Unha aplicación das matrices á divisibilidade

Revisando as últimas adquisicións, atopei un algoritmo baseado nas operacións elementais sobre matrices que permite facer un cálculo ben coñecido na ESO. Só vou explicar como funciona o algoritmo, deixando os detalles ao amable lector, que se note en que facultade estudei, polo menos non vou dicir que é trivial(aínda que o sexa).

Collamos dous números calquera, 126 e 210, que ben poden aparecer nun libro de texto de 1º de ESO. Poñámolos en forma de columna xunto á matriz $I{d}_{2x2}$ e tentemos chegar a que un dos dous números se convirta en 0 mediante operacións elementais:

$\left[\begin{array}{ccc}210& 1& 0\\ 126& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{F_1-F_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}84& 1& -1\\ 126& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{F_2-F_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}84& 1& -1\\ 42& -1& 2\end{array}\right]\stackrel{F_1-2F_2}{\to }$ $$\left[\begin{array}{ccc}0& 3& -5\\ 42& -1& 2\end{array}\right]$$

Agora que obtivemos o 0 no lugar $a_{11}$, o elemento $a_{21}=42$ é o $M.C.D.(210,126)$, e ademais, os elementos $a_{22}$ e $a_{23}$ son os escalares da combinación linear dos números 210 e 126 que garante o Teorema de Bezout:

$$-1\cdot 210+2\cdot 126=42$$

Este algoritmo permite tamén obter a solución de ecuacións diofánticas lineais. Se quixésemos resolver, p.ex., $18x+30y=24$, non habería máis que obter os escalares mencionados arriba, neste caso $-3\cdot 18+2\cdot 30=6$, e multiplicar os dous membros da igualdade por 9(condición necesaria e suficiente para que unha ec. diofántica linear teña solución é que o M.C.D. dos coeficientes sexa divisor do termo independente).

Un par de cuestións:

Cantas operacións elementais hai que efectuar para obter o máximo común divisor mediante este método?

E máis importante, por que funciona chantar a matriz identidade ao lado do noso vector?