Problemas matemáticos da Lusofonía

Non coñecía a existencia da Olimpíada Matemática da Lusofonía ata que a atopei en Mathlinks, que vén sendo o equivalente da wikipedia no ámbito das competicións de problemas matemáticos. Para sermos exactos, a olimpíada deixou de chamarse "da Lusofonía" (nome ben bonito e cargado de significado, curiosamente a Xunta non ten ligazón algunha na súa web) para denominarse actualmente Olimpíada Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa polo patrocinio da devandita comunidade.

Non puiden evitar mergullarme nos problemas, dos cales traio dous dos que gustei especialmente:

• O primeiro é totalmente elemental, no senso de que non require concepto sofisticado ningún, nin operacións complexas... Só unha boa intuición, que non é pouco. Caeu na olimpíada deste ano, e di así: Un evento ten un comportamento periódico. Durante x anos consecutivos ocorre, para pasar a deixar de ocorrer durante os y anos seguintes, e volta a x anos de aparición... Sabemos que ocorreu nos anos 1964, 1986, 1996 e 2008, e que non ocorreu nos anos 1976, 1993, 2006 e 2013. Cal será o seguinte ano no que si vai ocorrer o evento?

• O outro problema é xeométrico, do tipo que chamamos dinámico porque hai puntos que se moven. O Geogebra é unha ferramenta moi útil para a intuición xeométrica (neste caso resolve por completo o problema, así que non o usedes ata que o resolvades). Apareceu na olimpíada do 2011 (cando aínda se chamaba da Lusofonía): Consideremos dúas circunferencias, tanxentes exteriormente nun punto T, ambas as dúas inscritas nun rectángulo de altura 2 e base 4. Un punto E móvese no sentido contratrio ao das agullas do reloxo na circunferencia da esquerda, e un punto D no sentido das agullas na circunferencia da dereita. Os dous puntos comezan a moverse simultaneamente; E desde o punto T e D desde o punto A, onde a circunferencia da dereita toca superiormente ao rectángulo. Os dous puntos levan a mesma velocidade. Atopa o lugar xeométrico que percorre M, punto medio do segmento que une a E e D.

A figura resume todo ese texto:

Non, non vai ser unha cónica...

Haberá que seguir esta olimpíada, pois as experiencias destes anos coa brasileira e a portuguesa son moi interesantes.