Como facer entender?

Esta, e non outras, é a pregunta que me martiriza cando vexo as caras dos meus alumnos. Se damos creto ás teorías modernas en vigor, onde o profesor simplemente orienta aos alumnos no camiño da aprendizaxe (mode Zen:ON), estes alumnos descubrirían os conceptos, e os procedementos caerían polo seu propio peso. Ás veces gustaríame que os alumnos fosen autónomos abondo para aprender do que len. Pero aínda están moi afastados dese punto.
Concretando, o que me levou polo camiño da amargura esta semana foi a miña incapacidade para que unha porcentaxe significativa de alumnos dunha clase entendesen a seguinte idea, esencial para comprender a fórmula que calcula o xuro composto. Expoño a situación:

Se unha consola de videoxogos custa 600 €, e sofre dúas rebaixas consecutivas do 20 %, cal é o seu prezo ao final?
(Por certo, problema transformado desde a realidade, modificando as porcentaxes minimamente para facer os cálculos sinxelos, se seguides o mercado dos videoxogos saberedes)
Desde logo os alumnos dominaban o xeito lento e low-tech:

20 \ \% \ de \ 600 = \frac{600 \cdot 20 }{100}=\frac{12000}{100}=120\\
600 - 120 = 480\\
20 \ \% \ de \ 480 = \frac{480 \cdot 20 }{100}=\frac{9600 }{100}=96\\
480 - 96 = 384

Pero para progresar nesta unidade, é imprescindible dominar o xeito high-tech:

600 \cdot 0.8^2 = 384

O problema concreto na aula comezou cando observei que a frase:

"Se facemos unha rebaixa do 20 % acabamos pagando o 80 %"

non era entendida por moitos dos meus alumnos, nin sequera despois de explicala asistido polas contas que había no encerado. Tampouco ao tentar simplificar o asunto indo ao cerne:

100 % - 20 % = 80 %

que escrito en fraccións é:

\frac{100}{100}-\frac{20}{100}=\frac{80}{100}

e en tantos por un queda:

1-0.2=0.8

(Case dá risa escribir isto)
E tamén expliquei o encadeamento de porcentaxes, así que o problema tampouco debería estar no cadrado do 0,8.
Debería empezar a botarlle as culpas a un bloqueo emocional? (tan en voga hoxe en día) Calquera que estivese nunha aula comigo sabe que a miña relación cos alumnos non é exactamente, como dicilo, ... autoritaria, (quizais sexa a palabra axeitada). Pero iso xa sei que non é ningunha garantía.


Este problema de aprendizaxe é semellante ao que adoita ocorrer cando propoñemos en niveis anteriores (1º e 2º de E.S.O., normalmente) problemas "inversos" de fraccións. Un exemplo de problema directo sería:

Bebín tres quintos dunha botella con 100 centilitros de leite. Canto leite queda?

Un de problema inverso:

Gastei tres quintos dos cartos e agora teño 40 €. Cantos cartos tiña?

O habitual é axudar a explicación dun gráfico onde amoses que a fracción habería que aplicarlla a un número descoñecido, o que non é factible. Mediante o debuxo, (normalmente un segmento ou un rectángulo) un pode traballar cos anacos sen reparar na aritmética. Como exemplo máis elaborado, un problema tirado dun exame do ano pasado:

De tódalas criaturas da Terra Media, os elfos representan un terzo. Entre os elfos, dous quintos son descendentes de Noldor, mentres que o resto son descendentes de Feänor. Sabendo que os descendentes de Noldor son 200000, calcula cantos descendentes de Feänor hai e o número total de habitantes que pisan a Terra Media.

A solución xeométrica que lles proporcionei ao rematar o exame era a seguinte:

Click na imaxe para vela ben

Obviamente falta a sucesión temporal que lle da coherencia e sentido aos números do gráfico (é dicir, o que facemos os profesores nas clases)

Todo isto vén para amosar que, aínda despois de que os alumnos resolvan problemas deste xeito, se o tentan resolver dun xeito aritmético, o que fan é aplicarlle a fracción ao número final. E non hai volta.
E nestas andamos.