24.4.13

O problema de Malfatti

Lendo o libro Excursions in Geometry de Stanley Ogilvy atopei o Problema de Malfatti. Este é un problema xeométrico que xa tiña visto noutras ocasións, pero do que nunca lera a historia. E podedes estar certos que esta historia é das curiosas.

Imaxinade que tedes un anaco de mármol con forma de prisma triangular recto e que queredes extraer del tres columnas cilíndricas rectas. Como o faríades para estragar a menor cantidade de mármol?

A pouco que pensedes na figura e fagades mentalmente un corte plano veredes que todo se reduce a maximizar a área de tres círculos interiores á sección triangular resultante, un caso máis de redución dun problema tridimensional a outro máis manexable en dúas dimensións. Aínda que tampouco é tan manexable en dúas dimensións, veredes por que...



Máis queixo balorento que mármol...



Ollando a figura anterior é inevitable pensar que é mellor que as columnas sexan tanxentes entre si e tamén cos bordes do prisma, para que non queden ocos de mármol que poderían ser utilizados. De tal xeito que unha posibilidade máis axeitada, unha vez baixemos a dúas dimensións, podería ser:


A configuración anterior chámase "Circunferencias de Malfatti" en honor do matemático italiano que propuxo o problema, Gian Francesco Malfatti. Este xeómetra deu por suposto que a mellor situación posible tiña ese aspecto, é dicir, tres circunferencias tanxentes dúas a dúas e tanxentes cada unha delas a dous dos lados do triángulo. Situación típica na que o debuxo vale máis que as palabras. E tan certo estaba que isto era así que obviou a demostración formal e se dedicou a tentar buscar unha maneira de chegar ás circunferencias-"solución" mediante regra e compás, á maneira tradicional. Tal xeito de trazar as circunferencias de Malfatti non chegou ata que o grande xeómetra Jakob Steiner atopou un xeito puramente sintético, e que só utilizaba construcións básicas como bisectrices, tanxentes e circunferencias inscritas en cuadriláteros tanxenciais.

Ata aquí a historia parece unha máis dentro da enorma cantidade de problemas matemáticos propostos por un matemático e resoltos por outro. Pero...


...resulta que o problema estaba lonxe de ser resolto. Porque aínda considerando un dos casos a priori sinxelos, o do triángulo equilátero, as circunferencias de Malfatti non maximizan a área.

Non parece que o contraexemplo estivese moi afastado.

Pero aínda é peor se escollemos un triángulo menos regular, por exemplo o pitagórico (13,12,5):



 *É mellor está configuración, obviamente?

As circunferencias de Malfatti quedan ben lonxe do máximo:

Vaia ollo, Malfatti...


O matemático Howard Eves amosou en 1965 que se o triángulo é longo e fino a configuración de máis enriba case duplica a suma de áreas das circunferencias de Malfatti. Pero o mellor desta historia aínda estaba por chegar: en 1967 o matemático Michael Goldberg presentou argumentos visuais que parecían probar que as circunferencias de Malfatti... non proporcionan nunca o máximo da suma das áreas!
A demostración rigorosa non chegou ata 1991, cando V.A. Zalgaller e G.A. Loss publicaron no Xornal Xeométrico Ucraíno "A solution of the Malfatti problem". Neste artigo mostraron que efectivamente a configuración *, correspondente ao algoritmo do avaro ("greedy algorithm"), no que un inscribe a circunferencia máis grande que pode no triángulo (a ben coñecida circ. inscrita), despois introduce a circunferencia máis grande que caiba no espazo que deixa no triángulo a inscrita, e finalmente introduce unha terceira circunferencia no oco que deixan as outras dúas, é sempre a solución do problema de Malfatti. E nun caso de transición o algoritmo do avaro é igualado pola configuración equivalente á do contraexemplo do triángulo equilátero.


Para os lacazáns: as circunferencias de Malfatti nunca resolven o problema de Malfatti.

2 comentarios:

  1. Moi interesante, a verdade é que Malfatti non tivo bo ollo na súa hipótese.

    Recoñezo non ter moito que aportar ao tema salvo gabar ao que escribe por amosar un resultado que eu (aínda) non coñecía.
    Só quería compartir un pequeno applet que tiña feito para obter as circunferencias de Malfatti nun triángulo isósceles:
    http://www.geogebratube.org/student/m36344

    Paulo (hoxe si que asino XDDD).

    ReplyDelete
  2. Lembra a cando Fermat vaticinou que tódolos números de Fermat eran primos mirando os cinco primeiros, mágoa que chegase Euler e probase que o sexto non era primo. O teu applet está moi ben, ten moito choio o de facelo todo co mínimo de ferramentas. Eu para facer as figuras desta entrada creei unha ferramenta só para crear as tanxentes comúns a dúas circunferencias, para logo xerar as circ. de Malfatti seguindo a Steiner, tal e como vén en Malfatti's Problem. E aínda así tardei tempo abondo.

    ReplyDelete