Algún problema, Arquímedes?

Unha pequena explicación:

1. Debuxa unha circunferencia de diámetro 1.
2. Debuxa un cadrado arredor dela (tanxente). O seu perímetro é 4.
3. Elimina as esquinas do cadrado. O perímetro segue a ser 4.
4. Elimina máis esquinas do cadrado. O perímetro segue a ser 4.
5. Continúa o proceso ata o infinito.
6. π=4!. Algún problema, Arquímedes?

Seguro que esta pseudo-demostración convencerá a máis de un. E non é sorprendente, debido a dúas razóns, de distinta orixe:

• A introdución do número π no ensino das Matemáticas dista moito de ser exemplar. Isto é así agora pero tamén ocorría cando eu estudei a E.X.B. Ata moitos anos despois non descubrín a esencia do número π: é a lonxitude do perímetro dunha circunferencia de diámetro unidade , e pode ser demostrado que en calquera circunferencia, o cociente entre o seu perímetro e o seu diámetro é esa mesma constante. Tal e como recibín eu a información, semellaba que ese número era case un dogma, unha realidade matemática "por definición". E non quedaba outra opción: a circunferencia é un contido ineludible na educación primaria, e por outra banda, non creo que a maior parte dos alumnos tivesen moitos problemas epistemolóxicos por isto.
• O uso do infinito na "demostración". Aí radica todo o problema, é obvio. Podemos repetir o proceso ata o infinito? Podemos. Iso garante que o perímetro do polígono (que cada vez está máis preto da circunferencia) sexa máis e máis próximo ao da circunferencia? Non. E non coñezo mellor método para amosar que iso non ten que ser verdade que poñer outro exemplo máis claro, onde non aparece π por ningures, coñecido como "Paradoxo do Límite":

Comezamos cun camiño formado por dous segmentos de lonxitude 1, obviamente a lonxitude total do traxecto é 2. Se no segundo paso bifurcamos o camiño a metade do 1º segmento como amosa o segundo debuxo, a lonxitude total segue a ser 2. Continuando o proceso, a lonxitude seguirá a ser 2 en tódolos pasos. Pero é claro que no infinito o camiño confúndese coa diagonal entre o punto de saída e o de chegada, que ten unha lonxitude igual á raíz cadrada de 2.

Comparado con outras características estrañas do infinito, este paradoxo é practicamente unha trivialidade. Algún día terei que falar do Paradoxo de Banach-Tarski, pero iso é outra historia...