Unha aplicación das matrices á divisibilidade

Revisando as últimas adquisicións, atopei un algoritmo baseado nas operacións elementais sobre matrices que permite facer un cálculo ben coñecido na ESO. Só vou explicar como funciona o algoritmo, deixando os detalles ao amable lector, que se note en que facultade estudei, polo menos non vou dicir que é trivial(aínda que o sexa).

Collamos dous números calquera, 126 e 210, que ben poden aparecer nun libro de texto de 1º de ESO. Poñámolos en forma de columna xunto á matriz $Id_{2x2}$ e tentemos chegar a que un dos dous números se convirta en 0 mediante operacións elementais:

$\left[ \begin{array}{c|cc} 210 & 1 & 0 \\ 126 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_1 - F_2}  \left[ \begin{array}{c|cc} 84 & 1 & -1 \\ 126 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_2 - F_1} \left[ \begin{array}{c|cc} 84 & 1 & -1 \\ 42 & -1 & 2 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_1 -2 F_2} \\ $ $$ \left[ \begin{array}{c|cc} 0 & 3 & -5 \\ 42 & -1 & 2 \\ \end{array} \right]\ $$

Agora que obtivemos o 0 no lugar $a_{11}$, o elemento $a_{21}=42$ é o $M.C.D.(210,126)$, e ademais, os elementos $a_{22}$ e $a_{23}$ son os escalares da combinación linear dos números 210 e 126 que garante o Teorema de Bezout:

$$-1 \cdot 210+2 \cdot 126=42 $$

Este algoritmo permite tamén obter a solución de ecuacións diofánticas lineais. Se quixésemos resolver, p.ex., $18x+30y=24$, non habería máis que obter os escalares mencionados arriba, neste caso $-3 \cdot 18 +2 \cdot 30=6$, e multiplicar os dous membros da igualdade por 9(condición necesaria e suficiente para que unha ec. diofántica linear teña solución é que o M.C.D. dos coeficientes sexa divisor do termo independente).

Un par de cuestións:

Cantas operacións elementais hai que efectuar para obter o máximo común divisor mediante este método?

E máis importante, por que funciona chantar a matriz identidade ao lado do noso vector?