A educación dun profesor de Matemáticas-I

Típica situación nunha aula calquera:
- Non, querido alumno, estrañamente o teu
profesor non sabe tódalas Matemáticas.

Aproveitando que, aínda que teño por corrixir unhas decenas de exames nestas vacacións, ninguén está á espera de que lle dea as notas ao día seguinte, vou divagar un pouco. En concreto sobre o periplo formativo que recibe un profesor calquera de Matemáticas que vaia dar cos seus ósos na ESO/Bacharelato por esta banda do noroeste da península. Supoño que moito do que escriba será extrapolable a outros lugares de España, pero como vou indicar as peculiaridades do camiño que realicei eu, tampouco estou seguro. Nesta primeira entrada debullarei a miña educación matemática preuniversitaria, non vou (nin podería) ser exhaustivo, así que desculpade os choutos.

Fala, memoria...

• Algo que revela a miña idade provecta é o feito de que estudei baixo o réxime da E.X.B. Por tanto padecín a mal chamada Matemática Moderna, tradución en tódolos sentidos do que se chamou a nivel mundial New Math, e que cando foi posta en marcha acó xa era máis ben Old Math. Diagramas de Venn, correspondencias, aplicacións sobrexectivas, inxectivas e bixectivas, produtos cartesianos, ... Cousas que case ninguén aturou nin entendeu, agás, obviamente, os alumnos aos que nos foi ben nese contexto. A consecuencia máis perniciosa para a miña formación probablemente foi que, en aras da estrutura abstracta da New Math, a xeometría euclidiana quedou a un lado ("A bas Euclide", como dixo Dieudonné no1959) de tal xeito que o único de Xeometría que lembro ter dado na EXB foi o Teorema de Thales (en 7º) e o de Pitágoras (varios anos), agás as típicas enumeracións de fórmulas de perímetros, áreas e volumes. Pola contra, teño un recordo vívido de facer nun folio unha representación da numeración binaria utilizando lentellas (na clase había todo tipo de leguminosas)  Os últimos cursos da EXB estaban centrados por un lado na maquinaria alxébrica (consistente coa New Math) e por outro sorprendentemente na resolución de problemas-tipo, propios doutras épocas: móbiles (tamén na clase de Física&Química de 7º, xunto aos de espellos e lentes), idades, reloxos, regra de tres composta, porcentaxes, mesturas&aleacións, capitais... Lembro que no meu libro de texto de 8º aparecían ecuacións bicadradas e irracionais, pero non chego a lembrar se as demos. O que si traballamos foi a Regra de Ruffini e a representación de parábolas.

Que faríamos en internet sen a New Math?

• Curiosamente todo o que demos fóra do marco estrito da New Math caeu no esquecemento ao entrar no BUP.
• O 1º curso comezaba cun repaso de toda a Aritmética e Álxebra dadas na EXB e continuaba co estudo polo miúdo de tódolos algoritmos dos polinomios e as fraccións alxébricas (Ruffini, factorización...), o binomio de Newton,a racionalización, as progresións aritméticas e xeométricas, as ecuacións racionais, irracionais e bicadradas. Despois a parte técnica era diluída ao chegarmos á combinatoria e á probabilidade, onde afogaban moitos alumnos. A memoria non me alcanza ata saber en que momento de 1º demos os números complexos, nin canto tempo dedicamos ás funcións. Para todo iso deu tempo en 1º de BUP, incluída a demostración longa da irracionalidade de $\sqrt{2}$. Por sorte teño algúns vestixios arqueolóxicos:



Perdón pola miña letra acelerada de 1º de BUP



Un exercicio típico do Binomio de Newton

• De 2º teño unhas lembranzas borrosas de facer límites medio ano, xunto coa definición $\epsilon-N$ de límite de sucesión e a correspondente  $\epsilon-\delta$ de límite de función, (e os exercicios inintelixibles sobre veciñanzas de amplitude unha milésima e os termos que quedaban fóra), xeometría analítica (claro) en dúas dimensións (ecuacións da recta: canónica, paramétrica, segmentaria...) e funcións definidas a anacos e as discontinuidades (lembro un recreo de 20 minutos no que lles ensinei a uns 6 compañeiros como pasar o exame da hora seguinte facendo límites laterais- estrañamente con éxito). Tamén pasamos moito tempo dando trigonometría, pero a memoria diso é borrosa. O que non demos foi derivadas, que noutros centros (e mesmo noutros anos no meu instituto) si que se daba.
• En 3º traballamos outra vez a xeometría analítica, outra vez a trigonometría con especial atención ás ecuacións trigonométricas, cónicas (só lembro ter dado a ecuación xeral da circunferencia e a elipse e un par de cousas sobre parábolas e hipérboles, pero levou o seu tempo), unha morea de exercicios aburridos de raíces n-ésimas da unidade nos números complexos, o espazo dos vectores en R², o produto escalar (forma bilinear simétrica definida positiva e por unha vez demostracións de resultados xeométricos elementares) e meses de derivadas, comezando pola interpretación xeométrica (na primeira folla da unidade tiña apuntados os nomes de Leibniz e Newton). Non chegamos a ver as integrais, seguramente polo tempo que pasamos na xeometría analítica e os complexos.
• En COU demos o curso dividido nos bloques clásicos: en Álxebra traballamos espazos/subespazos vectoriais, matrices e rango, determinantes, Th. de Rouché-Fröbenius, Regra de Cramer, Regra de Sarrus...; en Xeometría basicamente exercicios aburridos sobre planos e rectas onde utilizar a Álxebra Linear estudada previamente; en Análise vimos as primeiras demostracións serias, de tódolos teoremas agás o máis básico (Bolzano, pois a súa demostración requería unha definición precisa dos números reais e a súa topoloxía-non chegaba co concepto difuso de números decimais que posuíamos): Rolle, Valor Medio do Cálculo Diferencial e Integral, Fundamental do Cálculo; en Probabilidade case non tivemos tempo de ir alén dos experimentos Bernouilli e a Distribución Binomial. COU, en xeral, deixaba albiscar o que despois resultaron ser as "verdadeiras Matemáticas" entre centos de exercicios mecánicos. Particularmente a demostración do Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial, onde utilizabamos o Th. de Rolle, pareceume dun nivel superior. Tamén o feito de que o Teorema de Bolzano non puidese ser demostrado rigorosamente motivaba a buscar alén do que sabíamos. Pero tamén sei que había xente que aprendía os teoremas letra a letra, de tal xeito que $\forall x \in [a,b]$ convertíase en "a maiúscula ao revés, x, e raro, corchete, a, b, corchete"

Como dato curioso teño que salientar que nos case 10 anos que levo dando clase nunca dei nada "por riba" das derivadas, que aprendín con 16 anos. Normalmente o nivel de abstracción co que teño que loitar é co necesario para entender que se $x=6$, tamén $6=x$.

Seguro que esquecín unha morea de contidos, mais a impresión xeral creo que queda clara. Non vos perdades o seguinte capítulo das memorias da educación deste profesor de Matemáticas, nas que enumerará o que aprendeu na carreira e no CAP. Apaixonante...