Para quen lle gusten os números

Xoguemos un pouco con números naturais.

Imos seguir un proceso que nos vai levar do conxunto dos primeiros 4 números naturais a un único número en tres pasos. En cada paso do proceso colleremos ao chou dous dos números, chamémoslles a e b, e substituirémolos polo número a + b + a·b. Como en cada paso temos un número menos, en 3 pasos chegaremos a ter un só número.

Fagámolo dúas veces, a ver que pasa.

1. Comezamos con {1, 2, 3, 4}. Collemos, por exemplo, o 2 e o 4, calculamos 2 + 4 + 2·4= 14
2. Temos agora o conxunto {1, 3, 14}. Collemos ao chou o 1 e o 3, calculamos 1 + 3 + 1·3= 7
3. Chegamos ao conxunto de dous números {7,14}. Calculamos finalmente 7 + 14 + 7·14= 119, número de presenza inofensiva.

Outra vez:

1. Volvamos a {1, 2, 3, 4}. Collemos agora o 1 e o 4, calculamos 1 + 4 + 1·4= 9
2. Atopamos agora o conxunto {2, 3, 9}. Collemos o 3 e o 9, obtemos 3 + 9 + 3·9= 39
3. Nesta ocasión chegamos ao conxunto {2, 39}. Calculamos outra vez 2 + 39 + 2·39= 119

Outra vez 119? Non pode ser casualidade. Haberá que facelo outra vez:

1. De {1, 2, 3, 4} collemos o 2 e o 3, calculamos 2 + 3 + 2·3= 11.
2. De {1, 4, 11} collemos 1 e 11 e obtemos 1 + 11 + 1·11= 23
3. En {4, 23} calculamos 4 + 23 + 4·23= 119

Se alguén cre que é puro azar, pode probar os distintos 12 camiños (12? non son 24? pois non...) que hai para seguir o procedemento, e así convencerse de que sempre aparece o 119.

Diante dunha sorpresa así, nun algoritmo tan sinxelo, ocórrenseme varias preguntas:

Que terá de peculiar o número 119?

Por que chegamos sempre a el mediante este proceso, independentemente do camiño que sigamos?

Pasará o mesmo se comezamos co conxunto dos primeiros 10 naturais?

Podemos adiviñar o número final e a súa relación co conxunto de partida?

E finalmente... gústanche este tipo de xogos?