Outro feito curioso nos naturais

Atopei un anaco para actualizar cunha propiedade elemental ben curiosa, tamén dos números naturais como a desta entrada de hai uns anos. Sería recomendable que collérades lapis e papel para probar vós mesmos con outros casos. Observade:

Collamos todos os números naturais ata un número par calquera, eu de exemplo vou coller ata o 10.

$${1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$$

Dividide aleatoriamente en dúas metades o conxunto:

$${2,5,7,9,10}$$

e

$${1,3,4,6,8}$$

Agora arranxade a primeira de xeito crecente(xa está) e a segunda de xeito decrecente

$${2,5,7,9,10}$$

e

$${8,6,4,3,1}$$ 

Calculade a distancia(que sempre é positiva, vaia, falamos do valor absoluto da diferenza) entre os termos correspondentes de cada metade:

$${6,1,3,6,9}$$ 

E sumade esas distancias:

$$6+1+3+6+9=25$$

E ben?-Preguntará algún. Pois o abraiante é que ese mesmo resultado, 25, vai aparecer ao final do procedemento escollas como escollas as metades. Probemos con outra, ou mellor aínda, probade vós, agora que xa sabedes, ordenemos xa no primeiro paso:

$${2,4,7,8,9}$$

$${10,6,5,3,1}$$

$$8+2+2+5+8=25$$ 

O dito: sexa cal sexa a división en metades, o número vai ser sempre o mesmo, i.e., é un invariante, que só depende do número par escollido ao comezo do post.

Quédanvos dúas tarefas para o final de xullo:

1) Que número vai aparecer se seguimos este procedemento con, poñamos, o número 60?(pregunta que imaxino xa respondestes namentres líades o post)

2) Por que?

Non vou revelar o nome deste feito para que teñades que argallar vós un chisco, só o lugar onde eu o vin por primeira vez. Como noutras ocasións, foi nun libro do prolífico Titu Andreescu, Mathematical Miniatures, fonte dunha morea de xoias matemáticas.