Da técnica ás ideas

A breve unidade de Lugares Xeométricos e Cónicas de Matemáticas I comeza, como é lóxico, co estudo da circunferencia como curva. Da definición intuitiva como lugar xeométrico, apoiada pola experiencia desde pequenos dos alumnos co compás, chegamos á ecuación xeral. Esencialmente é un paso alxébrico, desde isto:

$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$

ata isto:

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$

Os lectores habituais saberán que o meu achegamento a ensinar novos conceptos non pasa por enumerar todas as definicións, condicións, feitos, etc. senón porque os alumnos vaian vendo exemplos e de aí tiren eles o esencial(con máis dunha década ás costas, aínda con escaso éxito pola miña parte, teño que recoñecer). Por isto, para vermos que configuracións poden aparecer cando consideramos dúas circunferencias, simplemente chantei un par de circunferencias no encerado e no ordenador, ocultando un intre a vista gráfica do Geogebra, e deixeilles que visen eles o que estaba a suceder.

Para sabermos a posición relativa de dúas circunferencias non é necesario argallar coa Álxebra, pero se queremos saber en que puntos se cortan, non queda outra que facer un sistema de ecuacións. Collamos un par de circunferencias:

$$\begin{cases}x^2+y^2-2x+4y+2=0 \\ x^2+y^2+4x+2y+1=0 \end{cases}$$

É habitual facer:

$$\begin{cases}-6x+2y+1=0 \\ x^2+y^2+4x+2y+1=0 \end{cases}$$

Como vemos no applet:

Cun par de exemplos, os alumnos detectaron que a ecuación que aparece ao restarmos as das circunferencias é a da recta que pasa polos puntos de corte. Pero aínda foi máis interesante a pregunta dun deles: E se non se cortan, que representa esa ecuación?

Comentario final autobiográfico:

Cando eu dei a circunferencia na Xeometría analítica de 3º de BUP, si que aparecía no curriculum a potencia dun punto respecto dunha circunferencia, o eixe radical de dúas circunferencias e o centro radical de tres circunferencias. Curiosamente, non se comentaba absolutamente nada dos problemas que pretendían resolver eses conceptos.