18.6.11

Humor nun exame?

Non estou a falar das respostas risibles que dan algúns alumnos nos exames, das que xa hai unha ampla literatura, e que ademais non adoitan aparecer en Matemáticas senón en Historia ou Lingua. Non, hoxe vou falar dun exercicio-problema que puxen na repesca da 2ª parte da 3ª avaliación do venres (si, tamén había repesca da 1ª avaliación, da 2ª, e da 3ª completa). Póñovos en situación:

O mércores fixemos un repaso de cousas que poderían aparecer no exame do venres. Para que lembrasen que non tódolos problemas xeométricos (áreas e volumes, principalmente) teñen unha solución consistente en ir encadeando o Teorema de Pitágoras dun triángulo rectángulo a outro, propúxenlles resolver o seguinte problema, tirado do exame de Xeometría que puxo a compañeira que dá no outro 3º de E.S.O.:

Un trapecio ten por lados 13 m, 20 m, 19 m e 40 m, sendo os dous últimos paralelos. Calcula a súa área.
Aínda que este problema xa fora resolto hai menos dun mes ninguén lembraba como empezar. Moitos pretendían que as alturas desde os dous vértices superiores deixasen as mesmas lonxitudes aos lados da base inferior, como se o trapecio fose isóscele. E non, non están choscos. A solución é standard, nada fóra do común e aceptable en 3º de E.S.O.:

Utilizando o Teorema de Pitágoras dúas veces:
h^2=13^2-x^2 \\h^2=20^2-(21-x)^2
Igualando os valores de h:
13^2-x^2=20^2-(21-x)^2 \rightarrow (21-x)^2-x^2=20^2-13^2 \rightarrow \\
21 \cdot (21-2x)=33 \cdot 7 \rightarrow 21-2x=11 \rightarrow x=5
E así:
h=\sqrt{13^2-5^2}=12
e a área é
\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(40+19)\cdot 12}{2}=354 m^2

Agora que coñecemos os antecedentes, vexamos o problema que puxen no exame mencionado:

Atopar a área do triángulo seguinte:
É obvio que funciona a mesma estratexia que no caso do trapecio,neste caso algo simplificada, pois só temos unha altura ao termos un único vértice superior. A solución de xeito acelerado sería:

6^2-x^2=8^2-(10-x)^2 \rightarrow 10(10-2x)=14\cdot 2\rightarrow x=3.6 \rightarrow h=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8
E a área é:
\frac{10 \cdot 4.8}{2}=24
E onde está o humor en todo isto?
Dúas horas despois tiñamos titoría, resolvimos o problema e pregunteilles se non vían ningunha relación entre o valor da área e as dimensións do triángulo. Unha alumna observou que coincidía co perímetro do triángulo,24=6+8+10, o cal é unha coincidencia que só sucede, neste contexto, en dous triángulos. Pero alén desa curiosidade, ninguén observou que tamén 24=6·8:2
E aí está o humor, o triángulo orixinal era rectángulo e poderían ter contestado o problema nunha liña:

Como
6^2+8^2=10^2
o triángulo é rectángulo e a área é
A=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24


tl;dr Cada día que pasa son un profesor máis malévolo. Simplemente.

3 comentarios:

  1. Fórmula de Herón para el primer ejercicio:

    $\sqrt {27 \cdot (27-21} \cdot (27-20) \cdot (27-13)$ = \frac {21 \cdot h}{2}$

    ReplyDelete
  2. Pois era boa idea, rloca, non se me ocorrera, aínda que a fórmula de Herón non llela expliquei este ano. Con respecto ao latex(que esquecera comentar) o script que uso non funciona nos posts pois a etiqueta DIV non está permitida.

    ReplyDelete
  3. Seguiré insistiendo hasta que los habilite.

    Saludos.

    ReplyDelete