O problema de Malfatti

Lendo o libro Excursions in Geometry de Stanley Ogilvy atopei o Problema de Malfatti. Este é un problema xeométrico que xa tiña visto noutras ocasións, pero do que nunca lera a historia. E podedes estar certos que esta historia é das curiosas.

Imaxinade que tedes un anaco de mármol con forma de prisma triangular recto e que queredes extraer del tres columnas cilíndricas rectas. Como o faríades para estragar a menor cantidade de mármol?

A pouco que pensedes na figura e fagades mentalmente un corte plano veredes que todo se reduce a maximizar a área de tres círculos interiores á sección triangular resultante, un caso máis de redución dun problema tridimensional a outro máis manexable en dúas dimensións. Aínda que tampouco é tan manexable en dúas dimensións, veredes por que...

Máis queixo balorento que mármol...

Ollando a figura anterior é inevitable pensar que é mellor que as columnas sexan tanxentes entre si e tamén cos bordes do prisma, para que non queden ocos de mármol que poderían ser utilizados. De tal xeito que unha posibilidade máis axeitada, unha vez baixemos a dúas dimensións, podería ser:

A configuración anterior chámase "Circunferencias de Malfatti" en honor do matemático italiano que propuxo o problema, Gian Francesco Malfatti. Este xeómetra deu por suposto que a mellor situación posible tiña ese aspecto, é dicir, tres circunferencias tanxentes dúas a dúas e tanxentes cada unha delas a dous dos lados do triángulo. Situación típica na que o debuxo vale máis que as palabras. E tan certo estaba que isto era así que obviou a demostración formal e se dedicou a tentar buscar unha maneira de chegar ás circunferencias-"solución" mediante regra e compás, á maneira tradicional. Tal xeito de trazar as circunferencias de Malfatti non chegou ata que o grande xeómetra Jakob Steiner atopou un xeito puramente sintético, e que só utilizaba construcións básicas como bisectrices, tanxentes e circunferencias inscritas en cuadriláteros tanxenciais.

Ata aquí a historia parece unha máis dentro da enorma cantidade de problemas matemáticos propostos por un matemático e resoltos por outro. Pero...

...resulta que o problema estaba lonxe de ser resolto. Porque aínda considerando un dos casos a priori sinxelos, o do triángulo equilátero, as circunferencias de Malfatti non maximizan a área.

Non parece que o contraexemplo estivese moi afastado.

Pero aínda é peor se escollemos un triángulo menos regular, por exemplo o pitagórico (13,12,5):

 *É mellor está configuración, obviamente?

As circunferencias de Malfatti quedan ben lonxe do máximo:

Vaia ollo, Malfatti...

O matemático Howard Eves amosou en 1965 que se o triángulo é longo e fino a configuración de máis enriba case duplica a suma de áreas das circunferencias de Malfatti. Pero o mellor desta historia aínda estaba por chegar: en 1967 o matemático Michael Goldberg presentou argumentos visuais que parecían probar que as circunferencias de Malfatti... non proporcionan nunca o máximo da suma das áreas!

A demostración rigorosa non chegou ata 1991, cando V.A. Zalgaller e G.A. Loss publicaron no Xornal Xeométrico Ucraíno "A solution of the Malfatti problem". Neste artigo mostraron que efectivamente a configuración *, correspondente ao algoritmo do avaro ("greedy algorithm"), no que un inscribe a circunferencia máis grande que pode no triángulo (a ben coñecida circ. inscrita), despois introduce a circunferencia máis grande que caiba no espazo que deixa no triángulo a inscrita, e finalmente introduce unha terceira circunferencia no oco que deixan as outras dúas, é sempre a solución do problema de Malfatti. E nun caso de transición o algoritmo do avaro é igualado pola configuración equivalente á do contraexemplo do triángulo equilátero.

Para os lacazáns: as circunferencias de Malfatti nunca resolven o problema de Malfatti.