And now for something completely different

Por se alguén non o sabía, aquí tedes a orixe do termo spam:



And now for something completely different:

Cal dos seguintes números é maior? Tedes que razoalo, claro, nada de usar o ordenador.

Un puzzle máis

Un sinxelo para estes días de Matemáticas curriculares (para ser exactos: Sistemas de Medida, Polígonos semellantes, Funcións de variable real e Probabilidade, hai que ver cantas Matemáticas están aí fóra esperando!).

Atopade un camiño desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita que cumpra as seguintes condicións:

• O camiño é unha liña poligonal composta por segmentos verticais e horizontais
• Ten que pasar por tódolos círculos unha soa vez.
• O camiño non pode tocarse a si mesmo, nin sequera en diagonal.

E atopei de novo un vídeo que comentei nas aulas que vira en microsiervos. Hai tempo que quería colgalo aquí, pero o enlace que eles teñen está roto, así que o busquei dun xeito distinto no youtube. Ollade ben esta criatura propia dunha película de ciencia ficción:




Alucinante, verdade? Non deixedes de ollar os demais vídeos relacionados ao rematar.

And now for something completely different: Sabe alguén que é isto e onde se pode atopar?

Todo é linear

Non todo tempo pasado foi mellor, porén...

Tiña pensado volver ao blogue cunha entrada memorable coa miña opinión con respecto a un procedemento que vén no curriculum desde a LOXSE. Por sorte para vós, collín o último libro de problemas que merquei nunha feira do libro de ocasión, Desafíos Matemáticos de Angela Dunn, e atopei este problemiña:

Dous pilotos compiten nunha carreira de aceleración. Ambos os dous aceleran de xeito uniforme desde que arrancan no punto de partida. Alberto cobre o último cuarto da distancia en 3 segundos; Roberto cobre o último terzo en 4 segundos. Quen gaña?

O problema pareceume interesante porque ilustra perfectamente o que sucede acotío nas aulas: a suposición tácita de que todas as magnitudes que aparecen nos problemas son directamente proporcionais. Como neste caso os alumnos poden intuir que a solución linear é absurda, véxoo axeitado como starter. Tamén é susceptible dunha discusión das gráficas usuais no movemento acelerado.

And now for something completely different:

Atopei a fermosa visualización da cabeceira en The most timeless songs of all-time. Na imaxe vemos as cancións dos 90 máis reproducidas en Spotify, mais na web recollen, alén dos datos globais, outras curiosidades: os datos referentes só a cancións de rap, os dos billboards dos últimos 50 anos, as gañadoras dos Grammy, ... Aínda por riba, a base permite pescudar por canción ou artista, o que pode destruír a vosa produtividade como fixo coa miña (claro que eu teño Procrastinating Level: God).

Aínda non argallei unha maneira, mais vexo factible e interesante traballar cos datos na unidade de Estatística. Veremos o xeito.

Verán 2014-Problema 2

Pero antes, a solución do problema 1, que lembremos preguntaba como cortar un queique rectangular ao que xa lle papamos un anaco rectangular en dous novos anacos iguais. Imaxino que se sobreentendía que pedía unha solución exacta afastada do proba-erro, noutro caso a solución é obvia: poderíamos cortar ao chou e ir pesando, por exemplo.

Se non vén a solución instantaneamente, quizais axude pensar nun caso moito máis sinxelo, no que o queique é circular e ten un furado circular:

Custa non ver unha esfera

A solución neste caso máis simple é automática: cun coitelo fai un corte que pase polo centro dos dous círculos; como ese corte diametral deixa en cada círculo un semicírculo a cada lado, é obvio que obteremos dous anacos iguais:

A circunferencia, tan simple para unhas cousas e para outras

Claro que pode suceder que esta solución non se traduza axeitadamente ao caso do rectángulo, para comezar temos que pensar que é o centro dun rectángulo, pois esta figura non ten a simetría do círculo. O candidato para xogar o papel do centro do círculo é o punto no que se intersecan as diagonais. Pero analizando polo miúdo este punto, vemos que as dúas diagonais son rectas que pasan por el e que deixan a cada lado unha metade do rectángulo, pero... pasará isto para calquera outra recta que pasa polo centro?

Deixo os detalles rigorosos sobre os triángulos congruentes, pero vendo a figura acabaredes certos de que si:

Semellanza, congruencia...

En conclusión, atopade os centros dos dous rectángulos e facede un corte ao queique que pase polos dous centros:

O mellor é que non depende de tamaños, proporcións
nin do ángulo de rotación do furado rectangular

Este évos un problema sinxelo de enunciar que leva rapidamente a matemáticas ben interesantes.

And now for something completely different...

O segundo problema deste verán trata de números, atopeino nun libro que xa utilicei previamente como fonte, e entender mal o enunciado levoume a resolver un problema relacionado e máis complicado. Como poderedes vaticinar, vouvos propor os dous problemas, o orixinal e o que entendín eu:

Considerade a sucesión:

$$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots$$

Cal é o termo n-ésimo?

Para quen non estea afeito ao vocabulario de sucesións: tedes que atopar unha expresión alxébrica que nos dea o número que está no lugar n, e que esta expresión só dependa do número n. Por exemplo, na sucesión 1, 4, 9, 16... o termo n-ésimo é n².

Adiviñastes que entendín eu cando abrín ese libro en troques da proposta anterior?

Como o libro está escrito en inglés, o autor chámalle á sucesión "repetitive series", de tal xeito que eu pensei que pedía a sucesión de sumas parciais da serie:

$$-4 +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7 \cdots$$

De novo, para quen descoñeza este vocabulario, se ides atopando canto dan as sumas:

$$-4$$

$$-4+7=3$$

$$-4+7-4=-1$$

$$-4+7-4+7=6$$

$$\cdots$$

Observaredes unha nova sucesión,

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

E o meu problema trabucado é: cal é o termo n-ésimo desta nova sucesión?

Que aproveiten.