Oposicións a profesorado de secundaria de Matemáticas 2018

Onte, sábado 23, celebrouse a presentación e a proba práctica do concurso-oposición de profesorado de secundaria. Este ano, como novidade, os opositores podían escoller entre dúas opcións no exame práctico, cada unha con 5 exercicios para resolver, o que lembra á estrutura da ABAU. Polo que se dicía fóra do IES Elviña da Coruña(unha das dúas sedes do proceso) e o resultado dunha enquisa nun grupo de profesores de Matemáticas en Facebook, a opción B foi a máis escollida por moita diferenza. Tendo en conta que na opción A había un exercicio no que se falaba de ideais maximais, que é un tema que non aparece moito nos prácticos, é posible que iso botase para atrás aos opositores. Ou tamén que o último exercicio falaba da parametrización da cicloide, que está nos propios temas teóricos da oposición, e é unha cousa que ou ben sabes ou é complicado que che saia nas condicións dunha oposición.

Pois ben, nesa opción minoritaria, A, había un pequeno problemiña, probablemente o máis sinxelo da opción, que a min me prestou moito. Observade:

Nunha división coñecemos o dividendo, 258728, e os restos sucesivos que se obtiveron ao ir efectuando a división, que son 379, 480 e 392. Atope o divisor e o cociente. Existe máis dunha división? Xustifique a relación deste problema co currículo dunha materia desta especialidade.

Mentres pensades na solución e para afastar a miña, déixovos unha imaxe fermosa da sucesión de Recamán que vin en reddit:

Inspirada polo vídeo de Numberphile sobre a sucesión

Vexamos o problema entón. Se o dividendo ten 6 cifras e obtemos sucesivamente 3 restos parciais distintos, podemos concluír que o divisor ten polo menos 3 cifras pero como moito 4. Vendo os restos parciais, o divisor ten que ser maior que 480.

Con isto xa podemos comezar a traballar sobre a imaxe seguinte, que bastante choio me deu facela no Libre Office Math:

    

Realmente o que hai que facer é razoar sobre como funciona o algoritmo da división. Para comezar, dividimos 2587 entre d e obtemos de resto 379, en linguaxe de congruencias, $2587 \equiv 379(mod \ d)$. Por tanto, $2587-379$ é múltiplo de d. Sucesivamente, ocorre o mesmo con $3792-480$ e con $4808-392$. Por tanto:

$$\begin{cases} 2208=\dot{d} \\ 3312=\dot{d} \\ 4416=\dot{d} \end{cases}$$

Deducimos que d é divisor dos números 2208, 3312 e 4416, polo que é divisor do  máximo común divisor deses tres números, é dicir,
$$(2208,3312,4416)=(2208,3312)=(2^5 \cdot 3 \cdot 23, 2^4 \cdot  3^2 \cdot 23)=2^4 \cdot 3 \cdot 23=1104$$
Aínda que 1104 ten 20 divisores, só nos interesan os que sexan maiores que 480, polo que nos restrinximos a 552 e 1104. E os dous valores dan lugar a solucións:

    

      

O lector avisado detectará a reutilización do código da división de arriba no Math.

Ah, e a parte de relacionar co curriculum queda como exercicio para o lector...