Un starter

No artigo que enlacei por acó, que todos os meus colegas, amigos e familiares tiveron que ler polo menos tres veces, mencionaba brevemente a idea de "Math Starter". O nome en inglés fai que o concepto quede máis rechamante (máis nesta época de estupidez anglófila que nos fai padecer a administración), mais a orixe é ben tradicional: como comentaba aló, todos os profesores de Matemáticas utilizamos dalgún xeito ideas, problemas, situacións... que introducen informalmente os novos contidos que imos traballar. Esta semana utilicei un que pode que outros profesores vexan interesante na unidade de Divisibilidade de 1º de E.S.O. Aínda que a idea implícita é ben coñecida, quizais a "posta en escena" non o sexa tanto. Ollade como funciona:

• Ao comezo da clase pídolles aos alumnos que escriban no seu caderno un número calquera de 5 cifras.

Imaxinemos que escribe o número 92836

• Mándolles sumar as cifras dese número.

9+2+8+3+6=28

• Agora dígolles que resten o que lles deu esa suma do número orixinal:

92836-28=92808

• Por fin, o desenlace: Dígolle a cada un que risque unha das cinco cifras do número e que me diga as outras catro, se queren desordenadas

O alumno podería riscar un 8, 92808 e dicirme 2-0-8-9

• Contéstolle ao alumno que riscou un 8. Se o fago case instantaneamente e 20 veces consecutivas, ademais dicíndolle aos alumnos que negan que riscase o número adiviñado que volvan botar as contas, pero esta vez ben, acabo por oír un sonoro oh! de sorpresa, o cal nunha aula de secundaria sempre é de agradecer.

Rematada a actuación, vaiamos ás Matemáticas...

A suma das cifras dun número natural é coñecida de xeito tradicional como "suma dixital". Ten a propiedade de ser congruente módulo 9 co número orixinal, é dicir, o resto que deixa o número ao ser dividido entre 9 é o mesmo que deixa a súa suma dixital. Este é o feito oculto baixo a "proba do 9" que se utilizaba para comprobar a división hai varias xeracións (eu xa nin a utilicei na EXB). Vexamos o número de antes:

92836=10315·9+1

9+2+8+3+6=28=3·9+1

Vemos que efectivamente $\small{92836 \equiv 28 (mod9)}$

Entón, se ao número lle restamos a súa suma dixital obteremos sempre un número divisible entre 9, e aí está a esencia do truco: as cinco cifras que obtemos suman un múltiplo de 9, cando riscan unha e len as outras catro só temos que recuperala calculando canto lle falta á suma desas catro para chegar a un múltiplo de 9. No exemplo, sumamos 2+0+8+9=19 e sabemos que riscaron un 8 para chegar a 27=9·3.

Obviamente o truco ten unha péga: non permite distinguir casos dubidosos, nos que o alumno risca un 0 ou un 9, para obter suma dixital das outras catro cifras múltiplo de 9; así que é útil dicir ao comezo que non risquen un 0, que é o que fago eu, ou xogar a cara e cruz neses casos.

Se alguén quere saber a proba formal da congruencia módulo 9 dun número coa súa suma dixital, é ben breve:

$$\small{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0 =10^n\cdot a_n+10^{n-1}\cdot a_{n-1}+ \dots +10^1\cdot a_1+10^0\cdot a_0 \equiv}$$

$$\small{1^n\cdot a_n+1^{n-1}\cdot a_{n-1}+ \dots +1^1\cdot a_1+1^0\cdot a_0 \equiv  a_n+ a_{n-1}+ \dots + a_1+ a_0 (mod9)}$$

Onde utilizamos que $\small{10\equiv 1(mod9)}$ e que as operacións aritméticas básicas son compatibles coas congruencias. É sinxelo ampliar a proba para sistemas de numeración de base p e a divisibilidade entre p-1. As mesmas ideas utilizaríamos para amosar o criterio de divisibilidade do 11. 

Os profesores que lean o truco pensarán que é algo barato, e que case é máis relevante o xeito de interpretalo, e non lles faltará razón. Pero espero que coincidan comigo en que isto é común no noso traballo. Ata situacións extremas como a que vivín o outro día: despois de explicar o horrible algoritmo da raíz cadrada, oín varios "COMO MOLA!"