Mesma área que perímetro

No post anterior comentaba un problema que puxen nun exame de Xeometría de 3º de E.S.O. No transcurso da explicación deixei caer que só había dous triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados enteiras nos que o valor numérico da área coincide co do perímetro. Hoxe veremos a explicación.

Primeiro hai que lembrar que nun triángulo rectángulo con lonxitudes dos catetos b e c e lonxitude da hipotenusa a, o perímetro é obviamente a + b + c e a área a metade de b·c, polo que estamos a buscar as solucións en números naturais da ecuación:

a+b+c=\frac{b\cdot c}{2}

Imos aló. O primeiro é desfacernos dese 2:

2a+2b+2c=b\cdot c

Agora utilizamos que o triángulo é rectángulo, polo que a hipotenusa ten un valor dependente dos valores dos catetos polo ben coñecido Teorema de Pitágoras:

a^2=b^2+c^2 \rightarrow 2 \sqrt{b^2+c^2}+2b+2c=bc \\2 \sqrt{b^2+c^2}=bc-2b-2c

Elevamos ao cadrado ámbolos dous membros (si, os dous, non como fan os meus alumnos):

4 (b^2+c^2)=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc \\
4b^2+4c^2=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Reducimos:

0=b^2c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Sacamos factor común bc:

0=bc (bc-4b-4c+8)

Como bc non pode ser nulo, ten que selo o outro factor:

0=bc-4b-4c+8

Agora vén a parte menos trivial, a de expresar o membro dereito dun xeito máis sinxelo:

0=(b-4)(c-4)-8 \\ 8=(b-4)(c-4)

E agora entra en xogo que as lonxitudes son números naturais, polo que temos que buscar os valores entre os factores do número 8. Isto só dá soamente as dúas opcións:
Ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=8
\\ c-4=1
\end{array}
\right\}

pola que b =12, c = 5 e a = 13, ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=4
\\ c-4=2
\end{array}
\right\}

onde b =8, c =6 e a = 10, que é a que apareceu no exame comentado.