O mellor truco de cartas

Facendo unha pescuda polos arquivos dun disco duro atopei un artigo titulado "The best card trick", que polo visto descarguei aló polo 2006(hai 3 institutos!), que explica un truco que ata esta semana non sabía que era coñecido como Fitch Cheney's Five Cards Trick, en honor ao mago que o introduciu, e que acadou popularidade grazas ao libro Math Miracles de Wallace Lee(Telephone Stud, páxina 49).

O comezo do artigo segue a resultar tan intrigante como a primeira vez que o lin, polo que pensei en traer aquí o seu contido. Ao poñerme a escribir, fixen unha busca na rede e achei que en NRICH xa comentaran o truco, non enlazo os vídeos que fixeron alí porque non están colgados nunha das plataformas habituais.

En que consiste o truco? O xeito tradicional vai así: un voluntario colle cinco cartas dunha baralla, e entrégallas ao asistente. Este escolle unha carta das cinco, déixaa tapada e coloca as catro restantes á vista do mago, quen finalmente adiviña deduce a carta cuberta.

E por que gardei este artigo todos estes anos? Pola explicación voluntariamente trabucada do comezo de por que este truco é imposible. Xulgade vós:

O asistente amosa 4 cartas ao mago, polo que a 5ª carta, que hai que adiviñar, pode ser calquera das 48 restantes da baralla(francesa, que aínda non o dixera). Pero 4 cartas só poden ser ordenadas de 4!=4·3·2·1=24 xeitos, o que provoca que as ordenacións só poderían codificar 24 cartas, non 48.

Ide pensando en cal é o erro deste razoamento, mentres observades este vídeo, no que Brian Brushwood, da canle Scam School, fai o efecto (e inclúe a explicación en 1:11)

Vistes xa cal é o erro da "demostración" da imposibilidade?

Aínda non?

Queredes un anaco máis para pensar? Espazo cortesía de Randall Munroe:

Complex Numbers 

Agora si, imos ao choio: o erro está en que en realidade non hai 4 cartas a escoller para transmitir a mensaxe de cal é a 5ª: hai que incluír a 5ª carta, que tamén é unha escolla do asistente. E tendo en conta que nunha baralla hai 4 paus, é obvio que haberá dúas cartas do mesmo pau(instancia sinxela do Principio do Pombal ou Dirichlet). O asistente colocará de 1ª carta visible unha co mesmo pau que a oculta. Co cal as opcións para a carta que hai que deducir son só 12(na baralla francesa hai 13 por pau), e as permutacións das 3 restantes son 3!=6, polo que aparentemente aínda non parece posible o truco. O que indica que hai que pensar algo máis que facer coas dúas cartas do mesmo pau.

Se visualizamos as 13 cartas dese pau en círculo, sempre podemos "sumar" pola circunferencia un número do 1 ao 6 a unha das cartas e obter a outra. Por exemplo, se as cartas son o 4 e o 10 dun pau:

No outro sentido serían 7 pasos

Agora só queda atopar un xeito de que as 3 cartas restantes poidan codificar os números do 1 ao 6. Unha posible elección é usar a orde alfabética nas cartas(en inglés, clubs, diamonds, hearts and spades)combinada coa ascendente dos números, aínda que entre magos hai unha orde máis habitual, coñecida como CHaSeD. Entre as 3 cartas haberá unha co menor valor(l), unha co valor intermedio(m) e unha co maior(h), só hai que atribuír os números do 1 ao 6 a unha das permutacións, por exemplo do seguinte xeito:

l-m-h=1
l-h-m=2
m-l-h=3
m-h-l=4
h-l-m=5
h-m-l=6

Curioso, non si? Agora só necesitades un asistente e xa podedes deixar abraiados aos colegas.


Nota: Polo visto todo o mundo publicou un artigo sobre este truco, non só NRICH. Buscando o pdf do artigo do Mathematical Intelligencer tamén vin unha entrada en Futility Closet, que non lera no seu día, chamada The Fifth Card. Se buscades por Fitch Cheney's  Five Card Trick, Fifth Card, etc., acharedes miles de entradas similares, eu descubrín deste xeito unha nova referencia con problemas interesantes, Matheon Kalender.