Catro problemas

 

Xa vai un tempo desde a última entrada na que compartín uns problemas, polo que veño a resolver esta eiva.

O primeiro, da 2º rolda da edición de 2020 do sempre fabuloso concurso Georg Mohr:

• Recortamos un cuadrilátero dun papel de agasallo decorado con faixas grises e brancas do mesmo ancho.

Que ninguén se pregunte por que facemos isto...

Se as faixas grises no cuadrilátero teñen en total unha área de 10 cm², determina a área do cuadrilátero.

(Se ben é sinxelo de adiviñar o valor da área, non é tan inmediato argallar un xeito de demostralo)

Cambiando totalmente de asunto, velaquí un problema de números da edición de 2019 da Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa:

• Prove que para todo n inteiro não nulo, existem infinitas triplas de inteiros não nulos a, b e c que satisfazem as condiçoes:

1. a+b+c=n
2. ax²+bx+c=0 tem raízes racionais

Veña, agora un de contar, que apareceu no Alma Math Challenge do 2018:

• Sendo n un número natural, consideremos o tetraedro regular con vértices O(0,0,0), A(4n,n,n), B(n,4n,n) e C(n,n,4n). Amosar que o número N de puntos (x,y,z) con coordenadas enteiras dentro ou no bordo do tetraedro OABC vén dado pola expresión

$$N=\frac{1}{2} (6n+1)(3n^2+n+2)$$

E para rematar por hoxe, un sinxelo problema xeométrico que apareceu na Olimpíada Finlandesa de 2005, no que a figura é abondo para adiviñar a pregunta:

• Na figura temos 4 cadrados e os seus puntos medios. Demostrar que os dous segmentos son perpendiculares.

Isto pode mellorarse

Non puiden subtraerme á necesidade de facer isto animado:

Así mellor