Solución a Un rectángulo e tres inradios

Nos comentarios á entrada Un rectángulo e tres inradios contestei que a demostración que pensei cando escribín esa entrada era ben fea. Tiven un anaco e deille outra volta, e cheguei a unha proba sinxela e rápida.

O esencial da demostración é unha expresión alternativa para o inradio dun triángulo rectángulo, obtida a partir de $sr=\mathrm{\Delta }$ e o ubicuo Teorema de Pitágoras. Vexámolo primeiro:

   

$$sr=\mathrm{\Delta }\to \frac{a+b+c}{2}\cdot r=\frac{bc}{2}\to r=\frac{bc}{a+b+c}$$

$$r=\frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)}\to r=\frac{bc(b+c-a)}{(b+c{)}^2-a^2}$$
$$r=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}\to r=\frac{b+c-a}{2}$$
Esta última expresión vai facilitar o choio. Vaiamos agora ao problema orixinal:

   

$$r_1+r_2+r_3=\frac{AH+DH-AD}{2}+\frac{CH+DH-CD}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}=$$
$$\frac{AH+DH-AD+CH+DH-CD+AB+BC-AC}{2}=\frac{2DH}{2}=DH$$
onde utilizamos que $AH+CH=AC$, $AD=BC$ e $CD=AB$

Aínda que non o lembro, aposto que esta foi a demostración que fixen a primeira vez que vira o problema, e non a zarangallada alxébrica que montei desta.