Máis problemas doutros países

Non é a primeira vez que comento exames de acceso doutros países. Hai menos dun ano compartín parte do Bac francés no blog, e en twitter xa teño falado das probas portuguesas.

Pois evitando o abafante traballo que temos os profesores no confinamento, deume por revisar revistas pola rede, e dei cun artigo en Mathematics in School sobre probas da antiga URSS. Os lectores máis antigos xa saberán o medo cerval respecto que lles teño aos problemas que propoñían na época soviética, os máis recentes da miña lexión de seguidores poden comprobar do que falo en Primeiro Problema dun libro(case once anos van no lombo). Observade estes problemas de reválida e ás idades ás que ían dirixidos, e xulgade vós se non son para terlles un chisco de respecto:

Grao 8 (~2º de ESO):

• Resolve o sistema de ecuacións $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ x^7+y^7=x^3 y^4+1 \end{cases}$
• En 99 cartas están escritos os números 1, 2, 3, ..., 99. Barallamos e espallamos as cartas, deixando o dorso, en branco, á vista. Escribimos os números 1,2,3, .., 99 nos dorsos. Para cada carta, sumamos os dous números que ten escritos, e multiplicamos as 99 sumas obtidas. Demostra que o resultado final deste procedemento ten que ser un número par.

Grao 9(~3º de ESO):

• Debuxamos 3 circunferencias, cada unha delas pasa por 2 vértices duhn triángulo acutángulo e polo ortocentro do triángulo. Amosar que as tres circunferencias teñen o mesmo diámetro.
• Atopar todos os números primos p e q que cumpren a ecuación $p^2-2q^2=1$
• Unha táboa rectangular contén un número diferente en cada cela, e ten a propiedade de que cada cela que non está no bordo da táboa contén un número que é a media aritmética dos seus 4 veciños(en horizontal e vertical). Demostrar que a cela que contén o máximo dos números da táboa ten que estar no bordo da táboa.

E o meu preferido, tamén para grao 9, pero como problema avanzado, non de reválida:

• Atopar todos os números naturais (x, y, u, v) que cumpren $\begin{cases} x+y=uv \\ u+v=xy \end{cases}$

 

Deixando a un lado a discusión sobre o apropiados que (non) son para esas idades estes problemas, non son unha marabilla?