Solución a Como ides de intuición(estocástica)?

 

Dado que unha multitude (só direi que hai que usar o plural) me pediu que compartise a solución do problema da entrada anterior, decidín coller a solución que escribín en 2008 e traela aquí. Como vexo un pandemonium de factoriais e números combinatorios, contade con que cometa algún erro, agardemos que só sexan erratas. Ah, e non ides ver ningunha gran intuición, só un traballo de libro.

Lembremos o problema: se temos nunha urna 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis, e imos extraendo unha a unha, cal é o número esperado de bólas verdes que quedan na urna cando extraemos a última bóla azul?

En primeiro lugar, as bólas azuis poden desaparecer, como moi cedo, na 8ª extracción, e como moi tarde, na 80ª. Se desaparecen na k-ésima extracción, quedarán 80-k bólas verdes. Só hai que calcular a probabilidade de que as bólas azuis desaparezan na extracción k-ésima e multiplicar por 80-k(e sumar, claro).

Chamándolle $A_k=$ "as bólas azuis desaparecen na k-ésima extracción", temos:

$$P(A_1)=P(A_2)= \dots P(A_7)=0$$

$$P(A_8)=\frac{8}{80}\cdot \frac{7}{79}\dots \frac{2}{74}\cdot \frac{1}{73}=\frac{8! 72!}{80!}=\frac{1}{\binom{80}{8}}$$

(Número final que podía verse desde o comezo, pero é a miña natureza sobreexplicar, polo menos no primeiro exemplo)

$$P(A_9)=\frac{\binom{8}{1}}{\binom{80}{8}}$$

pois hai 8 lugares onde colocar a bóla verde.

E sucesivamente

$$P(A_{10})=\frac{\binom{9}{2}}{\binom{80}{8}}$$

$$\dots $$$$P(A_k)=\frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}}$$

Logo o número esperado de bólas verdes que quedarán é:

$$\sum_{k=8}^{80} (80-k) \frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}} \overset{\mathrm{l=k-8}}{=}\sum_{l=0}^{72} (72-l) \frac{\binom{l+7}{l}}{\binom{80}{8}}=\frac{1}{\binom{80}{8}} \sum_{l=0}^{72} (72-l) \binom{l+7}{7} $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \sum_{l=0}^{72} \binom{l+7}{7} - \sum_{l=0}^{72} l \binom{l+7}{7} \right]=\frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \cdot \binom{80}{8} - \sum_{l=0}^{72} 8 \binom{l+7}{8} \right]= $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \binom{80}{8}-8 \binom{80}{9}\right]=\frac{\binom{80}{9}}{\binom{80}{8}}=8$$

Onde utilicei que $72 \binom{80}{8}=9 \binom{80}{9}$, pois ambos os dous coinciden con $80 \binom{79}{8}$

En conclusión, o número esperado de bólas verdes cando non queden bólas azuis é 8. Que, resulta intuitivo? Esperabades máis bólas verdes?

Como ides de intuición (estocástica)?

The Bent, símbolo da sociedade, vén sendo
unha peza do cabalete dunha ponte

 Revisando o meu vello arquivo de problemas, sección Escila (de xeito nada rimbombante tampouco, a outra sección é Caribdis, obviamente), atopei este problema da columna Brain Ticklers na revista The Bent da asociación de enxeñería (ou algo así) Tau Beta Pi. Problema que xa apareceu por aquí, oculto con outros moitos, na macroentrada Problems for the Million, pero como ninguén lle prestou atención ningunha, cando eu creo que é ben fermoso, e dado que o balón é meu e marcho para casa con el se me dá por aí, velaquí:

Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. As bólas son extraídas ao chou sen reemprazamento ata que sacamos todas as bólas azuis. Cal é o número esperado de bólas que quedarán na urna nese momento?

(Nunca vos pasou estar nunha conversa con moita xente, soltar unha brincadeira, e que ninguén a oia? Pois eu son dos que repiten a brincadeira, pero máis alto)

Como dato histórico, o problema ten autor, William Allen Whitworth, matemático inglés do que eu non sabía nada, quen o publicou en 1901. Lendo a súa páxina da wikipedia, achei que Whitworth foi realmente o primeiro que publicou o fermoso Bertrand's Ballot Theorem (non estou seguro de como traducilo, se votación ou elección): Se nunha elección o candidato A obtén p votos e o candidato B obtén q votos, con p>q, cal é a probabilidade de que o candidato A fose sempre por diante de B no escrutinio? A resposta é unha marabilla, $\frac{p-q}{p+q}$

Antes de que tentedes resolvelo, o máis interesante na miña opinión: cantas bólas estimades que quedarán cando extraiamos todas as azuis? Aposto a que probablemente (no pun intended) ides levar unha sorpresa.