Un lugar xeométrico estrañamente complicado

Xogando co geogebra deume por comezar cunha premisa xa manida: a partir da parábola canónica $y=x^2$, coller un punto móbil e fedellar con graos de liberdade(áreas fixas, perímetros fixos, puntos medios, etc.). E atopei un lugar xeométrico que pode que sexa ben coñecido, mais eu nunca vira. Observade.

Partimos da parábola de sempre, co seu vértice $(0,0)$. Collemos un punto móbil P na parábola, e consideramos o segmento que une ese punto co vértice. Nese segmento trazamos a mediatriz, que corta en dous puntos, A e B, á parábola, e fixámonos no punto medio do segmento que une A e B, M.

Que demo de lugar percorre M? Desde logo podemos prever que o seu lugar vai ser simétrico respecto do eixe Y, e tamén o seu comportamento no infinito e nunha veciñanza do 0, pero non contaba coa complicación da súa expresión.

Aínda que teñades máis vista ca min e xa vaticinárades o aspecto do lugar xeométrico, coido que é un bo exercicio de coordenadas, máis se estades un chisco oxidados coma min.