Tempo abondo

Andaba hoxe polo twitter...

Levo tanto tempo escribindo neste blogue que cando me vén un tema á cabeza teño problemas serios para saber se xa o tratei. Por sorte o tema de hoxe é a probabilidade, e en concreto un paradoxo (aparente), polo que non é complicado buscar na etiqueta Paradoxos. Se fose un problema de Xeometría xa tería máis choio. Este paradoxo quizais non sexa tan coñecido como outros probabilísticos como o paradoxo de Bertrand ou o de San Petersburgo, aínda así é ben interesante.

A situación de inicio é tradicional: temos unha urna cunha bóla branca e unha bóla negra. Comezamos un "xogo probabilístico" do seguinte xeito: extraemos unha bóla ao chou e,

• se a bóla é branca rematamos.
• se a bóla é negra devolvémola á urna e engadimos outra bóla negra.

As dúas preguntas inmediatas son:

1. cal é a probabilidade de que remate o xogo, é dicir, de obter nalgún momento unha bóla branca?
2. ... e canto tempo durará por termo medio o xogo?

Vexamos.

A probabilidade de obter bóla branca á primeira extracción é claramente $P_1=\frac{1}{2}$

Se non temos sorte á primeira, é dicir, extraemos unha negra, a probabilidade de sacar branca á segunda vai ser $P_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot 3}$ , pois agora temos na urna unha bóla branca e dúas negras.

Na terceira extracción será $P_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{3\cdot 4}$

Razoando deste xeito chegamos a que obter bóla branca na extracción n-ésima ten probabilidade: $P_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\cdot (n+1)}$ De tal xeito que a probabilidade de que o xogo remate vén dada pola suma dunha serie felizmente sinxela de calcular: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots \frac{1}{n\cdot (n+1)}=(1)$$ Agora imos utilizar un truco clásico, que se apoia en primeiro lugar nese procedemento tan aburrido como sinxelo que chamamos "descomposición en fraccións simples" e que leva un tempo considerable en 2º de Bacharelato (co obxectivo de calcular primitivas racionais): Resulta que: $$\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ (isto ten que ter unha demostración visual, seguro) Así que para calcular a suma buscada, utilizando que a serie é telescópica: $$(1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\cdots =1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}$$
$$=1-0=1$$ Así que con seguridade obteremos unha bóla branca. Vaiamos á segunda pregunta: canto tardaremos por termo medio en obtermos esa bóla branca? A resposta é a consabida esperanza matemática, xeneralización da media en casos finitos: $$E=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\cdot \frac{1}{n\cdot (n+1)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}=\mathrm{\infty }$$ isto último debido a que a suma da serie harmónica non é finita (probablemente sexa a primeira serie non trivial con suma non finita) Unindo estes dous resultados, temos que a probabilidade de obter bóla branca é 1, mais por termo medio teremos que esperar un tempo infinito.

Os case cinco anos que levo esbardallando pola rede non semellan moito en comparación.