A conxectura Collatz

Aproveitando que no verán ninguén le este blog, vou responder a unha petición que me fixeron esta semana, e vou explicar brevemente a Conxectura Collatz, tamén chamada Conxectura 3n+1 (por razóns que serán obvias nunhas liñas). Este problema axústase perfectamente ao contido deste blog porque para entendelo só é necesario dominar as operacións aritméticas básicas. Imos aló.
Primeiro a descrición do algoritmo que imos seguir e despois uns exemplos.
Collede un número natural calquera (naturais son os números que usades para contar, 1,2,3,4...). Se o número é par, dividídeo entre 2, se é impar, multiplicádeo por 3 e sumádelle 1 ao resultado. Repetide o proceso.

Agora os exemplos.

Se escollemos ao comezo o número 5, a sucesión de números que obtemos é:

De tal xeito que, cando chegamos ao número 1, entramos nun bucle: 1,4,2,1,4,2,1,... (Observade que os números pares aparecen en rectángulos redondeados e os impares en rectángulos normais)

Se probamos con outro número calquera, por exemplo o 26:

Observamos que, outra vez, a sucesión chega a un bucle 4-2-1. Pois ben, o feito de que sempre suceda isto con calquera número natural que comecemos é a chamada Conxectura Collatz (polo matemático alemán Lothar Collatz, que a propuxo en 1937).
Vexamos algunhas sucesións máis:

• 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
• 45, 136, 68, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
• 100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

E o sorprendente ciclo do 27:

• 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

Ben, se queredes probar vós mesmos con outros números, recoméndovos que non fagades moitas contas "a man", non vaia ser que vos ocorra o que comenta esta historia de xkcd. Como alternativa sen necesidade de programar vós mesmos o algoritmo (que por outra banda é ben sinxelo), tedes unha calculadora de sucesións neste artigo de +plus magazine. Só tedes que introducir o número inicial no Hailstone Evaluator e darlle a "Show Sequence". Hai moitas máis opcións na rede, por exemplo esta, que permite tamén ver unha gráfica das "alturas" dos números da sucesión.
Non é sorprendente que un problema tan sinxelo de entender resulte tan esquivo para os esforzos de matemáticos de todo o mundo? E non é, nin de lonxe, o único caso.

Nota: os diagramas deste post foron elaborados con Cacoo, unha ferramenta gratuíta online.