Solución a Como ides de intuición(estocástica)?

 

Dado que unha multitude (só direi que hai que usar o plural) me pediu que compartise a solución do problema da entrada anterior, decidín coller a solución que escribín en 2008 e traela aquí. Como vexo un pandemonium de factoriais e números combinatorios, contade con que cometa algún erro, agardemos que só sexan erratas. Ah, e non ides ver ningunha gran intuición, só un traballo de libro.

Lembremos o problema: se temos nunha urna 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis, e imos extraendo unha a unha, cal é o número esperado de bólas verdes que quedan na urna cando extraemos a última bóla azul?

En primeiro lugar, as bólas azuis poden desaparecer, como moi cedo, na 8ª extracción, e como moi tarde, na 80ª. Se desaparecen na k-ésima extracción, quedarán 80-k bólas verdes. Só hai que calcular a probabilidade de que as bólas azuis desaparezan na extracción k-ésima e multiplicar por 80-k(e sumar, claro).

Chamándolle $A_k=$ "as bólas azuis desaparecen na k-ésima extracción", temos:

$$P(A_1)=P(A_2)=\dots P(A_7)=0$$

$$P(A_8)=\frac{8}{80}\cdot \frac{7}{79}\dots \frac{2}{74}\cdot \frac{1}{73}=\frac{8!72!}{80!}=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}$$

(Número final que podía verse desde o comezo, pero é a miña natureza sobreexplicar, polo menos no primeiro exemplo)

$$P(A_9)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}$$

pois hai 8 lugares onde colocar a bóla verde.

E sucesivamente

$$P(A_{10})=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}$$

$$\dots$$$$P(A_k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{k-8})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}$$

Logo o número esperado de bólas verdes que quedarán é:

$$\sum _{k=8}^{80}(80-k)\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{k-8})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}\stackrel{\mathrm{l}=\mathrm{k}-8}{=}\sum _{l=0}^{72}(72-l)\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+7}{l})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}\sum _{l=0}^{72}(72-l)(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+7}{7})$$ $$\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}[72\sum _{l=0}^{72}(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+7}{7})-\sum _{l=0}^{72}l(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+7}{7})]=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}[72\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})-\sum _{l=0}^{72}8(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+7}{8})]=$$ $$\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}[72(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})-8(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{9})]=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{9})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})}=8$$

Onde utilicei que $72(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{8})=9(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{9})$, pois ambos os dous coinciden con $80(\genfrac{}{}{0ex}{}{79}{8})$

En conclusión, o número esperado de bólas verdes cando non queden bólas azuis é 8. Que, resulta intuitivo? Esperabades máis bólas verdes?