Unha cuestión sobre funcións

Mirando por riba vellos números do Puzzle Corner do MIT Technology Review, sección mantida por Allan Gotlieb durante máis de 50 anos, reparei nun problema en principio inocente. Observade a primeira das dúas cuestións que propoñía:

• Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Para deixarvos cavilar, velaquí unha pequena digresión:

A condición que aparece é o que se denomina unha ecuación funcional, pois é unha condición que se impón sobre unha función incógnita. É un contido habitual nas olimpíadas matemáticas de instituto e e universidade, mais no ensino regrado non se traballa. Si que aparece nos estudos universitarios, polo menos na forma de ecuacións diferenciais, que efectivamente piden atopar unha función que cumpra unha condición, mais daquela a condición xa incorpora a variación da función(a derivada, vaia). No grao tamén aparecen algunhas ecuacións integrais no contexto da Análise Funcional, e se tiveches a sorte de seguir un curso de Teoría Analítica de Números, tamén nas ecuacións que cumpren as funcións Gamma, Zeta de Riemann, etc. Despois aparecerá, se estudas as oposicións de secundaria, no contexto das funcións elementais, que quedan determinadas por ecuacións funcionais ben simples, como $f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ou $f(x \cdot y)=f(x)+f(y)$, ás veces con certas restricións adicionais de regularidade.

Volvendo ao problema, está claro por que pensei de entrada que era un problema sinxelo, non si? A propia función identidade, $f(x)=x$, cumpre a condición, non hai que buscar máis alá. Outro exemplo? Pois a función $f(x)=-x$ tamén serve.

Sodes quen de atopar outra función que cumpra a condición? Deixádea nos comentarios se vos presta.

Pero este problema tiña outra parte, igual de inocente en apariencia, mais con sorpresa oculta:

• Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=-x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Tan semellante, tan diferente.

En que pensei instantaneamente ao reparar nesta cuestión?

Nos números complexos.

Se reescribimos con outra notación para a composición reiterada a ecuación funcional, $f^2(x)=-x$, non fai pensar na raíz cadrada? Aínda mellor se escribimos, utilizando o símbolo habitual para a función identidade:
$$f^2=-id$$
Non albiscades unha raíz cadrada ben coñecida? Pois esta feble conexión dá unha pista.

Pensade nun número complexo $a+bi$, tendo en conta que multiplicar por $i^2=-1$ fai que obteñamos o número complexo $-a-bi$, e cada produto por $i$ xira 90º arredor da orixe o afixo do número, é dicir:
$$a+bi \to -b+ai \to -a-bi$$

Complexos ou vectores? Preguntádelle a xkcd

Problema? A súa restrición aos números reais non serve, pois pasa da parte real á imaxinaria, só na composición volve á parte real. Porén a idea da rotación si que funciona, aínda que é necesario adaptala ao contexto das funcións reais de variable real.
Analizando a ecuación funcional $f(f(x))=-x$ polo miúdo, vemos que se $f(a)=b$, entón:
$$f(b)=f(f(a))=-a \to f(-a)=f(f(b))=-b \to f(-b)=f(f(-a))=a$$
De onde deducimos que se o punto $(a,b)$ está na gráfica da función buscada f, tamén van estar os puntos $(b,-a), (-a,-b), (-b,a)$, é dicir, este cadrado pertence á gráfica:

Non movestes a cabeza para ver o cadrado do xeito habitual?

A obxección inmediata é que esta imaxe está ben preto de contradicir a definición de función, se completamos a imaxe ata conseguir unha función continua.

E ata aquí podo ler... Déixovos como exercicio debuxar a gráfica dunha función que cumpra esta ecuación funcional. Porque escribir a expresión alxébrica pode que sexa excesivo.