Problemas varios

Aproveitando o tempo libre que teño estiven a resolver algúns problemas, tirados tanto da rede como da miña biblioteca e tamén de Brilliant, unha páxina da que souben hai uns días e que presenta problemas típicos de olimpíadas ademais de exercicios e problemas puramente curriculares.

Estes son algúns dos problemas que capturaron a miña precaria atención:

• O primeiro, de xeometría elemental, vino en Brilliant e préstase a varias estratexias:

Temos un rectángulo ABCD de base BC 12 cm. e altura BA 5 cm. No lado BC podemos atopar dous puntos E e F tales que os ángulos AED e AFD son rectos (por que? que ten que cumprir o rectángulo para que haxa dous puntos así?) Atopa a distancia entre E e F.

A Álxebra dá máis do que lle pedimos...

• O segundo, unha ecuación diofántica tirada da olimpíada polaca:

Atopa tódalas solucións da seguinte ecuación, onde x e y son números enteiros: 

$$x^4+y=x^3+y^2$$

• E o terceiro, unha brincadeira clásica, proposta no século XIX polo matemático francés Édouard Lucas  na súa discusión do 15 de Sam Loyd (si, Lucas é o das sucesións de Lucas que amplían o concepto da sucesión de Fibonacci).

Na figura hai 4 tarxetas coas letras A, B, C e D que ocupan totalmente as celas nas que están colocadas. Movendo as tarxetas por esta figura, sen levantalas, es quen de intercambiar a posición de A e B e a posición de C e D? 

Le jeu du Taquin

Oxalá o pasedes tan ben coma min pensando nas solucións!