Contar sen contar

Ao comezo do curriculum da opción A de Matemáticas de 4º de ESO hai un bloque 1 denominado "Contidos Comúns". En realidade este bloque aparece en todos os cursos, e preténdese que os seus contidos sexan transversais ao desenvolvemento de todo o curso. A idea soa ben, xa que son contidos comúns semella lóxico incluílos en todas as unidades. Na práctica, en troques, isto préstase ao abandono: como non é sinxelo avaliar ítems abstractos como "Planificación e utilización de procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, tales como a emisión e xustificación de hipóteses ou a xeneralización", vai quedando de lado. É inevitable.

Como a LOMCE non se implantou en 4º de ESO, aínda podo traballar mellor que cando teña unha reválida na caluga. Polo que este ano decidín comezar seriamente por eses contidos comúns. E que mellor campo que a Combinatoria, que dentro das Matemáticas elementais ten probablemente a mellor ratio dificultade/sofisticación. 

De tal xeito que levo un comezo de curso moi entretido, buscando problemas moi diversos, variando condicións, preguntando "que pasaría se...?",... O feito de que os problemas non requiran case expresións alxébricas anima aos alumnos a participar; se unimos isto a que eu tento non saber as solucións cando os propoño, que tamén me teño trabucado e que tardei máis que algún alumno en notar algunha circunstancia, produce unhas aulas certamente atípicas.

Como mostra dalgúns problemas que traballamos nestas aulas, observade estes tres, dous tirados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas e un propio:

• Cantos números entre 1 e 1000 son múltiplos de 3 e 5? Cantos son múltiplos de 3 pero non de 5? E de 5 pero non de 3? E de ningún dos dous?

Resolvemos este problema con varias ideas distintas: ser múltiplo de 3 e de 5 é o mesmo que ser múltiplo de 15, se vas cantando os múltiplos de 3, vas dicir un múltiplo de 5 cada... 5 números,... E finalmente tamén me serviu para introducir os diagramas de Venn para representar a situación. Outro día a ver se lembro pregunta que pasaría se substituímos 3 e 5 por 4 e 6, ou calquera parella non coprima. 

• Mergullamos o cubo da figura en pintura. Esperamos a que seque e rompemos o cubo nos pequenos cubos unitarios representados pola grella. Cantos cubiños terán unha soa cara pintada? Cantos terán dúas caras pintadas? E tres? E ningunha?

Alguén ve unha figura plana aquí enriba?

Neste problema contamos "por forza bruta" os cubos, mais sucedeu algo curioso: para contar os cubos con dúas caras pintadas observamos que en cada aresta había dous (os que non están nos extremos), así que contando as arestas (12) e multiplicando por dous obteríamos o número; un alumno comentou que el vira que en cada cara do cubo había 8 cubos con dúas caras pintadas, e cando fixo a conta 8·6 decatouse de que tiña que dividir entre 2 para eliminar a redundancia de que cada cubo deses estaba en dúas caras. Unha idea que é moi útil cando se traballa coa Fórmula de Euler e os poliedros regulares.

• De cantos xeitos podemos pintar os círculos da figura de verde, amarelo e laranxa se os círculos conectados por un segmento non poden ter a mesma cor?

Cantas arestas interiores hai? E exteriores?

Neste caso vimos a semellanza que había entre esta estrutura triangular e o problema que utilicei os primeiros días para introducir o diagrama en árbore, o da chegada dos Reis Melchor, Gaspar e Baltasar. Que por suposto evitei chamar permutacións.

A verdade vai ser duro deixar esta unidade e comezar coa Aritmética e a Álxebra...