Problemas elementais variados

 

Nos últimos días fun recollendo de diversas fontes problemas para os que non é necesaria a utilización de técnicas nin ferramentas sofisticadas, o cal non garante en absoluto que vaian resultar sinxelos.

Nun cuadrilátero ABCD marcamos os puntos medios dos lados BC e AD, M e N. Unimos M con A e D e N con B e C, e chamamos P á intersección dos segmentos AM e BN e Q á de MD e CN. O debuxo explica todo rapidamente:

Intúese o que hai que amosar?

Nestas condicións, probar que a área do cuadrilátero azul coincide coa suma das áreas dos triángulos maxenta e laranxa.

Por certo, estou case convencido de que compartín unha figura dun cuadrilátero moi semellante á anterior. Pero facendo as pescudas evidentes non a dou atopado no arquivo do blog, e mirar as case oitocentas cincuenta entradas...

Agora un de números:

Atopar dous números naturais distintos x e y que cumpran que $x+n$ é divisor de $y+n$ para $n=0,1,\dots,10$

Aviso: este problema reformula unha cuestión tan coñecida dos números naturais que xa practicamente é un tópico en divulgación, libros de problemas, etc. Pero hai que darlle unhas voltas á cabeza para ver por onde vai. 

Veña, o seguinte é axeitado para preguntar nunha aula:

Amosar que se dous segmentos que miden o mesmo se intersecan xusto no punto medio, os 4 extremos son os vértices dun rectángulo.

      

Agora a típica tarefa cunha calculadora escarallada:

Imaxinade que nunha calculadora as únicas operacións dispoñibles son +, – e ²

Como argallaríades para atopar o produto de dous números, x e y?

Reparade en que non hai ningunha tecla para dividir entre dous.

E para rematar, un problema clásico que admite un feixe de aproximacións distintas na aula:

Atopa a suma dos ángulos internos dunha estrela de cinco puntas. Hai moitos xeitos distintos de atopala, a ver cantos dás feito.

    

Xa tedes abondo para pensar nas avaliacións cando non funcione o xade.