Uns puzzles só para pensar

Par+Impar=Par? Descansa, Wiles.

Na anterior entrada compartín uns puzzles cun certo aquel físico, nos que había a posibilidade de coller coas mans os obxectos que aparecían neles para axudar ao razoamento. Os problemas de hoxe, en troques, son puramente técnicos. O que ten o seu lado bo, como entenderedes neste chiste:

Un día estaba o director do departamento de Física dunha universidade preocupado polos gastos de laboratorios e equipamentos. "Por que non podedes ser como os vosos compañeiros de Matemáticas? Eles só necesitan cartos para lapis, papel e papeleiras. Ou mellor aínda, sede como os compañeiros de Filosofía. Só necesitan lapis e papel"

Pois ben, hoxe abonda con papel e lapis, e nalgún caso nin papel nin lapis son necesarios.

• Por que non pode existir un poliedro que teña exactamente 7 arestas?


• Sodes quen de atopar unha curva no espazo que corte a todos os planos mais só nun número finito de puntos?(Bonus: e se é finito pero sen límite superior?)


• É ben sabido que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é numerable, pois é consecuencia dun teorema moito máis forte: o produto cartesiano finito de conxuntos numerables é numerable. Por tanto non debe ser difícil atopar explicitamente a expresión alxébrica dunha bixección entre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$  e $\mathbb{N}$. É máis, pódese atopar unha bixección polinómica. Ánimo.


• Na unidade de Divisibilidade de 1º ou 2º de ESO cabe a posibilidade de que apareza a seguinte igualdade: $$[a,b] \cdot (a,b)=a \cdot b$$, onde [a,b] representa o mínimo común múltiplo de a e b, e (a,b) o seu máximo común divisor. A demostración é sinxela se un sabe previamente como calcular o m.c.m. e m.c.d. a partir dos factores primos de a e b. Pensemos agora en tres números, a, b e c. Haberá unha fórmula análoga para o produto de a, b e c? A analoxía perfecta non se cumpre, como podedes ver cun caso calquera, p.ex. 6·8·15=720, mentres que [6,8,15](6,8,15)=120 · 1


• Collamos nun cubo dúas diagonais que se crucen, na figura debuxei BD e EG. Se collemos puntos calquera M en BD e N en EG, e atopamos o punto medio do segmento MN, P, que lugar xeométrico percorre P cando M e N varían?

E se as diagonais non se cruzan?

Xa tedes para pensar un anaco cando descansades de limpar a casa.