A proxección estereográfica

Un dos temas elementais que aparecen en varias materias dos primeiros cursos da carreira de Matemáticas é a proxección estereográfica(outro é a desigualdade de Cauchy-Schwarz-etc.). Se non lembro mal, vina por primeira vez en Topoloxía dos Espazos Euclidianos, como exemplo de homeomorfismo entre a circunferencia agás o polo norte e a recta:

   

O mecanismo queda claro na imaxe: dado un punto P na circunferencia, unímolo co polo norte, N, e prolongamos a recta ata que corte ao eixe de abscisas nun punto P'. Vemos que deste xeito, todos os puntos da circunferencia agás o propio polo norte están asociados a un único punto do eixe. Isto resúmese elegantemente dicindo que a recta é unha circunferencia á que lle quitamos un punto.

Hai moito que roer nesta idea aparentemente sinxela, moitas puramente xeométricas e topolóxicas; porén, a miña preferida é a parametrización racional da circunferencia, que proporciona un xeito de atopar as ternas pitagóricas. Brevemente, se queremos atopar as ternas de números enteiros (a,b,c) que cumpren a ecuación diofántica $a^2+b^2=c^2$, dividindo entre $c^2$, o choio é equivalente a atopar os puntos con coordenadas racionais que cumpren $\left( \frac{a}{c} \right)^2+\left( \frac{b}{c} \right)^2=1$, i.e., os puntos racionais na circunferencia $x^2+y^2=1$ Se collemos un punto racional no eixe de abscisas, $\left(\frac{p}{q},0 \right)$, unímolo co polo norte e intersecamos coa circunferencia unidade:

$$\frac{x-0}{\frac{p}{q}-0}=\frac{y-1}{0-1} \rightarrow y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}}$$

$$ \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}} \end {cases}$$

Where the magic happens...

$$(x,y)=\left( \frac{2pq}{p^2+q^2},\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2} \right)$$

E as ternas pitagóricas primitivas (a,b,c) teñen o aspecto $a=2pq, b=p^2-q^2, c=p^2+q^2$

Unha marabilla da que nunca fartarei.

Nota autobiográfica: a primeira vez que vin a expresión das ternas pitagóricas primitivas non apareceu no transcurso dun razoamento xeométrico como este, senón coa dedución aritmético-alxébrica estándar.  O que provocou unha sorpresa maior no mozo que eu era, ao ver que as expresións coincidían coas dun cambio de variable para o cálculo de integrais trigonométricas, o ubicuo $tan \frac{x}{2}=t$

Desde o punto de vista xeométrico, resulta aínda máis interesante analizar o que sucede se subimos a dimensión 3, identificando a esfera agás un punto co plano. Por exemplo, a dimensión extra permite xogar a adiviñar o efecto que ten a proxección estereográfica sobre curvas planas, i.e., cal é a imaxe dentro da esfera dunha familia uniparamétrica de puntos. O caso máis sinxelo é o das liñas rectas, que se non coñecedes, podedes adiviñar; nesta figura aparece a recta $y=1- \frac{5x}{2}$

   

Isto non é máis que o comezo. De que curva procede esta imaxe?

   Tede en conta que a imaxe está elaborada co trazo dun punto e o discreto en realidade é continuo

As posibilidades son innumerables, déixovos aquí un simple applet para que investiguedes. Se utilizades a caixa de entrada da xanela superior, só poderedes introducir funcións nunha variable; para introducir curvas que non sexa gráficas de funcións dunha variable teredes que machacar directamente a expresión da función f na xanela alxébrica(por iso está visible):

Todas as ferramentas que se poden incluír están ao servizo de que poidades mover e escalar ao voso gusto a figura. Así que veña, a fedellar.


Agardo ter contribuído un chisco a que a proxección estereográfica vos pareza tan fermosa como a min. Tanto como ao J dos 18 anos sería excesivo.