"Alumnos desesperados e chorando", outra vez

 

Había tempo que non daba cun titular destes sensacionalistas sobre exames de selectividade polo mundo adiante:

    

O de hoxe refírese ao exame da selectividade escocesa, que vén de cambiar o vello organismo encargado, Scottish Qualifications Authority polo máis fresco e moderno Qualifications Scotland. Que vós sodes moi novos, pero os vellos do lugar lembramos algo semellante: a revolución que supuxo a actualización por parte da nosa ben amada Consellería da nosa vella plataforma de formación do profesorado, fprof, pola nova, fprofe. O chiste é automático.

Como é previsible, o cambio de autoridade de xestión provocou un cambio, talvez só cosmético, nalgúns exames. A queixa do alumnado, coa consabida petición online, céntrase no Higher Maths Paper 1, e explican no texto da devandita petición que non se queixan da dificultade senón de que os enunciados non estaban claros e que o novo paper rompe a continuidade cos vellos papers, o que seguramente, en certo grao, é un dos obxectivos do novo organismo.

Na miña experiencia, as novas sobre educación no Reino Unido, alén dos titulares, conteñen información de moita máis calidade cás españolas. Porén, todo o que atopei sobre este tema ignoraba o contido e a estrutura do deostado exame, que tiven que acabar atopando nunha rede social. E como sempre é formativo observar exames estandarizados doutras realidades educativas(never forget as entradas sobre selectividade no blog de Pedro Ramos, unha mágoa que tamén el deixase de publicar), velaquí os exercicios para que vexades vós se hai motivos para a queixa estudantil:

1. Expresa $2x^2+20x+3$ na forma $p(x+q)^2+r$

2. Atopa $\int{\left( 15x^{\frac{2}{3}}+ \frac{7}{x^2} \right)}$

3. Unha circunferencia ten ecuación $x²+y²+2x-4y+20=0$. O punto $A(2,6)$ pertence á circunferencia. Atopa a ecuación da tanxente á circunferencia que pasa por A. 

   

4. O diagrama amosa dous triángulos rectángulos con ángulos p e q.

   

1. Determina o valor exacto de $sen q$
2. Atopa o valor exacto de:
1. $sen(p+q)$
2. $cos(p+q)$
3. Deduce o valor exacto de $tan(p+q)$

5. As funcións f e g son definidas en $\mathbb{R}$, o conxunto dos números reais, por $f(x)=2x²+5$ e $g(x)=x+3$
1. Atopa unha expresión para 
1. $f(g(x))$
2. $g(f(x))$
2. Determina o rango de $g(f(x))$

6. ABCD,EFGH é un ortoedro. $$\vec{AB}=u, \vec{BC}=v, \vec{GC}=w$$

O punto M é o punto medio de HG

O punto N divide o segmento EA na razón 1:2

   

Expresa o vector $\vec{MN}$ en termos de u, v e w.

7. Determina a pendente da tanxente á curva con ecuación $y=2x+4 \sqrt{x}, x>0$, no punto no que $x=9$

8. Resolve $log_2 x+ log_2{(x+2)}=3$, onde x>0

9. a) Amosa que os puntos $D(-1,6,1), E(1,2,7), F(2,0,10)$ son colineares.

         Se o punto G é tal que F divide o segmento G na razón $3:4$, 

         b)Atopa as coordenadas de G

10. Atopar $$\int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3} 6 sen \left( 3x- \frac{\pi}{2}\right)dx$$

11. a) i) Amosa que (x+2) é un factor de $x^3+7x^2+18x+16$
   ii) Explica por que (x+2) é o único factor lineal de $x^3+7x^2+18x+16$. Dá unha razón para a          túa resposta.

      b) Atopa as coordenadas do(s) punto(s) onde se intersecan as curvas con ecuacións                 $y=2x^3+20x^2+27x+9$ e $y=6x^2-9x-23$ 

12. Unha función exponencial, f, é definida para $x \in \mathbb{R}$ A figura amosa a gráfica de $y=f(x)$

    

A inversa da función, $f^-1(x)$, existe. 

a) Debuxa a gráfica da función inversa no espazo determinado.

A función inversa ten o aspecto $f^-1(x)=log_a(x+b)$

b) i) Determina os valores de a e b.

    ii) Indica o dominio da función inversa

Sede sinceros: non vos parece moi sinxelo? Comparado cos exames de aquí, o único que resulta estraño é o dos vectores no ortoedro, e non pide nada excepcional. E non hai nada de álxebra lineal, nin por tanto xeometría que precise dela. Mirei tamén o Paper 2 e incide máis nas funcións trigonométricas, as características das gráficas... O único inusual aquí é un exercicio de ecuacións en diferenzas.

Lembremos que existe outro nivel, o Avanced Higher Maths, no que si hai matrices e determinantes, números complexos(que están no noso curriculum de Matemáticas I pero non entra na PAU), e o realmente sorprendente, ecuacións diferenciais.

Un último comentario: polo visto é habitual que os organismos xestores destes exames publiquen unha lista de Command Words, que veñen sendo os verbos, conectores, expresións... que se van utilizar nos enunciados dos exercicios. O que, de súpeto, fixo que mirase cantos anos quedan para a xubilación.

Unha reflexión persoal

 

Abandonamos a programación habitual do blog para que poida queixarme alén da sala e cafetería do meu centro.

Obviando as prácticas do CAP, o meu primeiro contacto coas aulas tivo lugar a finais do curso 2003/04. O 1º foi no Grove substituíndo unha directora que só daba 1º de BAC de Ciencias, con 11 alumnos fabulosos, polo que foi máis ben unha experiencia enganosa; o 2º foi substituíndo en Caldas unha mestra que daba un grupo de Matemáticas, un obradoiro e unha atención educativa en 2º de ESO e Educación Física en 1º, o que tampouco se pareceu moito ao choio que ía realizar eu os seguintes anos, pois en xullo de 2004 aprobei a oposición en Vigo, o curso 04/05 estiven en Canido, os 3 seguintes en Oleiros, logo 2 na Rúa(onde xurdiu este blog, como é sabido mundialmente), 6 en Cedeira, agora estou no 10º ano consecutivo en Canido, e nunca tiven que volver "dar" algo como Educación Física.

Sirva este preámbulo para que o lector se faga unha idea de que algo de experiencia si teño, e de paso que me queda aproximadamente un terzo da miña vida laboral.

Dito isto, ultimamente estou preocupado por un perfil novo de alumno que levo detectando hai uns anos.

"Uns anos"? Non, se sei perfectamente cando dei co fenómeno. Foi no curso 2021/22, en Matemáticas I, por se le isto alguén de fóra do gremio, as Matemáticas do 1º de BAC de Ciencias, "as difíciles".

Aquel curso tiven un alumno que non fixera a ESO en Canido, quero dicir con isto que o coñecín no momento de darlle clase ese ano. O rapaz estaba atento en clase, e entendía todo "en tempo real", pois cando eu preguntaba calquera cousa, a típica pregunta sobre algún aspecto técnico e menor, pero necesario na secuencia que estaba explicando, ou unha pregunta máis profunda, que conectaba un concepto ou situación con outra, el sempre era o primeiro en contestar. En contestar ben, claro, posto que en bacharelato xa non se dá o fenómeno dos nenos varóns que contestan rápido calquera cousa porque lles gusta ocupar o escenario que se lles proporciona, tan habitual ata 3º de ESO incluído. Tan ben contestaba que me chegou a sorprender gratamente. Aínda que máis sorpresa levei cando suspendeu o 1º exame parcial. E logo o exame de avaliación. E a recuperación da 1ª avaliación. E...

Non aprobaba nunca.

Falei con el en canto detectei que algo pasaba, el notábase desgustado tamén. Preocupábame que un rapaz con esa facilidade natural se pegase estas hostias nos meus exames. E falei con compañeiros de departamento e de xunta de avaliación, pois eu nunca vira tal cousa. E a resposta que obtiña sempre era a mesma: non debe de traballar nada. Que, como podedes supoñer, xa considerara eu.

Mais eu xa descontara o feito de non traballar. Pois, chamádeme presuntuoso se queredes, eu sentíame algo reflectido naquel cativo que contestaba con xeito. E eu non traballaba nada no curso equivalente, 3º de BUP, agás o día antes de cada exame, cando tiñamos a tradición de ir á casa dun amigo e revisar os exercicios que entraban no exame. E xa chegaba. E eu vía aquel cativo con máis facilidade que a que tiña eu á súa idade. E peores, moito peores, resultados. A que se debía? 

Como, exceptuando os bots, os lectores deste blog serán case todos profesores de Matemáticas, non vou provocar ningunha epifanía se afirmo que, para os alumnos aos que se lles dan ben as Matemáticas, esta materia escolar é especialmente sinxela. Quizais só haxa outra materia académica na que se dea esta circunstancia: Inglés. Os alumnos con facilidade en Inglés non teñen que traballar alén do feito en clase(lembremos que falo exclusivamente do que se avalía no ensino secundario, isto non se aplica a estudar, digamos, teoría de Galois ou análise funcional). Polo que o meu desacougo procedía de non entender como era posible que un cativo coa súa destreza non aprobase (polo menos!) a miña materia. Dando por suposto que non estudaría nin un chisco na casa.

O rapaz seguiu suspendendo. Pasou o curso, o ano seguinte non lle dei eu, e tamén suspendeu.

Desde aquel curso volvín ver casos semellantes, en 1º de BAC e tamén en 3º e 4º de ESO. O mesmo perfil: cativos varóns máis ben atentos en clase, que amosaban unha comprensión por riba do normal, e que fracasaban estrepitosamente nos exames. Porque as cativas coa mesma facilidade natural non adoitan ser tan verbais nas clases, e desde logo seguen sacando as notas que son esperables.

Alguén, lendo isto, pode estar cavilando e atopar explicacións a priori verosímiles, como que os meus exames sexan moi "técnicos", i.e., que requiran moitas operacións alxébricas enleadas. Non é o caso, máis ben ao contrario: adoito poñer o imprescindible para avaliar os procesos implicados, e non soporto que apareza dúas veces o mesmo proceso, se non é estritamente necesario.

Ou é posible que eu sexa moi modesto e os cativos que eu vexo tan hábiles en realidade teñan menos facilidade que a que tiña eu á súa idade.

Modesto? Eu?

Collido de tenor

Tamén pode suceder que isto xa ocorrese en BUP, e sexa cousa miña, que nunca o observara.

En calquera caso, non teño unha explicación, e recoñezo que é algo que me está consumindo o ánimo.

Se tedes algunha explicación, non dubidedes en compartila.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-5

 

Rematamos a serie dedicada aos problemas da fase local deste ano co problema máis sofisticado dos cinco. Xulgade vós.

Problema 5:

Para o desfile de tropas romanas e castrexas do Arde Lucus 2026, hai inscritas exactamente 100 persoas. A organización só admite dous tipos de agrupacións:

• Patrullas pequenas, de 6 persoas.
• Cohortes grandes, de 10 persoas.

Non se permite deixar ninguén fóra nin formar agrupacións incompletas e non hai un número mínimo de agrupacións de ningún dos dous tipos.

1. Encontra unha posible forma de organización das patrullas e cohortes.
2. Atopa todas as organizacións posibles das patrullas e cohortes.
3. Cal é o mínimo número de formacións posibles? E o máximo?
4. Se nas seguintes recreacións participa outro número diferente N de persoas, para que valores de N será posible organizar as tropas deste xeito?

Non serei eu quen proteste pola inclusión dunha ecuación diofántica lineal, obviamente, pero só quería comentar que unha situación semellante xa caera na fase local  de 2015, no problema 3.  Lémbroo porque aquel ano foran 4 alumnos meus de Cedeira á fase local, que daquela se celebraba no IES Carvalho Calero.

Ah, e unha anécdota: cando estaba no salón de actos do meu instituto facendo o tempo despois de explicar como ía o conto dos códigos, díxenlles aos cativos que como a olimpíada se organiza en Lugo, é típico que metan algún problema co tema do Arde Lucus, a muralla, etc. Cando sentei e mirei os problemas, tiven que interromper o comezo da resolución para anuncialo: "VISTES O 5º PROBLEMA?!"

Se non perezo antes co choio deste fin de curso e a sensación de que cada ano que pasa, son peor profesor, agardo comentar os problemas da fase final, que é o 21 de maio. Veremos.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-4

 

Botades en falta algún tipo de problema ata agora?

Si?

Quizais un problemiña na fronteira entre a lóxica e o sentido numérico, onde haxa que facer un razoamento no que aparezan minimamente números?

Imaxinades que agora dixese eu:"Pois non, o problema de hoxe vai de álxebra"? Sería maquiavélico.

Problema 4:

Antía, Bea, Cloe, Diana e Elia disputaron unha carreira na que non houbo empates. Antía chegou tantos postos antes ca Bea como Diana de Elia. Nin Cloe nin Elia chegaron terceira nin quinta.

Normalmente replico as figuras dos problemas, neste caso
entenderedes que chante a imaxe do documento orixinal

Cal foi a orde de chegada?

Eu seguramente poría este problema ao comezo, para animar a rapazada. Polo demais, nada que obxectar, só comentar que este é o típico problema onde é habitual atopar soamente a solución, laconicamente escrita, dun xeito aínda máis acusado que no 1º problema.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-3

O terceiro problema sorprendentemente tamén era de xeometría. E tamén de áreas.

Pero requiría un razoamento totalmente diferente.

Problema 3

No cadrado ABCD, os puntos E, F, G e H son os puntos medios dos lados.

Se I é o punto medio do segmento GH, que fracción da área do cadrado ABCD representa a área o triángulo EFI?

   

Confeso que me fallou a intuición: en canto vin a figura pensei que precisaría usar a semellanza de triángulos, e cando por fin sentei no salón de actos, despois de repartir as follas e atender os participantes, puiden resolvelo simplemente "recortando" figuras cos lados paralelos aos lados de ABCD. E logo aínda mellor, só movendo un punto.

O problema é ben fermoso, mais coido que se dependese de min, sacrificaría ou ben este ou ben o anterior.

O 4º problema si que vos sorprenderá.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-2

 

Imos co 2º problema da fase local. 

Problema 2

No polígono da figura cada lado é perpendicular aos dous adxacentes e todos miden o mesmo. Se o perímetro desta figura é 56 u:

a) Canto mide a área?

b) Canto mide o segmento AB?

   

Non teño moito que comentar agás que se eu dese este ano 2º de ESO (que non dou, pois só dou cursos impares), os meus alumnos a estas alturas non coñecerían aínda o Teorema de Pitágoras.

E que esta figura intúo que pode dar acubillo a outros problemiñas tamén axeitados para este nivel. Sen pensar moito, o cálculo desta área:

  

Ou atopar os dous segmentos unindo vértices da figura que non se toquen e cuxas lonxitudes dean a suma mínima. Que é susceptible de poñer outras restricións, como que unan vértices pero só pasen polos vértices que son os seus extremos, para evitar horizontais e verticais.

   

E pensando un chisco máis, talvez non moi axeitado xa, poderiamos preguntarnos polos triángulos ou rectángulos con área mínima que conteñen a figura.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local

via GIFER

Seguindo coa roda do ano, velaquí comeza a xeira cos problemas propostos polos amigos de AGAPEMA na fase local da olimpíada matemática galega 2026, que se celebrou o xoves pasado.

Problema 1

Na seguinte multiplicación, cada letra representa unha cifra.

As letras que se repiten corresponden a unha mesma cifra.

Cada letra distinta representa unha cifra diferente.

   

Sabendo que P=2T, obtén que cifra se corresponde con cada letra.

É probable que os participantes nunca visen un aritgrama antes de presentarse a esta olimpíada(quizais, se houber, na preparación). Onde máis se nota a falta de familiaridade co formato é na ausencia de deducción, i.e., no feito de que non se perciba unha secuencia de razoamento no traballo dos cativos. Que vai parella á falta de madurez matemática, xa intuídes.

Neste problema o primeiro que se pode deducir é que P ten que ser par, o que obriga tamén a que T sexa par. Como letras distintas corresponden a cifras distintas, P non pode ser nin 0 nin 6, axiña acha un que P ten que ser 8, e T, 4. Pois ben: o máis común é ver que no traballo dos cativos apareza da nada P=8, T=4. Se o problema non ten moitos casos que comprobar, é común que o único que se vexa, por moito que avises, sexa a solución crúa. Aínda que no caso de P e T é comprensible pois o certo é que é case inmediato.

Por non desvelar moito, só quería apuntar que é evidente que onde hai que argallar é na pescuda de M e R. E tampouco leva moito, a fin de contas xa non quedan moitos casos que comprobar.

En conclusión, un bo primeiro problema.

Innumeracy, 30 anos despois

  

 

Sen buscalo atopei pola casa El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias, do afamado matemático John Allen Paulos. Nin sabía que andaba por aquí, ou quizais si, pero é habitual non prestar moita atención a libros que liches hai tempo, se non son de consulta frecuente(penso no Boyer ou o Grimal). E resulta que este foi o primeiro libro de divulgación matemática que lin na carreira, grazas a unha compañeira(profesora de secundaria tamén, daquela era o que queríamos moitos) que o tiña na pensión. E deume por pensar que só lembraba o concepto mais nada en realidade do contido do libro. E tiven que relelo.

O que pasou despois non vos sorprenderá.

Cando o lin por primeira vez, antes dos 20 anos, eu entraba no público obxectivo deste libro. Agora, con case 50, xa non.

O libro segue destilando sentido do humor, pon exemplos acertados, ten anécdotas curiosas e, obviamente , apunta a un problema serio da sociedade, o anumerismo. E inclúe mencións a traballos de Tversky e Kahneman, que ata esta semana eu xuraría que non coñecera ata 2006 (máis ou menos), e resulta que xa lera sobre eles hai 30 anos, a desmemoria vaime alcanzando.

Entón, que ten o libro para que quedases murcho, J?

Vexamos o que fai o autor: en exemplos de anumerismo utiliza probabilidade elemental (e combinatoria enumerativa cando é necesario) para amosar que fenómenos que algunha xente ve como excepcionais son en realidade bastante probables. Paréceme o camiño evidente que hai que seguir, aí non teño obxeccións. O libro ten cinco capítulos: un introdutorio con moitos exemplos liviáns, que a estas alturas xa son ben coñecidos(pensemos que o libro se publicou dez anos antes da xeneralización de internet, habería que dirimir se a fonte deses exemplos é esta obra ou xa eran coñecidos con anterioridade), o 2º dedicado á probabilidade e coincidencia(aínda que no 1º xa se introducira), o 3º á pseudociencia; o 4º ás fontes do anumerismo; o 5º á estatística en xeral, que presenta unha zarangallada de ideas, desde o consabido correlación/causalidade aos nesgos ante a toma de decisións, pasando polo dilema do prisioneiro.

Aínda que o 5º capítulo semella un engadido para rematar o libro sen moita conexión cos anteriores, e o capítulo da pseudociencia vén sendo unha enumeración de anécdotas, é o dedicado ás fontes do anumerismo o que me pareceu o máis frouxiño. Visto en 2026 resulta unha colección de opinións máis ou menos fundadas, algunhas un chisco resesas.

Recomendaría este libro a alguén que me preguntase en persoa?

Depende de quen me preguntase. Para alguén que non lese moita divulgación de matemáticas/estatística/lóxica, seguramente si.

Non me podo subtraer a compartir unha anécdota que, dado o protagonista, aínda é máis hilarante. No capítulo 3, sobre a pseudociencia, o autor menciona a orixe do estudo dos biorritmos: un médico amigo de Freud, Wilhem Fliess, inventou que existen uns ciclos periódicos que determinan moitos aspectos das nosas vidas desde o nacemento. Aínda máis: inventou tamén que os números 23 e 28 eran  supostamente os períodos duns certos ciclos metafísicos, masculino e feminino respectivamente. E que tiñan a propiedade de que, sumando e restando múltiplos de 23 e 28, podes acadar calquera número.

É dicir: podes atopar unha solución en números enteiros x e y á ecuación $23x+28y=N$, sendo N calquera número que penses.

Tremendo, eh?(inseride aquí gif do nacho dos aliens do canal Historia)

Se non fose porque 23 e 28 non teñen ningunha propiedade excepcional, estas ecuacións case aleatorias que vou poñer tamén teñen solución para calquera N:

$25x+28y=N$

$23x+22y=N$

$2x+y=N$

$5001x+500y=N$

$10x+21y=N$

Pois serve calquera parella de números coprimos. Cousa que sabemos desde hai centos de anos, pois o arquicoñecido algoritmo de Euclides proporciona as solucións da ecuación diofántica lineal.

Freud, non contento con papar enteiro o asunto dos biorritmos, chegou a pensar que ía morrer con 51 anos, pois 51=23+28. Sorprendentemente (supoño) para el, durou 32 anos máis. Quen sabe se cando cumpriu os 52 non actualizou a profecía a morrer con 644=23·28.

Animará esta entrada a que algún humano lea o libro? Algún bot?

Un xogo recursivo

Síntome compelido a facer esta entrada, e iso que este mesmo ano xa compartín un xogo baseado supostamente no traballo de Escher. Ao xogo de hoxe, Print Gallery Of An Artist, cheguei vía kottke, onde efectivamente menciona a inspiración na obra do pintor neerlandés, favorito do gremio de estudantes universitarios de matemáticas do mundo. Logo, se ides á páxina do xogo, realmente o que di, xa no subtítulo, é A brief exploration of recursive spaces. E iso resulta máis acaído, como podedes comprobar se xogades un chisco ou se simplemente mirades a imaxe que incrustei abaixo.

 

   

De feito o autor do xogo, Daniel Linssen, aclara que a inspiración do xogo é un vídeo de 3Blue1Brown (que non vin), baseado á súa vez en Escher. En concreto, no estudo do efecto Droste por parte de Escher, plasmado na ben coñecida litografía Prentententoonstelling, esta de aquí:

Da wikipedia

(Se queredes ler unha análise da estrutura matemática desta obra, velaquí)

Recoméndovos o xogo, eu polo menos pasei un bo cacho toleando coa espiral infinita.

P.S.: notei despois de xogar máis que se tarda un pouco en ver normal de todo. Avisados quedades.

Unha idea non tan peregrina

 

   

Estaba pensando nunha función con dominio nos números naturais que se me ocorrera, e a mente choutou á sucesión que comeza deste xeito:

1, 3, 5, 7, 9...

Os impares? A gran cousa...

Non, non, non sexades impacientes, observade uns termos máis:

1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99,...

Todo cheo do meu achádego, deume por mirar en OEIS, e claro, aló andaba.

Polo que, se non queredes estragar a diversión, non vaiades.

Ah, e a imaxe da cabeceira non dá pista ningunha, só amosa a colocación dos elementos da sucesión na estrutura da espiral de Ulam(o 1 está no centro). Por que está, logo? Porque me pareceu bonita.

Outra vez, outro problema do mesmo tipo

 

I may be paranoid but not an android

Os catro lectores humanos que quedan e máis os catrocentos bots que me len diariamente (un saúdo ao Mossad) xa saberán que hai certas teimas que me acompañan hai anos. Unha, que deu lugar a unha serie de entradas, é a pescuda de problemas xenuínos de álxebra nos que non interveñan ecuacións, senón o uso de variables(preferiblemente que tampouco traten da observación de padróns, pois o razoamento implicado non adoita caer no alxébrico senón no xeométrico). Outra teima é a da falta de recursos do docente cando resulta imposible facer que o alumno entenda un concepto, sen edulcoralo e sen caer no unicamente instrumental, cousa da que coido que falei por primeira vez hai case dazasete anos por aquí(e xubilarei sen atopar solución). E por último teño certa tendencia cara aos problemas elementais de carreiras nas que se coñecen as relacións entre tempos ou velocidades, con pistas circulares aínda mellor. Podedes atopar ese tipo de problemas aquí:

Non te deixes levar

De (5º) aniversario + 1 día

Desconfía dos enunciados sinxelos

Seguramente haberá máis entradas con enunciados similares, con esas facedes unha idea. Lembro que hai unha sección de Ants, Bikes and Clocks, libro que mencionei en varias ocasións, na que aparecen moitos, polo que é probable que haxa máis.

Pois limpando libros do cartafol Descargas atopei un, Mathematical Challenges. Selected Problems from the Mathematics Student Journal(vista moi limitada), de Mannis Charosh, no que vin este enunciado:

Se Bob pode gañarlle a Jim por un décimo de milla nunha carreira de 2 millas, e Jim pode gañarlle a Henry por un quinto de milla nunha carreira de 2 millas, por que distancia lle gañaría Bob a Henry nunha carreira de 2 millas?

Confeso que resolvín o problema metendo todas as variables imaxinables, cheguei ao resultado, que é $\frac{29}{100}$ de milla, e como non fun moi pulcro na resolución, non tiña nin idea de que relación había entre os números do enunciado, i.e., 2, $\frac{1}{10}, \frac{1}{5}$ e o resultado final, $\frac{29}{100}$. Polo que resolvín de novo o problema, esta vez obviando os números e poñendo letras en todos os valores dados. E daquela vin.

E logo volvín ao libro, e o problema seguinte dicía:

Nunha carreira de d iardas, A gaña a B por p iardas, B gaña a C por q iardas, e A gaña a C por r iardas. Expresa d en función de p, q e r.

E daquela vin mellor.

Non vai ser a última vez na que traia algún problemiña destes, estou certo.

Un "paradoxo" alxébrico-xeométrico

 

Por unha vez, imos ver algo de historia.

Pero hai que establecer uns cantos feitos previamente, que isto non vai de lercheos entre persoeiros.

Coñecedes o Teorema de Bezout? Igual pensades nun teorema sobre números, en concreto, se a e b son números enteiros e d é o seu máximo común divisor, entón existen enteiros m e n tales que  $d=ma+nb$, pero non, non é ese (que é unha fermosura, que conste en acta), senón un teorema xeométrico que eu vin por primeira vez en Curvas Alxébricas en 5º de carreira, pero que ten unha historia moito máis elemental. O enunciado vén dicindo:

Se temos dúas curvas alxébricas $f(x,y)=0$ e $g(x,y)=0$, f de grao m e g de grao n, entón a intersección de f e g consta de m·n puntos.

Se non coñecíades o teorema, seguramente pensedes que ten algo raro. E ten, claro que ten. Esa intersección de $m·n$ puntos só se cumpre se contamos ben as interseccións: por unha banda hai que considerar a multiplicidade dos puntos de intersección (puntos de tanxencia, triples, etc.), por outra hai que considerar o corpo dos números complexos, e nin así teríamos garantido o número m·n, pois faltaría traballar de xeito proxectivo, e contar os puntos no infinito tamén. Se non, botade contas das interseccións de dúas circunferencias, que son curvas de grao 2, e á vista podemos ter 0 interseccións, 2 ou 1. Nunha imaxe, todas as posibilidades:

Insira aquí unha brincadeira dos 80 pouco étnica-friendly 

Consecuencia inmediata do Teorema de Bezout é que, se as dúas curvas teñen grao n, a súa intersección (ben contada) consta de $n^2$ puntos.

Por outra banda, un polinomio de grao n ten c coeficientes. Vexamos o caso concreto das cúbicas, a xeneralización é inmediata:

$$p(x)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+iy+j$$

Contamos 4 coeficientes de monomios cúbicos, 3 cuadráticos, 2 lineais e 1 independente, en total $4+3+2+1=\binom{5}{2}$. E xa vedes por onde vai o conto.

O que sucede é que multiplicar por calquera número real o polinomio determina a mesma curva, polo que podemos facer que o polinomio sempre teña un coeficiente unitario, e só $\binom{n+2}{2}-1=\frac{n(n+3)}{2}$ coeficientes variables. E para atopar $\frac{n(n+3)}{2}$ números chega a mesma cantidade de ecuacións, que virán determinadas pola mesma cantidade de puntos polos que pasa a curva.

Ata aquí o preámbulo, malditas matemáticas, que sempre precisan que teñas asimilados tantos feitos previos.

O asunto que viña contar hoxe(en realidade hai 4 anos, que a perspectiva de redactar o preámbulo fixo que esta entrada quedase en borradores) é o seguinte:

Como $\frac{n(n+3)}{2}$ puntos determinan unha única curva de grao n, e dúas curvas distintas de grao n se intersecan en $n^2$ puntos, se $\frac{n(n+3)}{2} \leq n^2$, non parece suceder que entón $\frac{n(n+3)}{2}$ puntos non son suficientes para determinar de xeito único a curva?

A resposta non é tan evidente, pois deu lugar* en 1744 a unha carta de Cramer (si, o da afamada regra de 2º de BAC) a Euler, onde pregunta polo caso $n=3$, que é o primeiro grao no que $\frac{n(n+3)}{2} \leq n^2$. Neste caso $\frac{3 \cdot (3+3)}{2}=9$ puntos deberían abondar para determinar a cúbica, pero dúas cúbicas distintas poden intersecarse neses $3^2=9$ puntos.

*En realidade Maclaurin publicara en 1720 o aparente paradoxo

Que está pasando aquí? A glitch in the Matrix?

O bo de Gauss non ten nada que ver coa historia,
que eu saiba, pero como este gif é a miña segunda 
creación(a 1ª é esta), déixoa por aquí 

O lector moderno pode usmar o quid da cuestión. 

$\frac{n(n+3)}{2}$ puntos, seguro?

Dá igual como sexan eses puntos? Vexamos uns casos inmediatos:

Este exemplo é o orixinal da carta de Cramer

Neste exemplo podedes argumentar que esas cúbicas están un pouco, digamos, rechumidas, aínda que a palabra técnica é dexeneradas, que certamente soa peor. Poñamos outro exemplo que evite esa eiva:

Xoguei cos coeficientes ata que atopei esta especie alieníxena baseada no allo.
Tedes outro exemplo na wikipedia

Invoquemos ao lector moderno outra vez: pensade que Euler viviu e traballou no século XVIII, antes da fundación da álxebra lineal, en particular, antes da invención(ou descubrimento, como queirades) do concepto de rango, que hoxe estudamos daquela maneira en 2º de BAC. Pero o que si tiña Euler era unha intuición sobrenatural, e decatouse de que se dúas cúbicas se intersecan en 9 puntos, o que sucede con eses 9 puntos é que non son "xenéricos", o que agora traduciriamos como que as ecuacións determinadas sobre os 9 coeficientes (cargámonos un dos 10 coeficientes mediante división, lembrade) da cúbica non son linealmente independentes. Por exemplo, os 9 puntos intersección en cuadrícula do exemplo "dexenerado", despois de ver que o termo independente ten que ser nulo, pois un dos puntos é o $(0,0)$, dan lugar a esta matriz 8x8 do sistema :

, que ten rango 7, igual que a matriz ampliada, mentres que o número de incógnitas é 8, polo que o sistema é compatible indeterminado.

E xa podedes intuír a xeneralización, o esencial está todo no caso cúbico.

O que máis me abraia deste conto é que Euler viu a razón do aparente paradoxo sen ter a linguaxe necesaria para expresalo con rigor. Un xenio absoluto.

Escribindo esta entrada vin que o formidable arquivo How Euler Did It, de Ed Sandifer, xa non está dispoñible en liña. Eu teño todos (coido) os artigos en pdf nun disco duro, se alguén precisa, que me avise. En calquera caso, podedes atopalos en The Wayback Machine, por exemplo Cramer's Paradox, que foi o lugar no que souben por primeira vez desta vella historia.

E se queredes ir ás fontes orixinais, a entrada da wikipedia en inglés ten as ligazóns ao final:

Cramer's Paradox

Symmetry

 

Tranquilos, non vou comentar o clásico libro de Hermann Weyl, que sospeito que, xunto a Flatland ou O Teorema do Papagaio, forma parte desa colección de libros que naceron para encher bibliografías de traballos que ninguén leu, nin eses traballos, nin desgraciadamente, os devanditos libros.

Xa que esta entrada comeza doente, aproveito para apuntar aquí que non hai un maldito libro de divulgación no que falen de Weyl no que non digan as mesmas frases: que era discípulo de Hilbert pero que non o seguiu no formalismo, senón que evolucionou cara ao intuicionismo... Sen comentar a posterior "reconciliación", que aparece ata na wikipedia en inglés. En fin.

Non. Symmetry é o nome dun xogo dos que parecen feitos para ter de target os tarados coma min. Pois ademais de traballar o concepto de simetría axial, requiren de certa velocidade visual. O obxectivo de cada fase é detectar que cela rompe a simetría, para o cal dispós dun tempo que ao principio é máis que abondo, pero cando a cuadrícula vai incrementando o número de celas e hai máis características que ter en conta, rapidamente é insuficiente. 

Comparto a pantalla dunha fase na que hai que controlar tanto a cor das celas como o contido, e o eixe de simetría. En fases posteriores tamén hai que observar a orientación do contido, hai celas que desaparecen e logo reaparecen, as figuras teñen distintos padróns de sombreado...

Engadindo a imaxe decateime de que lembra
á portada dun libro ben bonito de Combinatoria,
Combinatorics. Ancient and Modern

Xa teño tedes outro xoguiño para eses días pampos de folga de estudantes nos que veñen dous despistados...

Dúas diseccións, unha vella e unha nova

 

Onte varios alumnos remataron un exame con bastante antelación, polo que acabei entrando aquí, na etiqueta Disección, para poñer algún problema que non precisase de moito enunciado. E a primeira entrada que sae nesa etiqueta é Catro novas diseccións, onde compartín catro problemiñas inventados por min. E pensei en crear algunha nova, polo que abrín o Polypad one more time e tardei un bo anaco en atopar algunha idea que me dese convencido. Porén, como tamén vin hai pouco unha interesante nun libro dun dos Grabarchuk, veño con dúas diseccións para engadir ao almacén. Obviamente é mellor a outra, xa podedes imaxinar, pero chanto antes a miña:

   

Dividide a figura anterior en 7 figuras co mesmo tamaño pero forma distinta.

Non fixen as variacións, mais coido que o periscopio ese pode cambiar de sitio e aínda habería problema para resolver.

   

Divide a figura anterior en tres partes congruentes.

Como son boa persoa, coméntovos que nese "congruentes" hai que entender que falamos de pezas sólidas, que podemos xirar no espazo.

Se outro día, xogando co Polypad, atopo algo potable, hei volver por aquí.

Dous problemas combinatorios

 

Había tempo que non atopaba un concurso matemático, e hoxe mesmo, remexendo na web de Art of Problem Solving na pescuda dalgunha ecuación diofántica (o que vén sendo o combustible que mantén viva esta maldade interior), dei co Concurso Madhava da India. O que non deixa de ser curioso, tendo en conta que foi fundado en 2010.

Esta competición vai dirixida a estudantes do grao de Matemáticas, o que fai que inclúa desde problemas de álxebra elemental ata ecuacións diferenciais, pasando pola combinatoria. E mirando por riba axiña achei dous curiosos dentro desta última materia. Atendede.

Este mesmo xaneiro apareceu este problema, que me sorprende que non pensara antes dado o inmediato que é:

De cantos xeitos podes escoller un número impar de obxectos dun total de n obxectos?

Inclúo as opcións que dá o concurso:

a) $2^{n-1}$ b) $2^{n}$ c) $2^{n}-1$ d) $n$ 

A solución, coido, é fácil de intuír, vendo as opcións. Antes de velas elucubrei un anaco sobre dividir a análise en dous casos, segundo se n é par ou impar. Pero é moito máis sinxelo. E susceptible de facer unha demostración puramente combinatoria e argallar varios argumentos.

E velaquí outro, este de 2015, que non sei se vai exactamente de combinatoria pero como mínimo está na fronteira:

Hai 8 equipos na liga profesional de kabaddi. Cada equipo xoga con todos os demais equipos unha soa vez. Supoñamos que non pode haber empates. Sexan $w_1, w_2, \dots , w_8$ o número de victorias e $l_1, l_2, \dots , l_8$ o número de derrotas dos equipos $T_1, T_2, \dots , T_8$. Entón

a) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49+l_1^2+ \dots + l_8^2$

b) $w_1^2+ \dots + w_8^2=l_1^2+ \dots + l_8^2$

c) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49-(l_1^2+ \dots + l_8^2)$

d) Ningunha das anteriores

Estou certo de que hei pasar pola web deste concurso moitas veces no futuro(de feito xa estou enleado con algún problema...)

Escher(-ish) noutro xogo

 Que tempos aqueles nos que todas as semanas saía un xogo "dos de pensar" na rede, que tempos.

Ou quizais segue a haber, o que sucede é que desde que desapareceu o Flash non hai unha contorna amigable, fóra de certos portais aparentemente máis especializados, como itch.io, ou cousas raras e infantís, como Roblox, na que velos. Ou pode que sexa eu máis vello, ou parvo, quen sabe.

 

Obviamente, se vexo que hai un novo xogo titulado Escheresque, vou probalo e raro será que non o comparta aquí. Que parece que eu son o target obxectivo dunha cousa así.

Aínda que logo, cando o probe, decida que moi Escheresque igual non é.

O xogo usa a perspectiva isométrica de moitos dos vellos xogos arcade dos 80, a mecánica inclúe cambiar entre dous mundos superpostos e isto fai que o noso ollo conxugue as imaxes dos dous mundos ata crear figuras paradoxais que non están aí. Ao contrario do Monument Valley, no que si aparecían ilusións e figuras imposibles.

Podía basearse en La Abadía del Crimen,
a verdade. Ou no Marble Madness

A principal dificultade do xogo é non ter unha visual completa do escenario, o que provoca que poidas vagar un chisco ata atopar o que hai que facer. E tendo en conta a lentitude coa que anda o nachiño, se sodes dos que vedes vídeos a 2x, non é para vós. Se sodes dos que non resolvedes un problema de todo no momento no que sabedes o que hai que facer, tampouco.

En conclusión, máis arte que xogo. Como premisa para algo máis grande si que o vexo factible.

Unha "trola" que adoito contar na aula

 

Alguén haberá que lembre unha vella entrada(de 2012!)deste blog, Mentiras que contamos os profesores de Matemáticas, na que o uso da palabra mentira quizais fose esaxerado. Por iso neste caso vou poñer trola entre vírgulas.

Xa comentei que este curso dou 1º e 3º de ESO, o que me leva, queira ou non, a ir comparando o panorama das matemáticas elementais que lles dou aos alumnos en ambos os dous cursos cando coinciden os contidos(eu négome a usar "sentido" aquí, non é funcional esa distinción). E como en 3º de ESO no meu centro comezamos polas unidades de Estatística, Combinatoria e Probabilidade, aínda estou agora na de Números Reais. Polo que a estas alturas de curso andamos cos números racionais, que implica necesariamente lembrar os rudimentos das fraccións. E este ano reparei en que unha das cousas que fago na aula, que non están programadas, pero que xa fixen moitos anos, é poñerlles diante esta cuestión:

Observando o produto de fraccións, 

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8}=\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 8}=\frac{15}{48}$$

e o paralelismo que hai co de naturais,

$$7 \cdot 4=28 \rightarrow 28:4=7$$

Non sería máis inmediato dividir fraccións deste xeito, moito máis natural?

$$\frac{15}{48} : \frac{3}{8}=\frac{15 : 3}{48 : 8}=\frac{5}{6}$$

Se tedes sorte e picades aos alumnos con isto, non tardará en aparecer a explicación. Eu teño este ano un 3º especialmente apático, no que cando fago preguntas no medio das explicacións, as facianas usualmente son algo así:

   

Para sermos exactos, con todo o teatro que fago eu, máis ben son así:

De Steamboat Bil, Jr.

Pois nesa aula saíu a explicación inmediatamente: Porque este algoritmo non asegura que o resultado sexa unha fracción, só funciona ben se o numerador e o denominador do dividendo son múltiplos respectivamente do numerador e o denominador do divisor. Calquera exemplo posto ao chou serve para ver o problema:

$$\frac{7}{6} : \frac{4}{15}=\frac{7:4}{6:15}=\frac{1,75}{0,4}$$

E esta non é a peor das situacións, pois as divisións dan decimais exactos, poderiamos obter unha fracción de verdade multiplicando numerador e denominador por 20. Pero, que sucede se aínda por riba, as divisións dan decimais periódicos?

Quizais pensedes que isto dá demasiado choio para o anecdótico que é. E non vos faltará parte de razón, supoño, pero eu creo que traballar cuestións deste estilo na aula vai no camiño de entender por que se definen os conceptos e se determinan os procedementos. Pola mesma razón insisto cando se amplían definicións como a de potencia en que o motivo é que a nova definición sexa coherente coa previa e máis elemental.

 E aproveitando a marea, serve para notar que o conxunto dos raciconais é pechado baixo suma, resta, multiplicación e división. Que xa sabedes o importante que é. Se ademais fose completo...

Dezasete

 

Pois si, o único primo expresable deste xeito,
sendo p e q primos

Chegamos ao décimo sétimo aniversario deste blog polo que ninguén daba dá un peso e velaquí está, durando máis que o voso amable inspector de educación average na docencia.

Este ano subiu o número de entradas con respecto aos sete anos anteriores, pois escribín 37, fronte ás 28, 34, 33, 32, 24, 24 e 24 dos anos que van de 2024 a 2018(en 2017 foran 38). A única explicación deste feito que se me ocorre é que a xefatura de estudos me compele a buscar certa evasión. Veremos este curso, agora que, felizmente, só dou clase.

Esas 37 entradas sumaron un total de 4053 visitas, mentres que o blog tivo o desorbitado número de 76390 visitas. En bluesky xa avancei a miña sospeita de que ten que haber moito tráfico de bots nesa cantidade, non o vexo factible para este humilde sitio. Polo que lin pola rede, efectivamente os bots son ubicuos nas estatísticas, pensaba que sucedería en webs máis ambiciosas, pero parece ser que o fenómeno é universal.

Como sempre, en contraste coas visitas, o número de comentarios só foi 21 nestas 37 entradas e 24 ao longo do ano. É o signo dos tempos, eu tampouco comento moito pola rede adiante, sendo sincero.

As cinco, non, seis entradas máis visitadas do ano foron(veredes por que teñen que ser seis):

• O concurso Georg Mohr 2025-2, 173 visitas, para unha entrada na que este profesor non acredita mérito ningún.
• Avaliación de final de etapa, outras 173 visitas nunha entrada crítica cunha avaliación catalá de 4º de ESOcon varios exercicios factibles en 1º de ESO. Vergoñento.
• Un problema elemental que (non) resolvín, 152 visitas. Raro que sexa unha entrada na que comparto unha solución, ese tipo de entradas non adoitan pasar das 50 visitas.
• Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 5, 152 visitas again para unha entrada xa tradicional sobre a olimpíada.
• 10000 anos, 148 visitas. Sucedeu o mesmo que o ano previo coa entrada de aniversario.
• Oh My Fuckin' God, outras 148 visitas para a entrada na que falo da primeira OMFG.

O máis rechamante é que haxa 20 entradas por riba das 100 visitas, aínda que non haxa un outlier como o ano pasado, que tivera 215 visitas.

E as cinco entradas menos vistas foron:

• Copiando rectángulos ata obter un cadrado, 35 visitas para a entrada 35 do ano. Curiosamente a entrada anterior, Dando clase en 1º de ESO outra vez, moi semellante a esta(cun applet geogebra representando un problema tipo de 1º de ESO), tivo 103 visitas. Supoño que o título tiña máis punch.
• Recuperar o polígono perdido, 62 visitas. Que son poucas para o visto este ano, pero eu creo que está bastante ben.
• Un inesperado caso de anumerismo, 63 visitas para a entrada na que boto merda sobre unha pasaxe de Nuestra Especie, de Marvin Harris,  aproveitando que este é o meu blog e, ben, en fin, que está morto.
• Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final, 64 visitas para unha entrada semellante á que está na lista das máis lidas.
• Dous rápidos para despois da enchenta, 69 visitas na última entrada do ano. Pode que teña menos visitas por iso ou por calquera outra explicación que se vos ocorra. Nin idea.

Este ano a media de visitas foi 109,5, a mediana, 105, e a desviación típica, 35. Para os fans das gráficas:

   

Ordenei en LibreOffice Calc por número de visitas de xeito descendente, e como tiña o formato condicional "escala de cores", queda tan feitiño que o comparto tamén:

   

A verdade é que estou bastante satisfeito cos números deste ano. E tamén con saber de casualidade en primeira persoa dalgún colega de profesión que me lía habitualmente. Máis non podo pedir.

Non sei se dar as grazas tamén aos bots.