Do sexo ás formas cuadráticas

15, 21, 28, ...

O título non é meu. Chántoo aí tendo en conta que tipo de buscas en google poden chegar acó. Vaia decepción que van levar...

Como dixen, o charramangueiro título non é froito da miña imaxinación, senón que o atopei no excelente libro "An Invitation to Mathematics. From competitions to research", editado por Dierk Schleicher e Malte Lackmann. O capítulo que así comeza évos un pouco longo, así que só vou compartir os dous problemas elementais cos que inicia o camiño que remata vinte páxinas máis adiante.

O primeiro problema, que vin por primeira vez na oposición a profesor de secundaria de Castela-A Mancha do 2006, é realmente interesante:

Un profesor ten ao seu cargo varios alumnos. Quere escoller dous ao chou, e descubre que hai xusto un 50% de probabilidade de que os dous alumnos así escollidos teñan o mesmo sexo. Que podemos afirmar sobre o número de alumnos de cada sexo que hai na aula?

Só direi da solución que ten características xeométricas...


Para sermos precisos, o problema da oposición castelá non fora tan complexo. Alí o enunciado era:

Un caixón contén calcetíns vermellos e negros. Cando collemos dous calcetíns aleatoriamente, a probabilidade de que os dous sexan vermellos é 0'5. Cal é o número mínimo de calcetíns do caixón? Cal é o número mínimo de calcetíns se o número de calcetíns negros é par?

Este problema non era orixinal da oposición, senón que xa aparecera en 1965 como primeiro problema do libro "Fifty challenging problems in probability". O interesante é que pode ser resolto sen  analizar polo miúdo a estrutura das solucións da ecuación que xorde de xeito natural.


Relacionado co anterior vén o seguinte problema, titulado "Do sexo aos calcetíns":

Un home ten nunha bolsa calcetíns de tres cores distintas. Observa que se colle dous calcetíns ao chou hai precisamente unha probabilidade do 50% de que formen unha parella da mesma cor. Que podemos dicir do número de calcetíns de cada cor que ten na bolsa?

Este problema con calcetíns é algo máis complicado có dos sexos. Tanto que vou dar unha indicación: as cantidades de calcetíns de cada cor están relacionadas, vía a Fórmula de Herón, con certo tipo de triángulos.

De aquí en diante no libro as cousas vanse poñendo serias. Ata chegar ás formas cuadráticas aínda queda un longo camiño. Matematicamente falando, a viaxe comeza na probabilidade, pasa rapidamente á teoría de números, avanza pola xeometría do triángulo (euclidiana e baixo unha perspectiva vectorial) e remata na teoría matricial de formas cuadráticas. Case nada...