e dando clases nunha academia, debería estar preparando as oposicións de secundaria. Polo que sexa, resumamos en que non foi así. Unha noite volvendo no IASA a Ferrol coincidín cun compañeiro de carreira que estaba apuntado a unha academia de preparación de oposicións(daquela eran Ágora e Esquío as que dominaban o mercado). Pregunteille que facían na academia, explicoume que para o práctico lles daban un compendio de teoría sucinta e métodos para aplicar, e boletíns por bloques: Números, Álxebra, Análise, etc. E comentoume un exercicio do último boletín que lles deran: Amosar que $e^{\pi}>\pi ^e$
Eu daquela nunca oíra falar dese problema, agora sei que é clásico. E non sei como, no marco incomparable da parte traseira do IASA, pensei automaticamente en "baixar" os expoñentes co logaritmo neperiano, é dicir, comparar $\pi$ con $e \cdot ln \pi$, dado que o logaritmo é unha función crecente, e dada a molestia visual que supón ese factor antes do logaritmo, comparar $\frac{ \pi}{e}$ con $ln \pi$.
Pensando un anaco máis, definín a función $f(x)=\frac{x}{e}-ln x$ co obxectivo de estudar o seu crecemento:
$f'(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}$, que é positivo se x>e e negativo se x<e; i.e., f é decrecente antes de e e crecente despois, de onde deducimos que en x=3 ten un mínimo. Dando a volta ao razoamento que nos trouxo a esa función, $$f(e)<f(\pi) \Rightarrow 0<\frac{\pi}{e}-ln \pi \Rightarrow \pi >e \cdot ln \pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi ^e $$ q.e.d.
Supoño que lembro isto con certo orgullo inane porque agora mesmo xa non sería quen de argallar un argumento así de memoria. E iso que o esencial é ben simple: manipular as expresións ata atopar unha manexable co cálculo dunha variable.
Por moito narcisismo que poida padecer, o obxecto desta entrada non é que me adoredes por resolver un problema que calquera cuns coñecementos de cálculo elemental podería resolver tamén, senón presentar dous argumentos máis fermosos có meu, que atopei lendo por riba números do Pi Mu Epsilon Journal. Procedamos:
O primeiro que atopei, e segundo cronoloxicamente(outono de 1986), é obra de Alan C. Benander, quen reduce a desigualdade a amosar que $\pi > e \cdot ln \pi$, como fixen eu. E aquí remata o parecido, porque entón fai o seguinte:
$$e \cdot ln \pi=e \int_1^\pi \frac{1}{t} dt=\int_1^\pi \frac{e}{t} dt$$
Que graficamente é a área da zona verde desta figura:
Por outra banda, $\pi$ coincide coa área do rectángulo laranxa, e a área da zona verde por riba da recta $y=1$ é
$$\int_1^e \left( \frac{e}{t}-1\right)dt =e ln(e)-(e-1)=1$$
é dicir, coincide coa área do cadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), polo que a área verde é menor que a área do rectángulo laranxa, é dicir,
$$e \cdot ln \pi<\pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi^e$$
No artigo Benander afirma que un argumento anterior (en primavera) de Norman Schaumberger é máis elegante. Xulgade vós:
Schaumberger comeza invocando o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral,
$$\int_e^ \pi \frac{dx}{x}=\frac{1}{c} (\pi-e)$$, con $e<c<\pi$
Polo que $$ln \pi-ln e<\frac{\pi-e}{e}=\frac{\pi}{e}-ln e $$
De onde $e ln \pi < \pi ln e$ e o resto é igual que antes.
E para rematar, en 1987 Fouad Nakhli publicou a seguinte demostración sen palabras no Mathematics Magazine. Aviso de que ás veces as demostracións sen palabras requiren de que o lector encha unhas cantas lagoas:
 |
| Escala totalmente forzada para que se vexa algo |
Vedes? Se tivese unha idea no IASA como a destas tres demostracións, aínda tería sentido que fose levitando no mundo das ideas. Pero non é o caso.
