28.6.25

O mesmo problema de sempre

 

Substituído polo diagrama correcto o día seguinte


Como todos os anos a estas alturas, van aparecendo os problemas da parte práctica da oposición de secundaria (se sodes moi rigorosos, primeira parte, proba A). E como todos os anos, miro por riba para comprobar se hai algún problema sorprendente e/ou fermoso.

E vin varios, nas oposicións de La Rioja, de Andalucía, Navarra... Xunto aos habituais problemas que, no baleiro, poden resultar máis ou menos complicados, pero que dentro deste ecosistema de exercicios repetidos corenta veces e de academias mecanizando a preparación, pasan a ser anacos de texto que hai que memorizar(isto é inevitable).

E tamén vin varios propios do bacharelato, como un de Andalucía no que pedían debuxar a gráfica de $f(x)=\frac{x^3}{(1+2x)^2}$, outro cun cálculo de potencias de matrices, ou un cunha función de densidade na que había que atopar, OH SORPRESA, o valor dun parámetro para que efectivamente fose unha función de densidade.

E dentro destes vin un clásico na proba de Andalucía:

Atopar as dimensións do rectángulo de área máxima que pode inscribirse nunha elipse de semieixes a e b.

Se non houbese tantos contidos que tratar de xeito acelerado no bacharelato (basicamente por 2 razóns: o que non se fai na ESO e o maldito curriculum en espiral), calquera alumno espelido, despois de facer uns cantos, vería o padrón que cumpren moitos destes problemas de optimización. Que basicamente se resume en "optimizar un produto coñecendo unha suma".

A situación é a seguinte:

   Tacitamente, todos pasamos por riba rectángulos oblicuos, non?

Que claramente pide que expresemos a área, orixinalmente $A(x,y)=4xy$, como función dunha soa variable. Para o que hai que utilizar que o punto está na elipse. O típico e, neste caso, aburrido abondo.

Imos tomar un camiño alternativo que só usa a desigualdade entre as medias aritmética e xeométrica, plasmada na imaxe da cabeceira (que tamén inclúe a media harmónica, por tradición, e podería incluír a cuadrática, mais non está porque enlea o diagrama), e que podemos demostrar nunha liña:

$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \geq 0 \rightarrow x-2\sqrt{xy}+y \geq 0 \rightarrow \frac{x+y}{2} \geq  \sqrt{xy} $$

E a igualdade só se pode obter cando $\sqrt{x}=\sqrt{y}$, i.e., $x=y$.

Elevando ao cadrado, $xy \leq \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 \rightarrow 4xy \leq x^2+2xy+y^2 \rightarrow xy \leq \frac{x^2+y^2}{2}$, versión que é acaída agora.

Como podemos utilizar este feito básico no problema da oposición? Pois cun truco alxébrico, comezando por escribir a ecuación da elipse sen denominadores:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \rightarrow b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$

Optimicemos $4 bx\cdot ay$ :

$$4 bx\cdot ay \leq 4 \cdot \frac{(bx)^2+(ay)^2}{2}=2 (b^2x^2+a^2y^2)=2a^2b^2$$

Polo que a área máxima é $2a b$ e é obtida cando $bx=ay$, i.e., 

$$y=\frac{bx}{a}\rightarrow b^2x^2+a^2 \left(\frac{bx}{a} \right)^2=a^2b^2 \rightarrow b^2x^2+b^2 x^2=a^2b^2 \rightarrow $$

$$2x^2=a^2  \rightarrow  x= \frac{a}{\sqrt{2}} \rightarrow y= \frac{b}{\sqrt{2}}$$

Coñecido o truco, pode utilizarse para todas as situacións análogas, en 2D ou 3D, como optimizar áreas ou volumes de corpos sólidos inscritos noutros. Por regra xeral, require menos manipulacións alxébricas.


7.6.25

Un problema da TAMU

 

O acrónimo estraño do título é o que aparece no concurso de Matemáticas de instituto da Universidade A&M de Texas. Coñezo este concurso desde hai máis de dez anos e nunca mirara que significa A&M. Polo visto orixinalmente esta institución chamábase Agricultural and Mechanical College of Texas. Cambiou en 1963 (sería pola efeméride?) ao actual e misterioso A&M Texas University. Outra anécdota de siglas que despistan, como o nome do xogador dos Lakers do Showtime A.C. Green

O concurso ten distintas versións, AB, BC, CD, DE e EF, dependendo das dúas materias máis avanzadas que estudasen os alumnos: A- Pre-Álxebra, B- 1º curso de Álxebra, C- Xeometría, D- 2º curso de Álxebra, E- Trigonometría e Xeometría Analítica, F- Matemáticas Avanzadas. E é habitual que aparezan pequenas marabillas elementais, como esta que traio hoxe do concurso BC de novembro de 2024:


Dentro dun cadrado dous vértices opostos son unidos mediante 3 segmentos de lonxitudes 5, 1 e 4, como amosa a figura. Atopa a área da rexión sombreada.

   
Xa comentei en bluesky que a figura non está feita a escala, e agora non sei se foi adrede ou se simplemente non tiveron a paciencia suficiente.

Como é usual neste blog, non quero estragar a experiencia co problema do amable lector, mais tampouco vou deixar pasar a oportunidade de dicir algo, quizais non inmediato:


En primeiro lugar, se xeneralizamos o problema cambiando os datos 5, 1, 4 por a+1, 1, a, non vos poño a expresión pero é elocuente.

En segundo, observade que cousa bonita:

Coa escolla de cores que fixen, isto tería que
ser o taboleiro dun xogo de mesa, non si?


Para que vexades a variedade, neste mesmo concurso, que ten 20 cuestións, esta é a 14:

Considera a fracción $\frac{6n-1}{7n+1}$, sendo n un natural. Atopa o mínimo valor de n para o cal a fracción non é irredutible.

Tentade resolvelo sen ir probando os números naturais en orde(que tampouco leva moito).

27.5.25

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 5

 

Chegamos ao final da olimpíada deste ano, e onde eu agardaba algún razoamento combinatorio, atopamos outro problema xeométrico.


Xustifica se a área da lúnula sombreada (figura con forma de cuarto menguante de lúa) é maior, menor ou igual á área do cadrado sombreado

    

Se non coñeciades xa esta figura, sede sinceros, que pálpito tedes con respecto a esas áreas?


Como sempre, é máis sinxelo criticar a elección dos problemas dun concurso deste tipo que traballar e poñerse a cavilar un. Indepentemente das teimas de cada quen(as miñas expresadas nestas últimas cinco entradas), houbo problemas ben fermosos nesta edición. Vémonos na seguinte fase local, zona de Ferrol, se non pasa nada raro.

26.5.25

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 4

 

O cuarto problema da fase final, despois de dous problemas "de números" e un de lóxica, parecía claro que ía tratar de xeometría. Velaquí:


Calcula a área do semicírculo sabendo que o triángulo no que se apoia é rectángulo

   

Non o vou negar, a min estes problemas sempre me encantan. E canto máis simples sexan en aparencia, mellor.

Nesta situación, que en canto tentedes resolver veredes que é a ben coñecida do cadrado inscrito nun triángulo rectángulo, o uso da semellanza parece obrigado. E pola miña experiencia, pode suceder que a estas alturas de 2º de ESO os alumnos aínda non a traballasen. Nos centros nos que preparen especificamente ao alumnado para a olimpíada non terán ese obstáculo, claro. Sería interesante que sucedería cos participantes que só estivesen provistos do Teorema de Pitágoras. Pois non parece doado obter o valor do radio nese caso.

Na vindeira entrada remataremos esta xeira.


25.5.25

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 3

 

O terceiro problema da fase final, de lóxica, como os das revistas de pasatempos ou os libros de brain teasers


Ana, Lía, Mía e Mara van a uns grandes almacéns. Unha delas compra un reloxo, a outra un libro, a terceira unhas zapatillas e a cuarta un teléfono móbil. Os almacéns teñen catro pisos e en cada un deles só se vende un tipo de artigo. Ten en conta as seguintes pistas:

  • Ana compra no primeiro piso e Mía no segundo.
  • Os reloxos cómpranse no cuarto piso.
  • Lía compra un libro.
  • Ana non compra un teléfono móbil.
Que compra cada unha e en que piso?

Para os profesores que me lean: resolvelo sen escribir nada é un exercicio para a memoria operativa(eu tento nas clases que os alumnos fagan imaxes mentais de figuras elementais e que as transformen con rotacións ou simetrías, xa podedes imaxinar, sen moito éxito). Para nós non debería levar medio minuto.

O que non puiden evitar foi decatarme de que había dous nomes coa mesma inicial, cousa que nunca faría nun problema inventado por min. Quedei coa sensación de que hai algunha mensaxe oculta entre os nomes das rapazas e os artigos que mercan. Tranquilos, xa quito o sombreiro de papel de aluminio.

Cos problemas de Lóxica fun cambiando de opinión. De cativo, cando estaba eu en BUP, encantábanme. Sigo poñendo algún de vez en cando no medio dos Problemas Difíciles para Xente Intelixente, pero dalgún xeito perdín aquel vello entusiasmo. 

Recapitulando: levamos dous problemas de números, un de lóxica. Que sorpresas haberá...