Outra sorpresa no Triángulo de Pascal

Un nunca sabe onde e cando vai atopar algo interesante en Matemáticas. Facendo probas de impresión nunha fotocopiadora en rede (creo que nunca falei no blogue da miña identidade secreta como coordinador) mandei imprimir unhas páxinas ao chou dun libro, The (Fabulous) Fibonacci Numbers, de Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann. Escollín as páxinas cun criterio científico preciso: que tivesen debuxos ou gráficos. E cando lin de verdade as impresións vin isto (en realidade esta figura é miña, é obvio pola escasa calidade gráfica):

Triángulo de Pascal e Potencias de 2

Ben, nada novo nesta figura. A relación entre as ringleiras do Triángulo de Pascal e as potencias de 2 é arquicoñecida. Pode que faga unha entrada de Probas rápidas arredor da idea. Mais agora xiremos as liñas de suma a ver que máis atopamos:

Como non, aparece a Sucesión de Fibonacci

Pero a sorpresa non é grande, verdade? Como o Triángulo de Pascal é construído mediante unha recorrencia onde utilizamos dous termos previos, tampouco é abraiante que apareza Fibonacci a pouco que fedellemos. Mais se escribimos o resultado en forma de sumatorio darémoslle certa escuridade:

$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$$

Chegamos por fin ao obxectivo deste post. Imos poñer unha barreira no triángulo e sumar en horizontal só os números á dereita dela:

Non seguía 32, 64, 128...?

Da sucesión que aparece na columna da dereita xa teño falado neste blogue, concretamente en xuño do 2009 no post Un pouco de melancolía (cando aínda propoñía problemas aos alumnos, melancolía sobre melancolía...). Alá aparece a seguinte figura:

32?

Ao que aluden os números de enriba é á cantidade de rexións determinadas polos segmentos que unen os puntos na circunferencia. Contra todo pronóstico, o seguinte número non é 32:

Xa non sabemos nin duplicar un número?

A relación entre o número máximo de rexións determinadas nun círculo unindo n puntos e a suma dos últimos 5 números (se houberen) da ringleira enésima do Triángulo de Pascal é, a priori, pura maxia. Se queredes saber a explicación e moitas outras aparicións estrañas, déixovos aquí a ligazón á páxina na On-line Encyclopedia of Integer Sequences.