Unha sorpresa elemental

Na penúltima folla de problemas que utilicei en 4º de ESO (este ano comezamos por unha unidade propia de 3º, pois non deu tempo a traballala no seu curso) introducín estes dous:

8) Encuentra la longitud de $\overline{EF}$ si $\overline{AB}, \overline{CD}$ y $\overline{EF}$ son perpendiculares a $\overline{AC}$ y la longitud de $\overline{AC}$ es 31.

   

8 bis) Dos postes de p y q metros de altura y perpendiculares al suelo están a una distancia de x metros. Dibujamos dos segmentos rectilíneos del extremo superior de cada poste al pie del otro poste. Calcula la altura a la que se encuentra el punto de intersección de los dos segmentos.

Estou case convencido que a idea interesante baixo estes dous problemas xa apareceu neste blogue, mais non a dou atopado. Tentade resolvelos e atopar a idea antes de ver o seguinte applet:

Para resolvelos hai que observar a semellanza de dúas parellas de triángulos rectángulos, nada máis. Porén, explicar nunha aula por que non varía a altura do punto de intersección conforme a distancia aumenta non é tan sinxelo. No feito de que non sexa intuitivo que a altura non varíe, lembra lixeiramente ao problema do cinto arredor do ecuador que xa trouxen hai 7 anos(!). Coido que é moi formativo que os alumnos tenten explicar, alén das contas alxébricas, por que sucede. Resultoume moi interesante o diálogo na aula.

Poderíamos dicir, dun xeito máis abstracto, que a función altura do punto de intersección coa variable independente distancia entre os pés é constante. Sobre todo se queremos que ninguén saiba de que falamos, e que se note en que facultade estudamos.