Solución do problema 8 do nadal

Animado polas dúas entradas que dedicou Cibrán ao oitavo problema que publiquei en nadal(Prólogo, Solución), vou traer a solución que atopara eu hai cousa de 15 anos. A que achega Cibrán é moito máis informativa e algo máis sofisticada; esta, en troques, é susceptible de ser atopada sabendo menos cousas.

Lembremos o problema:

A sucesión real $x_1,x_2,x_3,\dots$ é definida mediante $x_0=1$, $$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$

Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

A estratexia vai consistir en buscar unha recorrencia máis sinxela para a sucesión, na que non apareza a raíz cadrada nin a fracción. Imos:

$$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}⟹2x_{n+1}-3x_n=\sqrt{5x_n^2-4}$$
$$(2x_{n+1}-3x_n{)}^2=5x_n^2-4⟹4x_{n+1}^2-12x_{n+1}{x}_n+9x_n^2=5x_n^2-4$$
$$4x_{n+1}^2-12x_{n+1}{x}_n+4x_n^2=4⟹x_{n+1}^2-3x_{n+1}{x}_n+x_n^2=-1$$

Escribindo a anterior igualdade para n-1:

$$x_n^2-3x_n{x}_{n-1}+x_{n-1}^2=-1$$

Restamos as dúas igualdades:

$$x_{n+1}^2-x_n^2-3x_{n+1}{x}_n+3x_n{x}_{n-1}+x_n^2-x_{n-1}^2=-1+1$$
$$x_{n+1}^2-x_{n-1}^2-3x_{n+1}{x}_n+3x_n{x}_{n-1}=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n-1})-3x_n(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n)(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
O segundo factor, $x_{n+1}-x_{n-1}$, non pode ser nulo, pois
$$x_{n+1}\ge \frac{3x_n}{2}>x_n\ge \frac{3x_{n-1}}{2}>x_{n-1}$$
Polo que a sucesión cumpre
$$x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n=0⟹x_{n+1}=3x_n-x_{n-1}$$

Como nesta condición de recorrencia só interveñen produtos e restas, e os dous primeiros termos da sucesión son enteiros, todos os termos son enteiros, q.e.d.

Como apunta Cibrán, en realidade non é que sexan enteiros, é que $x_n=F_{2n+1}$, mais iso queda fóra do alcance desta solución.

Editado o 14/2/18: puxen ben o signo do 1 na igualdade á que cheguei. Non inflúe na solución, pois o esencial é que os dous membros da esquerda coincidan.