Unha desigualdade non tan coñecida

 Volvamos sobre unha idea que xa pasou tanxencialmente por este blog:

Coñecemos as medidas de dúas alturas dun triángulo, 2 e 3 cm. Cales son as posibles medidas da terceira altura?

Uns apuntamentos rápidos sobre a construción de triángulos dadas as alturas:

Como o produto de lado por altura correspondente é constante, os lados e as alturas son inversamente proporcionais, en nomenclatura pouco usada en España, 

$$a:b:c=h_A:h_B:h_C$$

Polo que, se construímos un triángulo que teña por lonxitudes dos lados $h_A,h_B, h_C$, as alturas deste novo triángulo van ser inversamente proporcionais a $h_A,h_B, h_C$, e por tanto, directamente proporcionais aos lados do triángulo orixinal, a, b e c. Polo que podemos construír un triángulo semellante ao triángulo de lados a, b e c simplemente debuxando un con lados as alturas do triángulo de lados $h_A,h_B, h_C$. E para construír o triángulo de lados a, b e c, impoñer que estea entre dúas rectas paralelas a distancia a altura que queiramos.

Ou tamén podemos notar que os lados a, b e c son directamente proporcionais ás cantidades $h_B \cdot h_C, h_A \cdot h_C, h_A \cdot h_A$, e facer primeiro un triángulo con estas cantidades, que será semellante ao buscado, etc.

E sempre temos a opción de fedellar nun mar de igualdades e atopar o valor explícito dos lados en función das alturas, claro. Pero bonito, bonito, non é. Déixovos a expresión da altura relativa ao lado a para que busquedes como darlle vós a volta:

$${h_A}^2=\frac{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}{4a^2}$$

Aínda que é certo que é sinxelo chegar a esta expresión, se sabes por onde tirar.