Ideas simples mais difíciles

Simple pero difícil

Cando un dá clase na ESO e bacharelato acaba observando dificultades recorrentes, ano tras ano, nos alumnos. Non estou a falar do que poderíamos denominar, parafraseando o vocabulario de continuidade, dificultades "evitables", i.e., dúbidas comprensibles que agroman ao traballar un algoritmo, un procedemento de resolución ou ao presentar un concepto por primeira vez. Un exemplo destas dificultades evitables podería ser a confusión entre a frase "a terceira parte dun número é 15" e "canto é a terceira parte de 15?", tema do que xa falei hai (horreur!) 10 anos por acó. Calquera profesor que dese clase en 1º de ESO sabe que este obstáculo aparece todos os anos, postos a elucubrar, quizais sexa un exemplo do 1º dos dous sistemas de pensamento dos que fala Daniel Kahneman.

Hoxe quero reparar en ideas que sendo simples resultan difíciles de asimilar polos alumnos. Ás veces esas ideas son tan esenciais que nin sequera son explicitadas nas clases. Para que vaiades albiscando noutro contexto o tema que nos ocupa, pensade neste exemplo: imaxinade que tedes dous exames, ponderados nunha nota final de avaliación 40%/60%. Non é evidente que para facer a media ponderada a operación que hai que facer é $\frac{40}{100} \cdot a_1+\frac{60}{100} \cdot a_2$? A que é automático? Pero ese cálculo non é facerlle o 40% á primeira nota e o 60% á segunda nota? É igual de evidente que facer esas porcentaxes ás notas equivale a que cada nota teña ese peso sobre a nota final? Pensástelo deste xeito algunha vez?

Pero vaiamos ao tema da entrada. A seguinte é unha lista breve de certas ideas que, despois de escaravellar na aula preguntando aos alumnos, teño atopado no fondo dos seus obstáculos. Sen dúbida coñezo

• Se dous obxectos matemáticos son iguais(quizais habería que concretar ese "iguais"), podemos substituír un polo outro en calquera situación. Vou poñer un exemplo algo avanzado onde agroma esta dificultade. Observade o típico sistema de ecuacións que se traballa entre 4º de ESO e 1º de bacharelato, onde as ecuacións non son lineais: $$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy} \\  xy=1 \end{cases}$$ Aínda que non é necesario para resolver o sistema, e de feito non é o xeito "estándar" que seguen os alumnos, un xeito cómodo é utilizar que xy=1 e substituílo cada vez que apareza. Fixestes isto na aula? Vivistes o pequeno motín posterior? Curioso que suceda no contexto precisamente onde hai un método chamado de "substitución" e outro de "igualación", non si? Os alumnos aceptan a substitución $y=\frac{1}{x}$, mais non $xy=1$

• Relacionado co anterior, previamente na ESO observamos atrancos no uso das variables, usualmente entre alumnado que quedou coa interpretación das variables exclusivamente como un xeito de incluír todos os números(sexa un número o que for). Daquela terán dificultades para cambiar a por 3a-2b en (a+b)² ou calquera troco semellante.

• (Este sorprenderá a quen nunca dese clase de Matemáticas) Resumindo, a regra do produto en combinatoria. Polo miúdo, un exemplo fará soar a campá: se teño 3 saias distintas e 4 blusas distintas, cantas combinacións distintas poderei vestir? Na solución utilizades sumas de sumandos iguais? Ese é o paso intermedio cara á idea do produto. E non admite xeralización automática a outros conxuntos de núneros que non están pensados para contar, de aí o obstáculo coas operacións con irracionais como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$

• Unha fracción é un número, non dous. Se preferides, unha fracción é unha cantidade, non dúas. Isto é tan evidente para quen o sabe que é moi habitual pasalo por alto. De feito é co tempo utilizado coas fraccións que os alumnos van afacéndose a esta idea, ratificando o aforismo de Von Neumann: "En Matemáticas non entendes as cousas, simplemente afaste a elas"

• De novo relacionado co previo: Para comparar o tamaño de dúas magnitudes, alén de saber cal delas é maior, o axeitado é dividilas, non restalas. Este mesmo ano, ao comezo da unidade de Proporcionalidade en 1º de ESO, houbo varios alumnos dos que seguían perfectamente o curso(e que viñan dun historial de éxito académico dos seus colexios) que discutiron varias veces esta idea. Houbo varios contextos nos que xurdiu a discusión, un deles foi ao comparar aulas con distinta proporción de alumnos varóns. Discutíronme de xeito vehemente que se nunha clase había 15 alumnos varóns dun total de 30, era a mesma situación que noutra na que había 35 alumnos varóns dun total de 50. Nos dous casos as mulleres eran 15, polo que viña ser o mesmo. Non caeron do guindo en contextos cercanos, comezaron a ver o conto ao levar o exemplo ao absurdo dunha clase con 1000 alumnos; finalmente tiven que poñer un exemplo con mililitros de pintura azul e amarela para que acordasen comigo que o verde resultante non era o mesmo. Será que o caso continuo é máis visual que o discreto?

Como conclusión, resolver como profesor dificultades deste tipo é moito máis afanoso que apuntar erros na execución dun algoritmo, seguramente debido ao carácter esencial daquelas. Ás veces resulta un traballo colosal tentar resolvelas no medio dunha aula con máis de vinte alumnos.

Vós tedes algún exemplo destas ideas simples enganosas?