Encubrindo as ideas

Unha das miñas queixas como alumno da antiga carreira de Matemáticas consistiu sempre en que as ideas quedaban encubertas no vórtice de demostracións e procedementos que víamos a fume de carozo. Mencionei esta teima en varias ocasións en twitter(1,2); precisamente aí lembrei unha das primeiras demostracións sen motivación que sufrín na carreira, tan cedo como na primeira semana de clase de Funcións dunha Variable Real I. Nesa primeira semana vimos como o corpo dos números racionais, cumprindo case todas as propiedades que cumpre o corpo dos números reais, fallaba nunha crucial, a da orde, que se chama tradicionalmente "Axioma do supremo". Explicarei brevemente de que vai o conto.

Unha cota superior dun conxunto é o que parece ser, un número maior que todos os dese conxunto (outra cousa non, pero en Matemáticas non enganamos cos nomes). Que é o supremo dun conxunto? Pois é a menor das cotas superiores. Así de simple. Se pasastes polas Matemáticas de BUP ou do bacharelato actual, teredes un coñecemento intuitivo de que todos os conxuntos limitados superiormente teñen supremo, pois a continuidade dos números reais impregna todo o que se fai despois, p.ex. o cálculo infinitesimal. O problema radica en que non todos os corpos numéricos teñen esta propiedade, e para ver que $\mathbb{Q}$ non cumpre o axioma, o exemplo estándar é $A=\{ x \in \mathbb{Q} / x^2 < 2 \} $

Como van 24 anos (e tres semanas) desde  que vin isto en Funcións I, pasei de xeito intermitente varias tardes tentando lembrar a demostración que nos fixeron. Contra todo prognóstico, tiven éxito.

Para ver que non hai supremo, supoñamos por redución ao absurdo que si que o hai, chamémolo $\alpha$. Poden suceder 2 cousas, ou ben $\alpha \in A$ ou ben $\alpha \notin A$

• Supoñamos primeiro que $\alpha \in A$. Collamos $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tal que $0<\epsilon< min \bigg \{ 1,\frac{2-\alpha^2}{2 \alpha+1} \bigg \}$

Entón teremos que $$(\alpha+ \epsilon)^2=\alpha^2+\epsilon(2\alpha+\epsilon) \leq \alpha^2+\epsilon (2 \alpha+1) <  \alpha^2 +\frac{2-\alpha^2}{2 \alpha+1} (2 \alpha +1)= \alpha^2+ 2 -\alpha^2=2 $$

Polo que $\alpha$ non pode ser o supremo de A, pois nin sequera é unha cota superior de A, ao atoparmos outro número maior que $\alpha$ dentro de A.

• Supoñamos agora que $\alpha \notin A$. Hai dúas posibilidades, ou ben $\alpha^2=2$ ou ben $\alpha^2>2$.
• O primeiro caso fora demostrado en 1º de BUP, polo que o profesor non se parou, a demostración máis rápida debe de ser esta: Se $\alpha^2=2 \rightarrow \alpha=\sqrt{2}$. Supoñamos que $\alpha \in \mathbb{Q}$, entón $\exists p,q \in \mathbb{N}/ \sqrt{2}=\frac{p}{q} \rightarrow 2= \frac{p^2}{q^2}$, de onde $2q^2=p^2$, se observamos as descomposicións en factores primos dos dous membros, vemos que o membro da dereita terá un número par de factores 2(pode que 0), mentres que o da esquerda ten un número impar, q.e.d. (A demostración de 1º de BUP era moito más minuciosa, explicando polo miúdo como son os cadrados dos pares e dos impares, e caera como teoría no exame da 1ª avaliación)
• O segundo caso, $\alpha^2> 2 $, é semellante ao caso no que $\alpha$ estea en A. Agora collemos $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tal que $0<\epsilon< \frac{\alpha^2-2}{2 \alpha} $. Entón teremos que $2 \alpha - \epsilon < 2 \alpha$, e $(\alpha - \epsilon)^2=\alpha^2- (2\alpha - \epsilon) \epsilon > \alpha^2 - 2 \alpha \epsilon > \alpha^2 - (\alpha^2 -2)=2$ Concluímos que $\alpha - \epsilon < \alpha$, $\alpha - \epsilon  \notin A$, e vemos que $\alpha$ non pode ser supremo, ao existir outro número racional menor que tamén é cota superior de A.

Se fixestes o esforzo de ir pelexando cos detalles da demostración, sabedes o que é case seguro que sucedeu? Que perdestes o sentido da demostración. De que vai esta demostración? É importante a escolla precisa dos valores de $\epsilon$?  En realidade é máis importante saber que podemos coller valores racionais que cumpran esas desigualdades que o valor concreto deses valores, pois esa posibilidade é un disfrace da propiedade arquimediana ¹ do corpo dos números racionais, que afirma que dado un número racional calquera, sempre hai un natural maior.

Como podería mellorar esta demostración? Proporcionando unha motivación ao lapote que supón a expresión do número auxiliar $\epsilon$. Observade só o esbozo do que podería ser, no primeiro caso da demostración, $\alpha \in A$:

Queremos un número racional maior que $\alpha$ que siga dentro de A, vexamos que pasa se lle sumamos a $\alpha$ un racional co aspecto $\frac{1}{n}$, sucesión ben coñecida que tende a 0, e impoñemos que o seu cadrado sexa menor que 2:

$ \left( \alpha + \frac{1}{n} \right)^2= \alpha^2 +\frac{2 \alpha} {n}+ \frac{1}{n^2} < 2 \rightarrow \alpha^2 n^2 + 2 \alpha n +1 < 2n^2 \rightarrow ( \alpha^2-2) n^2 +2 \alpha n + 1 < 0 $


Paro aquí. Observade os coeficientes do polinomio en n. Agora que xa temos a intuición da existencia do racional ε, podemos preocuparnos pola parte técnica. Agora. Non antes.

O caso no que $\alpha \notin A$ é semellante, só cambian detalles técnicos.

---

1 Pouco despois naquel curso utilizabamos o axioma do Supremo en $\mathbb{R}$ para demostrar a propiedade arquimediana.^↩