Límites e a ecuación de 2º grao

Estaba a escoitar de fondo o podcast de Craig Barton, concretamente o episodio no que entrevista a Anne Watson e John Mason(se non sabes quen son estes dous expertos, fai unha pescuda e prepárate para mergullar en reflexións sobre educación matemática da máis alta calidade), cando apareceu o tema das ecuacións de 2º grao e como introducilas na aula. E isto fixo que viñese á memoria un aspecto da ecuación de 2º grao que coñezo desde antes de ser profesor e que sinceramente, non sei como é de coñecido entre os compañeiros. Pode ser que sexa ben coñecido, e que veña ata en libros de texto, e eu aquí facendo unha entrada sobre o tema, todo inocente. Sede xenerosos e comentade se o coñecíades unha vez leades a entrada.

Partamos da ecuación de 2º grao en forma xeral, $a{x}^2+bx+c=0$, e a consabida fórmula da solución, $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Fixemos os coeficientes b e c, e xoguemos co coeficiente cuadrático, a, que é o que lle confire o carácter cuadrático á ecuación (e a concavidade...), en concreto fagamos que a tenda a cero. Que sucede na fórmula se b e c permanecen fixos pero a tende a 0? Se queres pensalo, demora a lectura do que vén... Para evitar que leas sen querer a resposta, comparto este φ-fail:

Que conste que vén sendo tan rigorosa como
outras aparicións de φ que se ven por aí...

Imos aló. Restrinxiremos o noso choio á primeira solución, na que collemos o valor positivo da raíz cadrada(a función, vaia).

O primeiro que se ve no límite é que, se aplicamos a aritmética elemental de límites, chegamos a unha indeterminación $\frac{0}{0}$:

$$\underset{a\to 0}{lim}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+b}{0}=\frac{0}{0}$$

O xeito estándar de resolver esta complicación é puro traballo da aula de 1º de bacharelato(ou de 2º de BUP, se vas tendo unha idade):

$$\underset{a\to 0}{lim}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\underset{a\to 0}{lim}\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a(-b-\sqrt{b^2-4ac})}=$$ $$\underset{a\to 0}{lim}\frac{(-b{)}^2-{\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)}^2}{2a(-b-\sqrt{b^2-4ac})}=\underset{a\to 0}{lim}\frac{4ac}{2a(-b-\sqrt{b^2-4ac})}=$$ $$\underset{a\to 0}{lim}\frac{2c}{(-b-\sqrt{b^2-4ac})}=\frac{2c}{-2b}=-\frac{c}{b}$$

E que significado ten este valor que atopamos, $-\frac{c}{b}$?

Pois, se por un momento, permitimos alegremente facer tender a 0 o coeficiente a na ecuación orixinal, $a{x}^2+bx+c=0$, que lle sucede á ecuación? Obviamente, que deixa de ser unha ecuación de 2º grao e se converte en $bx+c=0$. E cal é a solución desta ecuación? $-\frac{c}{b}$ (BOOM)

Coñecíades este pequeno feito? Funcionará do mesmo xeito o caso cúbico?(temos o pequeno obstáculo previo de que normalmente sempre comezamos resolvendo a ecuación normalizada $x^3+px=q$ ou similares). E que pasa coa solución coa raíz negativa?

Este feito ten pouca entidade, aínda así confeso que ten un aquel que me presta.